湘教版高中数学选择性必修第一册第1章数列1.2.1等差数列及其通项公式课件(共63张PPT)

(共63张PPT)
湘教版2019高一数学（选修一） 第一章 数列
1.2.1 等差数列及其通项公式
1.2 等差数列
学习目标
(1)通过生活中的实例，理解等差数列的概念．
(2)能在具体问题情景中，发现数列的等差关系．
(3)会推导等差数列的通项公式，并能应用公式解决简单的等差数列问题．
情景导入
同学们，在过去300多年里，人们记下了哈雷彗星出现的年份：
1682, 1758,1834,1910,1986.
通过这一组数据呈现的规律，你能预测哈雷彗星下一次出现的年份吗？这就需要用到一种特殊的数列，今天我们一起来探讨此类数列.
在现实生活中，我们会遇到下面的特殊数列：
（1）全国统一鞋号中，成年女鞋的各种尺码（单位： cm）由大至小可组成数列
25，24.5，24，23.5，23，22．5，22，21.5，21． ①
（2）某住宅小区 2013—2017 年的绿化建设有如下数据：
2013—2017 年各年的绿化覆盖率组成数列
15.8%，17.8%，19.8%，21.8%，23.8%． ②
年份 2013 2014 2015 2016 2017
绿化覆盖率/% 15.8 17.8 19.8 21.8 23.8
1.等差数列的概念
新知探究
（3）黄白两种颜色的正六边形按如图1．2-1的规律拼成一系列图案．图案中白色正六边形的个数依次构成数列
6，10，14，……． ③
这些数列有什么共同的特点呢
研究这些数列的特征及变化规律，我们可以发现
对于数列①25，24.5，24，23.5，23，22．5，22，21.5，21．
从第 2 项起，每一项与前一项的差都等于 -0.5；
对于数列②15.8%，17.8%，19.8%，21.8%，23.8%．
从第 2 项起，每一项与前一项的差都等于2%；
对于数列③ 6，10，14，……．
从第 2 项起，每一项与前一项的差都等于4
也就是说，这些数列有一个共同的特点：从第 2 项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数.
显然，若数列{an}为等差数列，那么它的递推关系为：
an－an-1=d，n≥2 ；
an+1－an = an－an-1，n≥2．
数列①、②、③均为等差数列，它们的公差分别为-0.5，2%，4．
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数，那么这个数列称为等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，公差通常用字母d表示.
概念归纳
若等差数列{an}的首项a1，公差为d ，那么根据等差数列的定义可得：
a2－a1=d ；a3－a2=d ；a4－a3=d ……
进而移项可得：
a2=a1+d ；
a3=a2+d= a1+2d；
a4=a3+d= a1+3d ；
……
猜想： an=a1+(n－1)d ．
数列的通项公式决定了数列的每一项，也就决定了数列的全部性质，那么我们能否找到等差数列的通项公式呢？
2.等差数列的通项公式
新知探究
若等差数列{an}的首项a1，公差为d ，那么根据等差数列的定义可得：
a2－a1=d ；
a3－a2=d ；
a4－a3=d ；
……
an－an-1=d，n≥2 ．
把这n－1个式子相加可得：
an－a1=(n－1)d ．
由此得到
an=a1＋(n－1)d ．
当n=1时，等式两边均为a1，这表明该等式对任意n∈N+都成立，因此等差数列{an}通项公式为：
an=a1＋(n－1)d（n∈N+）
叠加法是求数列通项公式的一种常用方法．
概念归纳
一般地，如果等差数列{an}的首项a1，公差为d ，那么该等差数列的通项公式为：an=a1＋(n－1)d ．
an=25＋(n－1)×(-0.5)=-0.5＋25.5
an=15.8%＋(n－1)×2%=2n%＋13.8%
an=6＋(n－1)×4=4n＋2
根据等差数列的通项公式，我们可以得到下列数列的通项公式．
①25，24.5，24，23.5，23，22．5，22，21.5，21．
a1=25，d=-0.5，
②15.8%，17.8%，19.8%，21.8%，23.8%
a1=15.8%，d=2%,
③ 6，10，14，……．
a1=6，d=4
例1 已知数列{an}是等差数列．
（1）如果a1=5，a2=2，求公差 d 和 a3；
（2）如果a3=5，a2=2，求公差 d 和a1 ．
解：由等差数列的定义，可知
（1）公差d = a2－a1=－3，a3 = a2+d =－1．
（2）公差d = a3－a2=3，a1 = a2－d =－1．
课本例题
例2 证明：a，b，c三数成等差数列的充要条件是 2b=a＋c ．
证明：如果a，b，c成等差数列，由等差数列的定义得b－a=c－b，
那么2b=a＋c ．
反过来， 如果2b=a＋c， 那么b－a=c－b，
由等差数列的定义知，a，b，c成等差数列．
因此，a，b，c三数成等差数列的充要条件是 2b=a＋c ．
在两个数a，b之间插入数M，使a，M，b成等差数列，则M 称为a与b的等差中项．
M 为a与b的等差中项 2M =a＋b．
课本例题
例3 已知等差数列 8，5，2，…….
（1）求该数列的第20项．
（2）试问-121 是不是该等差数列的项
如果是，指明是第几项；如果不是，试说明理由．
（3）该数列共有多少项位于区间[-200，0]内
解 记该等差数列为{an}，公差为d，
由a1=8，a2=5，得d=a2－a1=5－8= -3，
所以数列的通项公式是 an=8+(n－1)×(-3)=-3n＋11 ．
（1）该数列的第20项 a20=-3×20＋11=-49 ．
课本例题
解 记该等差数列为{an}，通项公式是 an=-3n＋11 ．
（2）如果-121是这个数列的项，则方程-3n＋11 = -121有正整数解．
解这个方程，得n = 44，
故-121是该等差数列的第 44 项．
例3 已知等差数列 8，5，2，…….
（1）求该数列的第20项．
（2）试问-121 是不是该等差数列的项
如果是，指明是第几项；如果不是，试说明理由．
（3）该数列共有多少项位于区间[-200，0]内
课本例题
例3 已知等差数列 8，5，2，…….
（1）求该数列的第20项．
（2）试问-121 是不是该等差数列的项
如果是，指明是第几项；如果不是，试说明理由．
（3）该数列共有多少项位于区间[-200，0]内
课本例题
解 记该等差数列为{an}，通项公式是 an=-3n＋11 ．
（3）解不等式-200 ≤ -3n＋11 ≤0，
因此，该数列位于区间[-200，0]内的项从第 4项起直至第 70 项，共有 67 项．
已知等差数列{an}中，a6=－24，a30=－48，求{an}的通项公式an．
解：记该等差数列{an}的公差为d，则
a6=a1＋(6－1)d=a1＋5d=－24，
a30=a1＋(30－1)d=a1＋29d=－48，
两式相减，得
a30－a6 = 24d= －24，
解得d =－1，a1=－19，
所以 an=－19＋(n－1)×(－1)=－n－18 ．
a30－a6 = (30－6)d
an－am = (n－m)d，(n，m∈N+) 成立吗？
2.等差数列通项公式的性质
新知探究
性质 如果数列{an}为等差数列，那么
an= am ＋ (n－m)d，(n，m∈N+) ．
证明：记等差数列{an}的公差为d，则
an=a1＋(n－1)d，
am=a1＋(m－1)d，
两式相减，得
an－am= (n－m)d，
即 an=am＋(n－m)d ．
概念证明
概念证明
性质 如果an，am，ap，aq为等差数列{an}的项，且n＋m=p＋q，
（n，m，p，q∈N+）那么
an＋ am = ap＋ aq．
特别地，若n＋m=2p，那么 an＋ am = 2ap．
证明：记等差数列{an}的公差为d，则
an=a1＋(n－1)d， am=a1＋(m－1)d，
ap=a1＋(p－1)d，aq=a1＋(q－1)d，
所以 an＋am =2a1＋(n＋m－2)d， ap＋aq=2a1＋(p＋q－2)d，
又 n＋m=p＋q，所以 an＋am = ap＋aq ．
1.已知等差数列{an}中，a2＋a6=14，a3=8，求a5．
解：因为等差数列{an}中有a2＋a6=a3＋a5，
又a2＋a6=14，a3=8，
所以14=8＋a5，
所以 a5=6．
练一练
概念归纳
等差数列：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数，那么这个数列称为等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，公差通常用字母d表示.
等差数列的通项公式：
一般地，如果等差数列{an}的首项a1 ，公差为d，那么该等差数列的通项公式为： an=a1＋(n－1)d
概念归纳
等差数列通项公式的性质：
如果数列{an}为等差数列，那么 an= am ＋ (n－m)d，(n，m∈N+) ．
如果数列{an}为等差数列，那么an＋ am = ap＋ aq（n，m，p，q∈N+）
特别地，若n＋m=2p，那么 an＋ am = 2ap．
例1　已知数列{an}是等差数列，且a5＝10，a12＝31.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若an＝13，求n的值．
典例剖析
题型1　等差数列的通项公式
角度1　基本量的运算
(1)从方程的观点看等差数列的通项公式，an＝a1＋(n－1)d中包含了四个量，已知其中的三个量，可以求得另一个量，即“知三求一”．
(2)已知数列的其中两项求公差d，或已知一项、公差和其中一项的序号，求序号的对应项时，通常应用变形公式an＝am＋(n－m)d.
归纳总结
2.[2022·湖南益阳高二期末]已知{an}是公差为2的等差数列，
且a3＝3，则a6＝(　 　)
A．3 B．9
C．18 D．24
解析：因为{an}是公差为2的等差数列，a3＝3，
所以a6＝a3＋3×2＝9.
练一练
B
练一练
例2　100是不是等差数列2，9，16，…的项？
如果是，是第几项？如果不是，说明理由．
解析：∵an＝2＋(n－1)×7＝7n－5，
由7n－5＝100，得n＝15，
∴100是这个数列的第15项．
典例剖析
题型1　等差数列的通项公式
角度2　判断数列中的项
判断数列中的项的步骤
归纳总结
4.等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31.
(1)求a20；
(2)85是不是该数列中的项？若不是，说明原因；若是，是第几项？
练一练
例3　(1)在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列；
典例剖析
题型2　等差中项及其应用
(2)若m和2n的等差中项为4，2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项．
归纳总结
5.设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则有(　　)
A．a＝－b B．a＝3b
C．a＝3b或a＝－b D．a＝b＝0
C
练一练
题型3　等差数列的判定与证明
典例剖析
(2)求数列{an}的通项公式．
归纳总结
证明一个数列是等差数列的2种常用方法
(2)求数列{an}的通项公式．
解析：由(1)知bn＝1＋(n－1)×1＝n，
所以an＝2n－1bn＝n·2n－1，经检验，n＝1时a1＝1也满足上式．
练一练
例5　(1)在等差数列{an}中，a5－a3＝2，a3＋a5＋2a10＝24，则a9等于(　　)
A．14　　　B．12 C．10　　　D．8
解析：因为2d＝a5－a3＝2，所以公差d＝1，
又因为a3＋a5＋2a10＝2a4＋2a10＝4a7＝24，所以a7＝6，
所以a9＝a7＋2d＝8.
典例剖析
题型4　等差数列的性质及应用
D
D
方法归纳
利用等差数列的性质“若k＋l＝m＋n，且k，l，m，n∈N＋，则ak＋al＝am＋an”来求等差数列的某一项，可以简化解题过程，减少计算量．
7.[2022·湖南长郡中学高二期中]数列{an}为等差数列，若a2＋a4＝4，
则a3＝(　　)
A．1　　 　B．2 C．3　　　D．4
解析：因为{an}为等差数列，则a2＋a4＝2a3＝4，所以a3＝2.
练一练
D
8.已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77且ak＝13，则k＝_____．
18
1.已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n(n∈N＋)，则它的公差d为（ ）
A.2 　　　　B.3 　　　　C.－2 　　　　D.－3
随堂练
2.已知等差数列－5，－2,1，…，则该数列的第20项为（ ）
A.52 　　　　B.62 　　　　C.－62 　　　　D.－52
C
A
3.在等差数列{an}中，如果a4＝3，a7＝9，an＝17.那么n＝_____.
11
4.已知 的等差中项为a，等差数列{an}的通项公式为an＝
a2n＋1(n∈N＋)，公差为d，则a＋d＝________.
随堂练
错因分析
例6　两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，那么它们共有多少相同的项？
易错辨析　混淆等差数列的公共项问题中n的取值致错
出错原因：混淆了两个等差数列中n的取值，误认为3n＋2＝4n－1，
解得n＝3，致错．
【易错警示】
纠错心得：解题时一定要理解好两个通项公式的n值的含义，否则会造成不必要的丢分．
错因分析
1.(多选)下列数列中，是等差数列的是（ ）
A.1,4,7,10 B.lg 2，lg 4，lg 8，lg 16
C.25,24,23,22 D.10,8,6,4,2
ABD
分层练习-基础
2.已知在等差数列{an}中，a1＝1，d＝3，则当an＝298时，n等于（ ）
A.90 　　　　B.96 　　　　C.98 　　　　D.100
D
3.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0，则数列的通项公式an等于（ ）
A.n2＋1 B.n＋1
C.1－n D.3－n
4.已知等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，则它的项数是（ ）
A.92 　　　　B.47 　　　　C.46 　　　　D.45
D
C
分层练习-基础
6.用火柴棒按如图的方法搭三角形，按图示的规律搭下去，则第100个图形所用火柴棒数为（ ）
A.199 　　　　B.201 　　　　C.203 　　　　D.205
分层练习-基础
C
B
7.在等差数列{an}中，a5＝9，且2a3＝a2＋6，则a1＝_____.
－3
8.设a>0，b>0，若ln 3是ln 9a与ln 3b的等差中项，则2a＋b＝_____.
2
分层练习-基础
9.(1)求等差数列8,5,2，…的第20项；
由a1＝8，a2＝5，
得d＝a2－a1＝5－8＝－3，
由n＝20，得a20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49.
分层练习-基础
(2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？
由a1＝－5，a2＝－9，得d＝－9－(－5)＝－4，
则这个数列的通项公式为an＝－5＋(n－1)×(－4)＝－4n－1.
由题意，令－401＝－4n－1，得n＝100，
即－401是这个数列的第100项.
分层练习-基础
10.在等差数列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝7.
(1)求数列的第10项；
设数列{an}的公差为d，
a10＝a1＋9d＝－2＋27＝25.
分层练习-基础
(2)112是数列{an}的第几项？
an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5，
由112＝3n－5，解得n＝39.
所以112是数列{an}的第39项.
分层练习-基础
由80<3n－5<110，
(3)80到110之间有多少项？
所以n的取值为29,30，…，38，共10项.
分层练习-基础
分层练习-巩固
A.an＝2(n＋1)2 B.an＝4(n＋1)
C.an＝8n2 D.an＝4n(n＋1)
A
C
分层练习-巩固
13.若等差数列{an}的公差d≠0且a1，a2是关于x的方程x2－a3x＋a4＝0的两根，则数列{an}的通项公式为________.
an＝2n
14.已知△ABC的三边a，b，c成等差数列， 也成等差数列，
则△ABC的形状为____________.
等边三角形
分层练习-巩固
分层练习-巩固
分层练习-巩固
16.数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？”现将1到
2 023共2 023个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则该数列共有（ ）
A.132项 　　　　B.133项 　　　　C.134项 　　　　D.135项
D
17.已知{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝12，a8＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
设等差数列{an}的公差为d.
∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n.
分层练习-拓展
(2)若从数列{an}中依次取出第2项，第4项，第6项，…，第2n项，按原来的顺序组成一个新数列{bn}，试求出数列{bn}的通项公式.
a2＝4，a4＝8，a6＝12，a8＝16，…，
a2n＝2×2n＝4n.
当n>1时，a2n－a2(n－1)＝4n－4(n－1)＝4.
∴{bn}是以4为首项，4为公差的等差数列.
∴bn＝4＋4(n－1)＝4n.
分层练习-拓展
分层练习-拓展
分层练习-拓展
课堂小结
1.知识清单：
(1)等差数列的概念.
(2)等差数列的通项公式.
(3)等差中项.
2.方法归纳：方程组法(基本量法).
3.常见误区：定义忽略“从第2项起”.