湘教版高中数学选择性必修第一册第1章数列1.1数列的概念（第1课时） 课件(共57张PPT)

(共57张PPT)
湘教版2019高一数学（选修一） 第一章 数列
第一课时 数列的概念及其通项公式
1.1 数列的概念
学习目标
（1）理解数列的有关概念和几种简单的表示方法（重点）
（2） 发现数列的规律，找出数列可能的通项公式（难点）
（3）掌握数列通项公式概念及其应用（重点、难点）
情景导入
有人说，大自然是懂数学的，例如树木的分叉、花瓣的数量、植物种子的排列等等，都遵循着某种数学规律，大家能想到它们涉及了哪些数学规律吗？
通过本节课的学习，这些问题都会得到解决.
1.数列的概念
新知探究
在现实世界中，许多事物的数量可以排成一列数.例如：
（1）如下图所示，在超市的货架上摆放有一些罐头，最顶上一层有 2 听罐头，其余每一层的罐头数都比它上面一层的罐头数多 2，共堆了 8 层，则从上到下每层的罐头数依次为：
2，4，6，8，10，12，14，16. ①
（2）《庄子·天下》有一句话："一尺之棰，日取其半，万世不竭．"意思是∶一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完．这样，每日剩下的部分都是前一天的一半． 如果把"一尺之棰"看成单位"1"，那么每日剩下的部分依次为： ②
（4）π，2π，3π，4π，…的正弦值依次为：
0，0，0，0，… ④
（3）某家庭一年内1-12月的用电量（单位∶kW／h）依次为:
110，120，90，80，62，80，103，115，84，65，81，95． ③
（5）正整数1，2，3，4，5，6，…被 3除的余数依次为：
1，2，0，1，2，0，1，2，0，…． ⑤
概念归纳
把这些例子的共同特征抽象出来，得到数列的概念∶
按照一定顺序排成的一列数叫作数列．
数列中的每一个数叫作这个数列的项，排在第一位的数叫作数列的
首项或叫作数列的第1项，排在第二位的数叫作数列的第 2 项，……，
排在第n位的数叫作数列的第n项，所以数列的一般形式可以写成
a1，a2，…，an，… 简记为{an}．
数列分类：
项数有限的数列称为有穷数列，如数列①、③；
项数无限的数列称为无穷数列，如数列②、④、⑤．
上面的数列 ②中，每一项的序号n与对应项an，有如下关系式：
这样，根据以上公式我们可以求出数列②的任意指定的项．
实际上，对任意的数列{an}，其每一项的序号与该项都有如下对应关系：
2.数列的表示—通项公式
新知探究
序号
项
1
2
3
4
···
n
···
a1
a2
a3
a4
···
an
···
实际上，对任意的数列{an}，其每一项的序号与该项都有如下对应关系：
因此，数列可以看成以正整数集N+（或它的有限子集{1，2，…，n}）为定义域的函数an = f (n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值 f (1)， f (2)， f (3)，….．
如果数列{an}的第n项an，可以用关于n的一个公式表示，那么这个公式就称为数列{an}的通项公式．
从函数的观点看，数列的通项公式就是数列的解析表达式．
3.数列的表示 - 列表法
新知探究
例如，数列① 2，4，6，8，10，12，14，16．
② 的一个通项公式分别是：
与函数一样，数列还可以用列表法和图象法来表示．
例如，对于数列③110，120，90，80，62，80，103，115，84，65，81，95，我们可以用如下列表的方法来直观地表示：
月份（n） 1 2 3 4 5 6
用电量（an） 110 120 90 80 62 80
月份（n） 7 8 9 10 11 12
用电量（an） 103 115 84 65 81 95
1.列表法
对于数列③110，120，90，80，62，80，103，115，84，65，81，95，也可以用图像直观地表示：
an
n
数列的图象是一系列孤立的点．
从图象上可以清楚地看到，这个家庭哪个月用电量最多，哪个月用电量最少，哪些月用电量在增加，哪些月用电量在减少，用电量随月份的变化也一目了然．
【例1】根据数列{an}的通项公式，写出数列的前5 项及第 n＋1项．
用n+1代替通项公式 中的n，得到数列的第 n+1项是 ，

即 ．

课本例题
【例1】根据数列{an}的通项公式，写出数列的前5 项及第 n＋1项．
【解析】（2）在通项公式中依次取n=1，2，3，4，5，得到数列的前5项
分别为：
用n+1代替通项公式 中的n，

得到数列的第 n+1项是 ，

即 ．

课本例题
【解析】（1）因为这个数列的前4项为 3-1，3＋1，3-1，3＋1，
由此得到它的一个通项公式：
【例2】观察下面各数列，试着找出它的一个通项公式．
（1）2，4，2，4，…；
（2）9，99，999，9 999，…；
课本例题
课本例题
（2）因为这个数列的前4项为10 -1，102 -1，103 -1，104 -1，
由此得到它的一个通项公式：
an＝10n－1
（3）因为这个数列的前4项为
， ， ，
，
由此得到它的一个通项公式：
思考：根据数列的前若干项写出的通项公式是唯一的吗？试举例说明（例如本节开始所列举的数列④）.
典例剖析
题型1　数列的概念和分类
例1　(1)下列说法正确的是(　　)
A．数列4，7，3，4的首项是4
B．数列{an}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3
C．数列3，6，8可以表示为{3，6，8}
D．a，－3，－1，1，b，5，7，9，11一定能构成数列
A
解析：
(1)根据数列的相关概念，可知数列4，7，3，4的第1项就是首项，即4，故A正确；
同一个数在一个数列中可以重复出现，故B错误；
数列和数的顺序有关，集合中元素具有无序性，故C错误；
当a，b都代表数时，能构成数列，当a，b中至少有一个不代表数时，不能构成数列，因为数列是按确定的顺序排列的一列数，故D错误．
典例剖析
①⑤
②③④⑥
数列的判断技巧及分类方法
(1)数列的判断方法
①集合中的数是无序的，元素又是互异的；而数列中的数是严格按照顺序排列的，项与项可以是相同的；
②组成数列的数相同，而且排列次序也相同，满足这两个条件才是相同的数列．
(2)根据数列的项数可分为：
①项数有限的数列是有穷数列；
②项数无限的数列是无穷数列．
概念归纳
练一练
C
典例剖析
题型2　观察法写出数列的通项公式
观察法写出数列的通项公式的策略
概念归纳
练一练
典例剖析
题型3　数列通项公式的简单应用
归纳总结
1．利用数列的通项公式求某项的方法
数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．
2．判断某数值是否为该数列的项的方法
先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项．
3.已知数列{an}的通项公式是an＝2n2－n，n∈N＋.
(1)写出数列的前3项；
(2)判断45是否为数列{an}中的项，3是否为数列{an}中的项．
练一练
1.下列说法正确的是（ ）
A.数列中不能重复出现同一个数
B.1,2,3,4与4,3,2,1是同一数列
C.1,1,1,1不是数列
D.若两个数列的每一项均相同，则这两个数列相同
随堂练
D
随堂练
D
4.数列{an}的通项公式为an＝ 则a3＋a6＝_____.
8
3.将数列{2n－1}与{n2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，
则a3＝_____.
25
随堂练
5.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1){0，1，2，3，4}是有穷数列．(　　)
(2)数列1，2，3，4和数列1，2，4，3是同一数列．(　　)
(3)所有自然数能构成数列．(　　)
(4)数列1，3，5，7，…，2n＋1，…的通项公式是an＝2n＋1.(　　)
随堂练
×
×
√
×
6．下列有关数列的说法正确的是(　　)
A．同一数列的任意两项均不可能相同
B．数列－1，0，1与数列1，0，－1是同一个数列
C．数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}
D．数列中的每一项都与它的序号有关
随堂练
D
B
随堂练
A
错因分析
易错辨析　忽视数列中n∈N＋致错
例4　已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4，则an的最小值为________．
-2
错因分析
出错原因 纠错心得
数列的定义域是正整数集合时，是特殊的函数，所以解题时一定不要忘记n∈N＋这一条件．
【易错警示】
1.(多选)下列说法正确的是（ ）
A.数列可以用图象来表示
B.有些数列的通项公式不唯一
C.数列中的项不能相等
D.数列可以用一群孤立的点表示
ABC
分层练习-基础
2.已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n(n2－1)，则a6等于( )
A.35 　　　　B.－11 　　　　C.－35 　　　　D.11
A
3.数列－1,3，－7,15，…的一个通项公式可以是（ ）
A.an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N＋
B.an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N＋
C.an＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N＋
D.an＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N＋
A
分层练习-基础
分层练习-基础
ABD
分层练习-基础
C
A.第127项 B.第128项
C.第129项 D.第130项
B
12
分层练习-基础
8.在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55，…中，x＝____.
13
9.写出下列各数列的一个通项公式：
(1)4,6,8,10，…；
各项是从4开始的偶数，
所以an＝2n＋2，n∈N＋.
每一项分母可写成21,22,23,24,25，…，分子分别比分母少1，
分层练习-基础
(3)0.3,0.33,0.333,0.333 3，….
分层练习-基础
10.已知数列{an}中，a1＝3，a10＝21，an是关于项数n的一次函数.
(1)求{an}的通项公式，并求a2 023；
设an＝kn＋b(k≠0)，
∴an＝2n＋1(n∈N＋)，
∴a2 023＝4 047.
分层练习-基础
(2)若{bn}是由a2，a4，a6，a8，…组成的，试写出{bn}的一个通项公式.
∵a2，a4，a6，a8，…为5,9,13,17，…，
∴bn＝4n＋1.
分层练习-基础
分层练习-巩固
C
12.已知数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…，n，则该数列的第22项为( )
A.6 　　　　B.7 　　　　C.64 　　　　D.65
B
D
分层练习-巩固
分层练习-巩固
15.某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图(1)，(2)，(3)，(4)为最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形，则f(6)＝_____.
61
分层练习-拓展
f(1)＝1＝2×1×0＋1，
f(2)＝1＋3＋1＝2×2×1＋1，
f(3)＝1＋3＋5＋3＋1＝2×3×2＋1，
f(4)＝1＋3＋5＋7＋5＋3＋1＝2×4×3＋1，
故f(n)＝2n(n－1)＋1.
当n＝6时，f(6)＝2×6×5＋1＝61.
分层练习-拓展
分层练习-拓展
(2)试判断数列{an}中的项是否都在区间(0,1)内.
分层练习-拓展
∴0课堂小结
1.知识清单：
(1)数列的概念与分类.
(2)数列的通项公式.
(3)数列通项公式的简单应用.
2.方法归纳：观察法、归纳法、猜想法.
3.常见误区：
(1)归纳法求数列的通项公式时归纳不全面.
(2)不注意用(－1)n进行调节，不注意分子、分母间的联系.