湘教版高中数学选择性必修第一册第1章数列1.1数列的概念（第2课时） 课件(共69张PPT)

(共69张PPT)
湘教版2019高一数学（选修一） 第一章 数列
第二课时 数列的递推公式
1.1 数列的概念
学习目标
1.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项.
2.了解用累加法、累乘法求通项公式.
3.会由数列的前n项和Sn求数列的通项公式.
4.会求数列的最大(小)项.
情景导入
同学们，前面我们学习了数列的概念以及数列的通项公式，我们知道了数列与现代生活密不可分，其实，当人类祖先需要用一组数据有序地表达一类事物、记录某个变化过程时，数列就应运而生了，因此，数列应用广泛.
问题1　观察如图所示的钢管堆放示意图，你能够发现上下层之间的关系吗？你能否用数列的形式写出上下层之间的关系？
观察可得：
自上而下每一层的钢管数都比上一层的钢管数多1，
即a1＝4，a2＝5＝4＋1＝a1＋1，a3＝6＝5＋1＝a2＋1.
依此类推：an＝an－1＋1(2≤n≤7，n∈N＋).
1.数列的递推公式
新知探究
例 1.某种生物细胞在实验室的培养过程中，每小时分裂一次（一个分裂为两个），经过12h，由1个这种细胞可以繁殖成多少个细胞
解 设经过n h，这种细胞由 1个可繁殖成an个，细胞的个数形成一个数列{an}．
由题意，细胞每小时分裂一次，得an+1=2an，(n≥1)．
由a1=2，并根据an+1=2an，得a2 =4，
依此类推，a3=23，…，a12=212=4 096．
因此经过12 h，这种细胞由1个可繁殖成4 096 个．
像这样，如果数列{an}的任一项an+1与它的前一项an之间的关系可用一个公式来表示，即an+1 =f (an)，n≥1，那么这个公式就叫作数列{an}的递推公式；a1称为数列{an}的初始条件．
由递推公式和初始条件可确定数列{an}，这是表示数列的又一种重要方法．
许多与数列有关的应用问题最后都归结为这种数学模型，而且这种方法便于计算机编程进行计算．
概念归纳
注意点：
(1)通项公式反映的是an与n之间的关系.
(2)常见的递推关系一般是数列任意两个或三个相邻项之间的推导关系，需要知道首项或前几项，即可求数列中的每一项.
概念归纳
例2（课本例4）根据递推公式和初始条件，
写出数列{an}的前5项，并猜想数列{an}的通项公式．
解 反复利用递推公式，列表如下：
n 1 2 3 4 5 …… n
an 1 ……
3
7
15
31
2n-1
于是，数列{an}的前5项分别是：1，3，7，15，31，
猜想数列{an}的通项公式为2n-1．
例3（课本例5）2 500多年前的古希腊毕达哥拉斯学派在研究数时，喜欢把数描述成沙滩上的小石子.他们发现1,3,6,10,15，…这些数量的石子，都可以排成三角形(如图)，并称这样的数为“三角形数”.记图中圆点的个数依次构成数列{an}，试写出数列{an}的一个递推关系.
由图可知，a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，而且，在第n个“三角形数”图案的下面添加n＋1个圆点，即得到第n＋1个“三角形数”图案，因此an＋1＝an＋n＋1(n≥1)，a1＝1为数列{an}的一个递推关系.
2.观察下图，写出点所成数列的一个通项公式.
解 由图可知，
a1=4，a2=7，a3=10，a4=13，……
而且，在第n个图案的添加3个小圆，即得到第n＋1个图案，因此，
an+1=an＋3(n≥1)，a1=4
为数列{an}的一个递推关系．
数列{an}的一个通项公式为：an=3n＋1．
课本练习
如果数列{an}的前n项和Sn，与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式．
我们把数列{an}从第1项到第n项的各项之和，称为数列{an}的前n项和，
常记作Sn，即
数列的前n项和可以看成以正整数集N+（或它的有限子集）为定义域的函数Sn= f (n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值 f (1)， f (2)， f (3)，….．
2.数列的前n项和
新知探究
例4.已知数列{an}的前n项和为Sn，通项公式an=2n－1．
（1） 求S1，S2，S3，S4的值；
（2）猜想数列{an}的前n项和公式Sn；
（3）求Sn-1 (n≥2)．
解：（1）依题意，得 S1=a1=1， S2=a1＋a2=1＋3=4，
S3=a1＋a2＋a3=1＋3＋5=9，S4=a1＋a2＋a3＋a4=1＋3＋5＋7=16；
（2）猜想 Sn=n2；
（3）因为Sn=n2，所以用“n－1”替换上式中的“n”，可得Sn-1=(n－1)2．
典例剖析
记数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，那么an和Sn之间有什么关系呢？
因为Sn=a1＋a2＋…＋an，
所以Sn－1=a1＋a2＋…＋an－1，n≥2，
两式相减，可得
an=Sn－Sn－1，n≥2
又a1=S1，所以
思考探究
例5.已知数列{an}的前n项和公式Sn＝n2＋n，求数列{an}的通项公式an．
解： 当n≥2时，
an=Sn－Sn－1＝(n2＋n)－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n，
又当n＝1时，S1=12＋1=2，符合上式，
所以数列{an}的通项公式an＝2n．
典例剖析
例6.已知数列{an}的前n项和公式Sn＝n2－2n－1，求{an}的通项公式an．
解： 当n≥2时，
an=Sn－Sn－1＝(n2－2n－1)－[(n－1)2－2(n－1)－1]＝2n－3，
又当n＝1时，S1=12－2×1－1=－2，不符合上式，

所以数列{an}的通项公式
典例剖析
由数列{an}的前n项和公式Sn求通项公式an：
（1） 当n≥2时，用“n－1”替换Sn中的“n”，求得Sn－1；
（2）两式相减可得an=Sn－Sn－1，n≥2；
（3）将n＝1代入Sn，求得a1=S1；
（4）若a1不符合an=Sn－Sn－1，n≥2，则
若a1符合an=Sn－Sn－1，n≥2，则可以把式子统一起来．
概念归纳
概念归纳
数列的递推公式：
如果数列{an}的任一项an+1与它的前一项an之间的关系可用一个公式来表示，即an+1 =f (an)，n≥1，那么这个公式就叫作数列{an}的递推公式；a1称为数列{an}的初始条件．
由递推公式和初始条件可确定数列{an}，这是表示数列的又一种重要方法．
数列的前n项和公式：
数列{an}从第1项到第n项的各项之和，称为数列{an}的前n项和，常记作Sn，
如果Sn与数列{an}的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列{an}的前n项和公式．
问题1： 我们回顾一下，函数有哪些基本性质呢？
单调性 奇偶性 对称性 周期性 最值 ……
问题2： 数列也是函数，那么数列有哪些基本性质呢？
3.数列的单调性
新知探究
（1）2，4，6，8，10，12，14，16；
（2）
（3）110，120，90，80，62，80，103，115，84，65，81，95；
（4）0，0，0，0，… ；
（5）1，2，0，1，2，0，1，2，0，…．
下面，我们先以本节开头给出的5个数列展开分析，类比函数的单调性能否得出数列的单调性的概念呢？
对于数列①，从第 2 项起，每一项都大于它的前一项；
对于数列②，从第 2 项起，每一项都小于它的前一项；
对于数列④，它的每一项都相等；
对于数列③、⑤，从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项．
（1）2，4，6，8，10，12，14，16；
（2）
（3）110，120，90，80，62，80，103，115，84，65，81，95；
（4）0，0，0，0，… ；
（5）1，2，0，1，2，0，1，2，0，…．
我们可以发现：
概念归纳
一般地，对于一个数列{an}，
如果从第2项起，每一项都大于它的前一项，即an+1> an ，那么这个数列叫作递增数列；
如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，即an+1< an ，那么这个数列叫作递减数列；
如果各项都相等，即an+1= an ，那么这个数列叫作常数列；
如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，那么这个数列叫作摆动数列．
从数列的图象上看（如下图所示），递增数列的图象是一系列从左至右上升的孤立点，递减数列的图象是一系列从左至右下降的孤立点，摆动数列的图象是一系列从左至右有升有降的孤立点，常数列的图象是一系列从左至右呈水平状的孤立点．
递增数列
递减数列
摆动数列
常数列
例 6 判断下列数列{an}的单调性：
课本例题
例 6 判断下列数列{an}的单调性：
课本例题
要判断数列{an}的单调性，从单调性的定义来看，我们只需比较 an+1与an的大小，而作差法是比较大小常用的一种方法．
例 6 判断下列数列{an}的单调性：
利用函数的单调性也是判断数列{an}的单调性的一种常用方法．
若y=f (x)在[1，+∞)单调递增（或递减），则数列{an}（其中an=f (n)）是递增数列（或递减数列）．反之不一定成立．
课本例题
课本例题
概念归纳
数列的单调性：
an+1> an 递增数列； an+1< an 递减数列；an+1= an 常数列；
如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，那么这个数列叫作摆动数列．
数列的单调性的判断：
（1）作差法（比较与的大小）；
（2）利用数列的通项公式所对的函数的单调性判断．
数列的其他性质：
（1）最值：利用数列的单调性求最值，或求对应函数的最值(注意变量取正整数)；
（2）周期性：可以通过列举直观感知数列的周期．
典例剖析
题型1　根据递推公式求数列的项
A
(2)[2022·湖南雅礼中学高二期中]如图①至图④，作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”(即以原三角形各边的中点为顶点的三角形)，然后在剩下的每一个小三角形中又挖去一个“中心三角形”，以此类推，如果我们用着色三角形代表挖去的部分，那么剩下的白三角形则称为谢尔宾斯基三角形，该概念由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出．下列4个图形中，若着色三角形的个数依次构成数列{an}的前4项，则a6＝________．
364
解析： 依题意可知a1＝1，a2＝4，a3＝13，a4＝40，且an＋1＝3an＋1，
所以a5＝3a4＋1＝3×40＋1＝121，a6＝3a5＋1＝3×121＋1＝364.
2
练一练
(2)将石子摆成如图所示的梯形形状，称数列5，9，14，20，…为“梯形数”．结合图形的构成可猜想a2 021－a2 020＝________．
2 023
解析： 由题意可知，a1＝5，a2＝9，a3＝14，a4＝20，…，
所以，a2－a1＝9－5＝4＝2＋2，a3－a2＝14－9＝5＝3＋2，
a4－a3＝20－14＝6＝4＋2，…
由此我们可以推断：当n≥2时，an－an－1＝n＋2，
故a2 021－a2 020＝2 021＋2＝2 023.
例2　(1)对于任意数列{an}，等式：a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an(n≥2，n∈N＋)都成立．试根据这一结论，完成问题：
已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1－an＝2，求通项an；
解析：n≥2时，
an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝1＋2＋2＋…＋2(n－1)个2＝2(n－1)＋1＝2n－1.
a1＝1也适合上式，
所以数列{an}的通项公式是an＝2n－1.
典例剖析
题型2　数列递推公式与通项公式的关系
由数列的递推公式求通项公式的两种方法
归纳总结
A
练一练
典例剖析
题型3　数列单调性的判断
判断数列单调性的四种方法
归纳总结
3.下列数列是递增数列的是(　　)
A．{1－3n} B．{3n－2n＋2}
C．{2n－n} D．{(－3)n}
解析：对于A，令an＝1－3n，则a1＝－2，a2＝－5，不合题意；
对于B，令an＝3n－2n＋2，则a1＝－5，a2＝－7，不合题意；
对于C，令an＝2n－n，则an＋1－an＝2n＋1－2n－1＝2n－1>0，符合题意．
对于D，令an＝(－3)n，则a1＝－3，a3＝－27，不合题意．
练一练
C
典例剖析
题型4　求数列的最大(最小)项
归纳总结
练一练
1.已知在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n(n∈N＋)，则a4的值为( )
A.5 B.6
C.7 D.8
因为a1＝2，an＋1＝an＋n，
所以a2＝a1＋1＝2＋1＝3，
a3＝a2＋2＝3＋2＝5，
a4＝a3＋3＝5＋3＝8.
D
随堂练
2.设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n－1(n∈N＋)，则a5等于( )
A.32 B.31
C.16 D.15
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1，
当n＝5时，a5＝24＝16.
随堂练
C
3.已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋an＋1＋an＋2＝1，n∈N＋，则a2 023等于
（ ）
A.－2 　　　　B.－1 　　　　C.1 　　　　D.2
∵a1＝1，a2＝2，an＋an＋1＋an＋2＝1，
∴a3＝1－a1－a2＝1－1－2＝－2，
a4＝1－a3－a2＝1－(－2)－2＝1，
a5＝1－a4－a3＝1－1－(－2)＝2，
…，
由此推理可得数列{an}是一个周期为3的周期数列，∴a2 023＝a1＝1.
随堂练
C
4.在数列{an}中，an＝n(n－8)－20，n∈N＋，则该数列从第_____项开始递增，数列的最小值为______.
故数列{an}从第4项开始递增.
an＝n(n－8)－20＝(n－4)2－36，根据二次函数的性质知，当n＝4时，an取得最小值－36，
即这个数列有最小值，最小值为－36.
－36
4
随堂练
错因分析
1.已知数列{an}的通项公式为an＝n2＋tn，若数列{an}为递增数列，则t的取值范围是____________．
(－3，＋∞)
易错辨析　用函数思想解题时忽略数列的特征而致错
解析：方法一　由数列{an}为递增数列，知
an＋1－an＝(n＋1)2＋t(n＋1)－(n2＋tn)＝2n＋1＋t>0恒成立，
即t>－(2n＋1)恒成立．
而n∈N＋，所以t>－3，
故t的取值范围是(－3，＋∞)．
错因分析
【易错警示】
纠错心得：用函数思想解决数列的问题时，特别是研究数列的单调性时，应注意数列的特征．要能够恰当利用函数的性质，通过数形结合来求解
1.已知数列an＝ ，则该数列是（ ）
A.递增数列 B.递减数列
C.摆动数列 D.常数列
C
分层练习-基础
2.已知数列{an}满足an＝4an－1＋3(n≥2，n∈N＋)，且a1＝0，则此数列的第5项是（ ）
A.15 　　　　B.255 　　　　C.16 　　　　D.63
B
D
分层练习-基础
4.下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是（ ）
A.an＋1＝an＋n，n∈N＋
B.an＝an－1＋n，n∈N＋，n≥2
C.an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N＋，n≥2
D.an＝an－1＋(n－1)，n∈N＋，n≥2
B
5.(多选)已知数列{an}的前n项和满足Sn＝2n＋1－1，则下列说法正确的是
（ ）
A.a1＝3 B.an＝2n(n≥2)
C.an＝2n D.an＝2n(n≥2)
AD
6.(多选)数列{an}的通项公式为an＝n＋ ，则（ ）
A.当a＝2时，数列{an}的最小值是a1＝a2＝3
B.当a＝－1时，数列{an}的最小值是a1＝0
C.当0D.当a<2时，{an}为递增数列
ABD
分层练习-基础
7.在数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列最大项的值是_____.
108
分层练习-基础
8.已知数列{an}中，a1a2…an＝n2(n∈N＋)，则a9＝_____.
分层练习-基础
9.已知数列{an}的通项公式为an＝ (n∈N＋)，则这个数列是否存在最大
项？若存在，请求出最大项；若不存在，请说明理由.
分层练习-基础
9.已知数列{an}的通项公式为an＝ (n∈N＋)，则这个数列是否存在最大
项？若存在，请求出最大项；若不存在，请说明理由.
∴an＋110.(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，求{an}的通项公式.
①Sn＝2n2－3n；
当n＝1时，a1＝S1＝2－3＝－1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝2n2－3n－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，
当n＝1时，a1＝－1，符合上式，
所以{an}的通项公式是an＝4n－5，n∈N＋.
分层练习-基础
②Sn＝3n＋2；
当n＝1时，a1＝S1＝5，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝3n＋2－(3n－1＋2)
＝2×3n－1，
当n＝1时，a1＝5，不符合上式，
分层练习-基础
分层练习-基础
以上n－1个式子左右两边分别相乘，得
分层练习-巩固
11.若数列{an}的通项公式为an＝ (n∈N＋)，则这个数列中的最大
项是（ ）
A.第12项 B.第13项
C.第14项 D.第15项
C
（ ）
A
13.公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…，满足an＋2＝an＋1＋an(n≥1)，那么1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 022等于（ ）
A.a2 021 　　　　B.a2 022 　　　　C.a2 023 　　　　D.a2 024
C
分层练习-巩固
分层练习-巩固
分层练习-巩固
分层练习-拓展
15.在一个数列中，如果对任意n∈N＋，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫作等积数列，k叫作这个数列的公积.已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝_____.
依题意得数列{an}是周期为3的数列，
且a1＝1，a2＝2，a3＝4，
因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28.
28
16.已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝
若a4＝4，求m所有可能的取值.
若a3为奇数，则3a3＋1＝4，a3＝1.
若a2为奇数，则3a2＋1＝1，a2＝0(舍去)，
分层练习-拓展
若a1为奇数，则3a1＋1＝16，a1＝5，
故m所有可能的取值为4,5,32.
分层练习-拓展
17．[2022·湖南怀化高二期末]历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…即F(1)＝F(2)＝1，F(n)＝F(n－1)＋F(n－2)(n≥3，n∈N＋)，此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列{bn}，又记数列{cn}满足c1＝b1，c2＝b2，cn＝bn－bn－1(n≥3，n∈N＋)，则c1＋c2＋c3＋…＋c2 021的值为(　　)
A．4 B．－728
C．2 D．3
分层练习-拓展
C
解析：由题意可知，{bn}为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，1，1…周期为6的数列，{cn}为1，1，1，1，－2，－1，1，0，1，1，－2，－1，1，0是从第三项起周期为6的数列．
从第3项起，每一个周期的6个数的和是1＋1＋(－2)＋(－1)＋1＋0＝0，
所以c1＋c2＋c3＋…＋c2 021＝c1＋c2＋0×336＋c2 019＋c2 020＋c2 021＝1＋1＋0＋1＋1＋(－2)＝2.
分层练习-拓展
1.知识清单：
(1)数列的概念与分类.
(2)数列的通项公式.
(3)数列通项公式的简单应用.
(4)数列的递推公式.
(5)由递推公式求通项公式.
(6)数列的前n项和Sn与an的关系.
(7)数列的单调性及最大(小)项.
课堂小结
课堂小结
2.方法归纳：归纳法、观察法、猜想法、迭代法、累加法、累乘法.
3.常见误区：
(1)归纳法求数列的通项公式时归纳不全面.
(2)不注意用(－1)n进行调节，不注意分子、分母间的联系.
(3)累加法、累乘法中不注意验证首项是否符合通项公式.
(4)由Sn求an时忽略验证n＝1时的情况.