湘教版高中数学选择性必修第一册第1章数列1.2.3等差数列的前n项和课件(共72张PPT)

(共72张PPT)
湘教版2019高一数学（选修一） 第一章 数列
1.2.3 等差数列的前n项和
1.2 等差数列
学习目标
1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.
2.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中任意三个求另外两个.
3.能用an与Sn的关系求an.
4.会利用等差数列前n项和的性质简化求和运算.
5.会利用等差数列前n项和的函数特征求最值.
情景导入
高斯(1777－1855)，德国著名数学家、物理学家、天文学家，是近代数学的奠基人之一，享有“数学王子”的美誉.高斯7岁时，有一天老师在黑板上出一道题“1＋2＋3＋4＋5＋…＋100＝？”对全班同学说：“你们算一算从1开始一直加到100的和是多少？”，同学们不约而同地拿出笔在小石板上沙沙地算起来.不到一分钟，高斯站起来说：“老师，我算出结果来了，是5 050！”老师和其他同学都很吃惊.你知道高斯是怎样快速计算出来的吗？
1.等差数列的前 n 项和
新知探究
被世人誉为"数学王子"的德国数学家高斯在幼年就显示出过人的数学天赋，他的老师布置了一道看上去很难的题，计算1+2+3+...+100=？高斯经过细致的观察，迅捷地报出了得数：5 050.
在老师与同学露出惊讶之色时，他解释了自己的思考过程：
将这 100个数分成 50 个数对，其中1＋100=101，2＋99=101，…， 50＋51=101，于是 100 个数的和就是 50 个101，即 50× 101=5 050．
高斯的算法实际上解决了求等差数列1，2，3，…,n, …前100项之和的问题.
事实上，古代的中国人和希腊人也是这么求等差数列之和的.例如：我国南宋数学家杨辉提出了这样一个问题：“今有圭垛草一堆，顶上一束，底阔八束．问共几束？答：36束．”
8层
{
{
9束
他的计算方法可以用右图来表示．
设想有另外一堆同样的草，将其倒置，并和原来的草堆拼在一起，这就得到 8×9 的草堆，一共 72 束，因此原来的草堆共有 36 束．
在特殊问题中高斯运用的是“两两配对”的方法，那对于一般等差数列的求和问题，也能否这样处理呢？这个就不行了，因为n不一定是偶数，这样就不好“两两配对”了，这时我们就要改进方法了．
前人计算等差数列前n项和的方法的确巧妙，那么这种方法能推广到求一般等差数列的前n项和吗？
设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，即
Sn=a1＋a2＋a3＋…… ＋ an
再将项的次序反过来，Sn可以写成
Sn=an＋an－1＋an－2＋…… ＋a1
两式两边分别相加，得
2Sn= (a1＋an)＋(a2＋an－1)＋(a3＋an－2)＋…… ＋(an ＋a1)
= n (a1＋an)
由此得到等差数列{an}的前n项和的公式
又因为an=a1＋(n－1)d，
所以上述公式又可以写成
如果数列{an}为等差数列，那么
an＋ am = ap＋ aq
（n，m，p，q∈N+）
(a1＋an)=(a2＋an－1)=(a2＋an－1)=…
这个公式表明，等差数列的前n项和可由首项、公差和项数唯一确定．
等差数列的通项公式和前n项和公式中，共有“a1，d ，n，an，Sn”五个
量，故知三可求其二．
等差数列的前项和n公式：
如果等差数列{an}的首项a1，公差为d ，那么该等差数列的前n项和公式为：
概念归纳
例 7 某体育馆一角的看台上有20排，每一排比前一排多两个座位，若第一排有15个座位，则体育馆一角里共有多少个座位？
解： 设第n排的座位有an个，
则得到的数列{an}（1≤n≤20）是首项为15，公差为2的等差数列．
根据等差数列前n项和公式，
这一角里总共的座位数为
课本例题
课本例题
例 8 已知一个等差数列的前10项和是310，前 20项和是1220，求该数列的前n项和．
解： 记该数列为{an}，公差为d，
根据等差数列前n项和公式，可得
S10=10a1＋45d =310，S20=20a1＋190d =1220，
解得a1=4，d =6，
因此该等差数列的前n项和为
解： 因为Sn=n2＋2n，
所以当n ≥2 时，有
an=Sn－Sn－1
=(n2＋2n)－[(n－1)2＋2(n－1)]
=2n＋1，
又当n=1时，a1=S1=12＋2=3，符合上式，
所以数列{an}的通项公式an=2n＋1．
当n ≥2 时，有an－an－1=(2n＋1)－[2(n－1)＋1]=2，
所以数列{an}是以3为首项，以2为公差的等差数列．
设等差数列{an}的前n项和为Sn，
则
所以等差数列的前n项和公式Sn可以看成关于n的二次函数(常数项为0)．
例 9 设数列{an}的前n项和Sn=n2＋2n，求证：{an}是等差数列．
课本例题
例10 已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=25，S17=S9．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求 Sn的最大值及对应的n值．
解： （1）记数列{an}的公差为d，由S17=S9，可得
17a1＋136d =9a1＋36d ，
又a1=25，解得d =－2，
所以an=25＋(n－1)ⅹ(－2)=27－2n．
课本例题
例10 已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=25，S17=S9．
（1）求数列{an}的通项公式； an=27－2n
（2）求Sn的最大值及对应的n值．
解： （2）因为
所以当n=13 时，Sn取最大值，S13=169．
解： （2）令an=27－2n>0，得n<13.5
即当n≤13时，an>0，当n≥14时，an<0，
故当n=13 时，Sn取最大值，S13=13ⅹ25＋78ⅹ(－2)=169．
课本例题
已知等差数列{an}的前n项和为Sn．
（1）求证：S2，S4－S2，S6－S4成等差数列；
（2）求证：S3，S6－S3，S9－S6 成等差数列；
（3）试推广（1）和（2）的结果，写出你的结论并加以证明．
证明：记数列{an}的公差为d，
因为S2 = a1＋a2，S4－S2 = a3＋a4，S6－S4 = a5＋a6，
所以(S4－S2)－S2 = (a3＋a4)－(a1＋a2) = 4d，
(S6－S4)－(S4－S2) = (a5＋a6)－(a3＋a4) = 4d，
即 (S6－S4)－(S4－S2) = (S4－S2)－S2，
所以S2，S4－S2，S6－S4成等差数列．
思考探究
已知等差数列{an}的前n项和为Sn．
（1）求证：S2，S4－S2，S6－S4成等差数列；
（2）求证：S3，S6－S3，S9－S6 成等差数列；
（3）试推广（1）和（2）的结果，写出你的结论并加以证明．
证明：记数列{an}的公差为d，
因为S3 = a1＋a2＋a3，S6－S3 = a4＋a5＋a6，S9－S6 = a7＋a8＋a9，
所以(S6－S3)－S3 = (a4＋a5＋a6)－(a1＋a2＋a3) = 9d，
(S9－S6 )－(S6－S3) = (a7＋a8＋a9)－(a4＋a5＋a6) = 9d，
即 (S9－S6 )－(S6－S3) = (S6－S3)－S3，
所以S3，S6－S3，S9－S6成等差数列．
思考探究
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，．
（3）试推广（1）和（2）的结果，写出你的结论并加以证明．
猜想：Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列．
证明：因为Sm = a1＋a2＋……＋am，
S2m－Sm = am+1＋ am+2＋……＋a2m，
S3m－S2m = a2m+1＋ a2m+2＋……＋a3m，
所以(S2m－Sm)－Sm =m2d，
(S3m－S2m)－(S2m－Sm)==m2d，
即 (S3m－S2m)－(S2m－Sm) = (S2m－Sm)－Sm，
所以Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列．
思考探究
1.若在等差数列{an}中，有a1＋a4＋a7=10，a3＋a6＋a9=22，
则a2＋a5＋a8= ．
解：记数列{an}的公差为d，
因为(a3＋a6＋a9)－(a1＋a4＋a7)
=(a3－a1)＋ (a6－a4)＋(a9－a7)
=6d =12，
所以 d =2，
所以a2＋a5＋a8=(a1＋d)＋(a4＋d)＋(a7＋d)=(a1＋a4＋a7)＋3d =16．
练一练
概念归纳
等差数列的前项和n公式：
如果等差数列{an}的首项a1，公差为d ，那么该等差数列的前n项和公式为：
等差数列的前n项和公式Sn可以看成关于n的二次函数(常数项为0)．
若等差数列的前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列．
题型1　等差数列前n项和的基本计算
典例剖析
(2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d；

(3)已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.
等差数列中基本计算的两个技巧
(1)利用基本量求值

(2)利用等差数列的性质解题
归纳总结
练一练
C
－4
练一练
解析：由题意知，该地区9月份前10天流感病毒的新感染者人数，
构成一个首项a1＝40，公差d＝40的等差数列，
所以9月10日的新感染者人数为a10＝40＋(10－1)×40＝400(人)，
所以9月11日的新感染者人数为a11＝400－10＝390(人)；
例2　某地去年9月份曾发生流感，据统计，9月1日该地区流感病毒的新感染者有40人，此后，每天的新感染者人数比前一天新感染者人数增加40.从9月11日起，该地区医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到有效控制，每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减少10.
(1)分别求出该地区在9月10日和9月11日这两天的流感病毒的新感染者人数；
题型2　等差数列前n项和公式的实际应用
典例剖析
(2)该地区9月份(共30天)流感病毒的新感染者共有多少人？
归纳总结
(1)解答与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列．
(2)遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点：
①抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型．
②深入分析题意，确定是求通项公式an，或是求前n项和Sn，还是求项数n.
3.[2022·湖南部分重点中学联考]跑步是一项有氧运动，通过跑步，我们能提高肌力，同时提高体内的基础代谢水平，加速脂肪的燃烧，养成易瘦体质．小林最近给自己制定了一个200千米的跑步健身计划，他第一天跑了8千米，以后每天比前一天多跑0.5千米，则他要完成该计划至少需要(　　)
A．16天 B．17天 C．18天 D．19天
练一练
B
解析：由等差数列{an}的性质，
.可得Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，
即30，70，S3m－100成等差数列，
所以2×70＝30＋S3m－100，解得S3m＝210.
例3　(1)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m；
题型3　等差数列前n项和性质的应用
典例剖析
归纳总结
等差数列前n项和计算的三种方法
C
练一练
练一练
B
例1　已知数列{an}的前n项和为Sn＝－2n2＋3n＋1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)数列{an}是否为等差数列？
题型4　an与Sn的关系的应用
典例剖析
归纳总结
已知Sn求an的一般步骤
解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－9n－(n－1)2＋9(n－1)＝2n－10，
当n＝1时，a1＝S1＝－8也适合，所以an＝2n－10.
又因为5＜ak＜8，所以5＜2k－10＜8，解得7.5＜k＜9，故k＝8.
5.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5＜ak＜8，则k＝(　　)
A．9 B．8
C．7 D．6
练一练
B
例2　在等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1>0，S3＝S11，当Sn取得最大值时，n的值为____．
7
题型5　等差数列前n项和的最值
典例剖析
6.在等差数列{an}中，设Sn为其前n项和， an＝26－2n ，当Sn取得最大值时，n的值为____________．
12或13
练一练
7.在等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1>0，a2 019＋a2 020>0，a2 019·a2 020<0，求使Sn>0成立的最大自然数n

1．在等差数列中，求Sn的最值的2种常用方法
归纳总结
归纳总结
2．寻求正、负项分界点的方法
8.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S2 020>0，S2 021<0，则当n＝________时，Sn最大．
1 010
练一练
例3　已知等差数列{an}中，公差d>0，a1＋a4＋a7＝－6，a2·a4·a6＝24.
(1)求数列{an}的通项公式；
典例剖析
题型6　求数列{|an|}的前n项和
(2)Sn为数列{|an|}的前n项和，求Sn.
归纳总结
练一练
1.已知数列{an}的通项公式为an＝2－3n，n∈N＋，则{an}的前n项和Sn等于（ ）
随堂练
2.若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7等于（ ）
A.12 　　　　B.13 　　　　C.14 　　　　D.15
A
B
3.在等差数列{an}中，若S10＝120，则a1＋a10的值是（ ）
A.12 　　　　B.24 　　　　C.36 　　　　D.48
4.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于（ ）
A.63 　　　　B.45 　　　　C.36 　　　　D.27
随堂练
B
B
5.在各项均为正数的等差数列{an}中，已知公差d＝2，an＝11，Sn＝35，
则a1＝____，n＝____.
3
5
6.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，则an＝_____.
2n
随堂练
7.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为_____.
3
8.首项为正数的等差数列，前n项和为Sn，且S3＝S8，当n＝______时，Sn取到最大值.
5或6
随堂练
错因分析
易错辨析　混淆等差数列的性质致误
例4　已知等差数列{an}的前n项之和记为Sn，S10＝10，S30＝70，则S40＝________．
120
【易错警示】
错因分析
出错原因：将等差数列中Sm，S2m－Sm，S3m－S2m
成等差数列误认为Sm，S2m，S3m成等差数列．
纠错心得：
本题可用等差数列的性质：Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列求解；还可以由S10＝10，S30＝70联立方程组解得a1和d，再求S40.
例5　设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S11＝S18，则当n＝________时，Sn最大．
14或15
易错辨析　数列中的最值错误
错因分析
错因分析
【易错警示】
出错原因：由于a15＝0，所以S14＝S15，即n＝14或n＝15时，前n项和相等且最大．有些同学容易忽视数列中为零的项致错．
纠错心得：在解决数列问题时，经常遇到求最值的问题，且解决此类问题常用函数的一些方法，但一定要注意数列中的变量n为正整数，同时还要注意数列中为零的项．
错因分析
1.已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋ (n≥2，n∈N＋)，则数列{an}的前9项和等于（ ）
A.27 　　　　B. 　　　　　C.45 　　　　D.－9
分层练习-基础
2.(多选)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4＝0，a5＝5，则（ ）
A.an＝2n－5
B.an＝3n－10
C.Sn＝n2－4n
C
A
4.已知一个等差数列共n项，且其前四项之和为21，末四项之和为67，前n项和为286，则项数n为（ ）
A.24 　　　　B.26 　　　　C.25 　　　　D.28
分层练习-基础
（ ）
A
B
5.一物体从1 960米的高空降落，如果第1秒降落4.90米，以后每秒比前一秒多降落9.80米，那么经过________秒落到地面
A.18 　　　　B.19 　　　　C.20 　　　　D.21
6.在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为（ ）
A.765 B.665
C.763 D.663
分层练习-基础
C
B
7.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝______.
0
8.将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________.
3n2－2n
分层练习-基础
9.在等差数列{an}中.
解得n＝15.
分层练习-基础
(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d.
解得a8＝39，
又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.
∴a8＝39，d＝5.
分层练习-基础
10.已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n－1，求数列{an}的通项公式，并判断它是不是等差数列.
分层练习-基础
当n＝1时，a1＝S1＝1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n－1)－[(n－1)2＋(n－1)－1]＝2n.
又a1＝1不满足an＝2n，
∵a2－a1＝4－1＝3≠a3－a2＝2，
∴数列{an}中每一项与前一项的差不是同一个常数，
∴数列{an}不是等差数列，数列{an}是从第二项起以2为公差的等差数列.
11.程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，则第八个孩子分得斤数为（ ）
A.65 　　　　B.176 　　　　C.183 　　　　D.184
分层练习-巩固
D
12.在等差数列{an}中，已知a1＝－12，S13＝0，则使得an>0的最小正整数n为（ ）
A.7 B.8
C.9 D.10
分层练习-巩固
13.已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，S10＝40，则a3a8的最大值为______.
16
B
14.已知{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，且S7＝7，S15＝75，
则数列 的前n项和Tn＝________.
15.(多选)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6>S7>S5，则下列说法正确的是（ ）
A.d<0
B.S11>0
C.S12<0
D.数列{Sn}中的最大项为S11
分层练习-巩固
A B
16.已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N＋，且满足：a3a4＝117，a2＋a5＝22.
(1)数列{an}的通项公式an＝________.
4n－3
分层练习-拓展
(2)若数列{bn}是等差数列，且bn＝ ，则非零常数c＝________.
17.某仓库有同一型号的圆钢600根，堆放成如图所示的形状，从第二层开始，每一层比下面一层少放一根，而第一层至少要比第二层少一根，要使堆垛的占地面积最小(即最下面一层根数最少)，则最下面一层放几根？共堆了多少层？
分层练习-拓展
所以n2＋n－1 200≥0，记 (n)＝n2＋n－1 200，
因为当n∈N＋时，f(n)单调递增，
而f(35)＝60>0，f(34)＝－10<0，
所以n≥35，因此最下面一层最少放35根.
分层练习-拓展
因为1＋2＋3＋…＋35＝630，
所以最多可堆放630根，必须去掉上面30根，去掉顶上7层，共1＋2＋3＋…＋7＝28(根)，再去掉顶上第8层的2根，剩下的600根共堆了28层.
故最下面一层放35根，共堆了28层.
分层练习-拓展
18.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝－15，S5＝－55.
(1)求数列{an}的通项公式；
设等差数列{an}的公差为d，
∴a3＝－11，
∴an＝a1＋(n－1)d＝－15＋(n－1)×2＝2n－17，n∈N＋.
分层练习-拓展
(2)若不等式Sn>t对于任意的n∈N＋恒成立，求实数t的取值范围.
由(1)知，an＝2n－17，
∴(Sn)min＝－64.
Sn>t对任意的n∈N＋恒成立等价于(Sn)min>t，
即－64>t.∴t∈(－∞，－64).
分层练习-拓展
1.知识清单：
(1)等差数列前n项和及其计算公式.
(2)等差数列在实际问题中的应用.
(3)利用等差数列前n项和公式判断等差数列.
(4)等差数列前n项和的最值问题.
(5)等差数列前n项和的性质及应用.
2.方法归纳：函数与方程思想、倒序相加法、整体思想、分类讨论数形结合思想.
3.常见误区
(1)由Sn求通项公式时忽略对n＝1的讨论.
(2)求等差数列前n项和的最值时，忽视条件n∈N＋导致错误.
(3)不注意运用性质导致解题烦琐.
课堂小结