湘教版高中数学选择性必修第一册第1章数列1.3.1等比数列及其通项公式课件(共57张PPT)

(共57张PPT)
湘教版2019高一数学（选修一） 第一章 数列
1.3.1 等比数列及其通项公式
1.3 等比数列
学习目标
(1)理解等比数列的概念和通项公式的意义．
(2)掌握等比数列的通项公式．
(3)能在具体问题情景中，发现数列的等比关系，并
解决相应的问题．
情景导入
观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题.
(1)我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？”
构成数列：9，92，93，94，95，96，97，98；
类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？
本节课我们就来探讨一下等比数列的概念！找出下列问题的规律
我们通过除法运算探究以上数列的取值规律.
情景导入
1.等比数列的概念
新知探究
在现实生活中，我们还会遇到下面一类特殊数列．
（1）计算机的内存容量通常是指随机储存器（RAM）的容量，是内存条的关键性参数．进入 21世纪以来，计算机中主流采用的内存容量
（单位：MB）从小到大组成数列
128，256，512，1 024，2 048，4 096，8 192．
（2）若某张报纸的厚度记为 t，面积记为 A，将其重复对折6次，可得到如下表所示的数据：
对折过程中报纸厚度和报纸面积分别组成数列：
②
③
对折次数 报纸厚度 报纸面积
0
1
2
3
4
5
6
（3）图1.3-1中的三角形图案称为谢宾斯基三角形.图案中绿色三角形的个数依次组成数列
1，3，9，27，……. ． ④
对于数列② ．
从第 2 项起，每一项与前一项的比都等于2；
对于数列③ ．
从第 2 项起，每一项与前一项的比都等于 ；
对于数列④1，3，9，27，……. ．
从第 2 项起，每一项与前一项的比都等于3；
研究这些数列的特征及变化规律，我们可以发现：
对于数列①128，256，512，1 024，2 048，4 096，8 192．
从第 2 项起，每一项与前一项的比都等于2；
由此我们就可以得到等比数列的概念
概念归纳
显然，若数列{an}为等比数列，那么它的递推关系为：
数列①、②、③、④均为等比数列，它们的公比分别为2，2， ，3．
一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数，那么这个数列称为等比数列，这个常数叫作等比数列的公比.公比通常用字母q 表示（q≠0）.
若等比数列{an}的首项a1，公比为q ，那么根据等比数列的定义可得：
可得：
a2=a1q ；
a3=a2q= a1q2 ；
a4=a3q= a1q3 ；
……
猜想： an=an－1q=a1qn－1．
我们能否找到等比数列的通项公式呢？
2.等比数列的通项公式
新知探究
若等比数列{an}的首项a1，公比为q ，那么根据等比数列的定义可得：
把这n－1个式子相乘可得：
即
所以 an=a1qn－1．
验证结论
当n=1时，等式两边均为a1，这表明该等式对任意n∈N+都成立，因此等比数列{an}通项公式为：
an=a1qn－1（n∈N+）
根据等比数列的通项公式，我们可以得到下列数列的通项公式．
① 128，256，512，1 024，2 048，4 096，8 192．
② ．
③ ．
④ 1，3，9，27，……. ．
一般地，如果等比数列{an}的首项为a1，公比为q ，那么该等比数列的通项公式为：an=a1qn－1 ．
概念归纳
例 1 已知数列{an}是等比数列．
（1）若a2=2，a5=54，求{an}的通项公式；
（2）若a1=125，q = 0.2，an=3.2ⅹ10-4，求 n ．
解：（1）由等比数列的通项公式，可知
a2=a1q = 2 ， ①
a5=a1q4 = 54 ． ②
由②÷①得 q3=27，即q=3．
因此
因此，这个数列的通项公式是
课本例题
例 1 已知数列{an}是等比数列．
（1）若a2=2，a5=54，求{an}的通项公式；
（2）若a1=125，q = 0.2，an=3.2ⅹ10-4，求 n ．
解：（2）由等比数列的通项公式，得
又
因此，54-n = 5-5 ，即n = 9．
课本例题
例 2 证明：非零实数a，b，c成等比数列的充要条件是 b2=ac ．
证明：如果非零实数a，b，c成等比数列，由等比数列的定义得 ，
那么b2=ac ．
反过来， 如果非零实数a，b，c满足b2=ac ， 那么 ，
由等比数列的定义知，a，b，c成等比数列．
因此，非零实数a，b，c成等比数列的充要条件是 b2=ac ．
课本例题
在两个数a，b之间插入数G，使a，G，b成等比数列，则G称为a与b的等比中项． G 为a与b的等比中项 G2 =ab．
两非零实数a，b有等比中项的前提是：ab>0．
解：设污水中污染物的初始含量为 a0，又设 n h 后残留在池中的污染物
含量为 an，这个问题的数学模型是数列{an}，它满足
因此，数列{an}是以0.88a0为首项，以0.88为公比的等比数列．
利用通项公式，得an=0.88na0．
例 3 某污水处理厂采用技术手段清除水中污染物的同时，还能生产出有用的肥料和清洁用水，在处理过程中，每小时可以从处理池中清除掉残留污染物的12%．
（1）一天后污染物含量降低到什么程度？
（2）使污染物含量减半至少要多少小时（结果保留整数）？
课本例题
课本例题
解：设污水中污染物的初始含量为 a0，
又设 n h 后残留在池中的污染物含量为 an，则an=0.88na0．
（2）为求何时污染物含量会减半，从an=0.88na0=0.5a0，
得n=log0.880.5≈5.42
故使污染物含量减半至少要6h
例 3 某污水处理厂采用技术手段清除水中污染物的同时，还能生产出有用的肥料和清洁用水，在处理过程中，每小时可以从处理池中清除掉残留污染物的12%．
（1）一天后污染物含量降低到什么程度？
（2）使污染物含量减半至少要多少小时（结果保留整数）？
性质 如果数列{an}为等比数列，那么
an= am qn－m，(n，m∈N+) ．
证明：记等比数列{an}的公比为q，则
an=a1qn－1 ，
am=a1qm－1 ，
两式相除，得
即 an=amqn－m ．
概念归纳
结论验证：
性质 如果an，am，at，as为等比数列{an}的项，且n＋m=k＋l，
（n，m，k，l∈N+）那么
an am = ak al．
特别地，若n＋m=2k，那么 an am = ak2．
证明：记等比数列{an}的公比为q，则
an=a1qn－1 ， am=a1qm－1 ，
ak=a1qk－1，al=a1ql－1，
所以 anam =a12 qn＋m－2，akal=a12 qk＋l－2，
又 n＋m=k＋l，所以 anam = akal．
概念归纳
结论验证：
概念归纳
等比数列：
如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数，那么这个数列称为等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母 q表示(q ≠ 0)
等比数列的通项公式：
一般地，如果等比数列{an}的首项为a1，公比为q ，那么该等比数列的通项公式为：an=a1qn－1
等比数列通项公式的性质：
若数列{an}为等比数列，那么 an= am qn－m，(n，m∈N+)
若数列{an}为等比数列，且n＋m=k＋l，(n，m，k，l∈N+)，
则 an am = ak al．
特别地，若n＋m=2k，那么an am = ak2．
概念归纳
典例剖析
题型1　等比数列通项公式的应用
例1　在等比数列{an}中
(1)a4＝2，a7＝8，求an；
(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
等比数列中求an的2种常用方法
归纳总结
解析：设公比为q，
由已知得6＋6q＋6q2＝78，
即q2＋q－12＝0，
解得q＝3或q＝－4(舍去)．
∴a2＝6q＝6×3＝18.
1.在等比数列{an}中，an>0，已知a1＝6，a1＋a2＋a3＝78，则a2等于(　　)
A．12 B．18
C．24 D．36
练一练
B

D
练一练
典例剖析
例2　已知等比数列的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项．
题型2　等比中项及其应用
归纳总结
(1)首项a1和q是构成等比数列的基本量，从基本量入手解决相关问题是研究等比数列的基本方法．
(2)解题时应注意同号的两个数的等比中项有两个，它们互为相反数，而异号的两个数没有等比中项．
解析：∵－1，a，b，c，－9成等比数列，
∴a2＝(－1)×b，b2＝(－1)×(－9)＝9，
∴b<0，∴b＝－3.
又b2＝ac，∴ac＝9.
3.如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么(　　)
A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9
C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9
练一练
B
例3　某学校实验室有浓度为2 g/ml和0.2 g/ml的两种K溶液．在使用之前需要重新配制溶液，具体操作方法为取浓度为2 g/ml和0.2 g/ml的两种K溶液各300 ml分别装入两个容积都为500 ml的锥形瓶A，B中，先从瓶A中取出100 ml溶液放入B瓶中，充分混合后，再从B瓶中取出100 ml溶液放入A瓶中，再充分混合．以上两次混合过程完成后算完成一次操作．设在完成第n次操作后，A瓶中溶液浓度为an g/ml，B瓶中溶液浓度为bn g/ml.(lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)
(1)请计算a1，b1，并判定数列{an－bn}是否为等比数列？若是，求出其通项公式；若不是，请说明理由；
题型3　等比数列的实际应用
典例剖析
(2)若要使得A，B两个瓶中的溶液浓度之差小于0.01 g/ml，则至少要经过几次？
归纳总结
解等比数列应用题的一般步骤
解析：根据题意，设从本月起，每月的用户数形成一个等比数列{an}，
则首项a1＝500，公比q＝1＋10%＝1.1，
则由an＝500×1.1n＝10 000可得，1.1n＝20，
则n＝log1.120≈31.4，所以大约经过32个月可使用户达到1万人．
4.某教育网站本月的用户为500人，网站改造后，预计平均每月的用户都比上一个月增加10%，那么从本月起，大约经过几个月可使用户达到1万人(精确到1)
练一练
1.某细菌培养过程中，每15分钟分裂1次，经过2小时，这种细菌由1个繁殖成（ ）
A.64个 B.128个
C.256个 D.255个
随堂练
C
2.若互不相等的实数a，b，c成等差数列，a是b，c的等比中项，且a＋3b＋c＝10，则a的值是( )
A.1 　　　　B.－1 　　　　C.－3 　　　　D.－4
D
3.写出一个公比为3，且第三项小于1的等比数列an＝___________________.
随堂练
4.若{an}为等比数列，且3a4＝a6－2a5，则公比是________.
－1或3
错因分析
易错辨析　忽略等比数列各项的符号规律致错
例4　在等比数列{an}中，a5＝1，a9＝81，则a7＝(　　)
A．9或－9 B．9
C．27或－27 D．－27
B
【易错警示】
出错原因：没有弄清等比数列各项的符号规律，直接由等比中项得
a7＝±9，错选A.
纠错心得：在等比数列中，奇数项的符号相同，偶数项的符号相同．
解此类题时要小心谨慎，以防上当．
错因分析
分层练习-基础
（ ）
D
2.下面四个数列中，一定是等比数列的是（ ）
A.q,2q,4q,6q
B.q，q2，q3，q4
C.q,2q,4q,8q
分层练习-基础
D
3.在等比数列{an}中，若a4＝8，q＝－2，则a7的值为（ ）
A.－64 B.64
C.－48 D.48
A
4.在等比数列a,2a＋2,3a＋3中，a等于（ ）
A.4 B.－4
C.－1 D.2
5.已知正项等比数列{an}，若3a1， ，2a2成等差数列，则{an}的公比q
等于（ ）
A.2 　　　　B.－2 　　　　C.－3 　　　　D.3
分层练习-基础
B
D
分层练习-基础
6.(多选)已知a是1,2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab等于
A.6 　　　　B.－6 　　　　C.－12 　　　　D.12
7.在等比数列{an}中，a1＝－2，a3＝－8，则数列{an}的公比为______，通项公式为an＝___________.
(－2)n或－2n
（ ）
AB
±2
8.若公差不为0的等差数列{an}满足a3＝5，a1，a2，a5成等比数列，则a1＝____.
1
分层练习-基础
9.某公司的月销售额近几年下跌严重，从某年的6月销售额128万元，到8月跌至32万元，你能求出该公司该年7月到9月之间平均每月下降的百分比吗？若按此计算，什么时候月销售额跌至8万元？
设每月平均下降的百分比为x，
则每月的销售额构成了等比数列{an}，
a1＝128，则a2＝a1(1－x)，
a3＝a1(1－x)2＝128(1－x)2＝32，
解得x＝50%.
设an＝8，an＝128(1－50%)n－1＝8，解得n＝5，
即从该年6月算起第5个月，也就是在该年的10月，该公司的月销售额跌至8万元.
10.(1)已知{an}为等比数列，且a5＝8，a7＝2，该数列的各项都为正数，求an；
设等比数列{an}的公比为q，由题意知q>0.
分层练习-基础
由an＝a1·qn－1，
分层练习-基础
(3)若等比数列{an}中，an＋4＝a4，求公比q.
∵an＋4＝a1qn＋3，a4＝a1q3，
又an＋4＝a4，∴qn＝1，
∴当n为偶数时，q＝±1；当n为奇数时，q＝1.
分层练习-基础
11.在等比数列{an}中，已知a1＝2，a1－a3＋a5＝26，则a3等于（ ）
A.20 　　　　B.12 　　　　C.8 　　　　D.4
12.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“b2＝ac”是“a，b，c成等比数列”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
分层练习-巩固
C
C
13.画一个边长为2的正方形，再以这个正方形的一条对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的一条对角线为边画第3个正方形，……，这样共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________.
2 048
14.若等差数列{an}满足a1＋a2＝10，a4－a3＝2，则an＝________；若{bn}是等比数列，且b2＝a3，b3＝a7，b6＝ak，则k＝_____.
2n＋2
63
分层练习-巩固
分层练习-巩固
15.设有四个数的数列{an}，该数列前3项成等比数列，其和为m，后3项成等差数列，其和为6，则实数m的取值范围为（ ）
A.m≥6 　　　　B.m≥ 　　　　　C.m≤6 　　　　D.m≥2
B
分层练习-巩固
分层练习-巩固
分层练习-巩固
17.在①a3＝5，a2＋a5＝6b2；②b2＝2，a3＋a4＝3b3；③S3＝9，a4＋a5＝8b2三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.
已知等差数列{an}的公差为d(d>1)，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，且a1＝b1，d＝q，________；求数列{an}，{bn}的通项公式.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
分层练习-拓展
由题意，后3项成等差数列，其和为6，故可设公差为d，后3项可写成2－d,2,2＋d.
分层练习-拓展
选条件①：
因为a3＝5，所以a1＋2d＝5，
因为a2＋a5＝6b2，a1＝b1，d＝q，
所以2a1＋5d＝6a1d，
则a1＝b1＝1，d＝q＝2，
故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝b1qn－1＝2n－1.
选条件②：
因为b2＝2，a1＝b1，d＝q，所以a1d＝2，
因为a3＋a4＝3b3，所以2a1＋5d＝3a1d2，
分层练习-拓展
则a1＝b1＝1，d＝q＝2，
故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，
bn＝b1qn－1＝2n－1.
选条件③：
因为S3＝9，
所以3a1＋3d＝9，
因为a4＋a5＝8b2，a1＝b1，d＝q，
所以2a1＋7d＝8a1d，
则a1＝b1＝1，d＝q＝2，
故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝b1qn－1＝2n－1.
分层练习-拓展
课堂小结
1.知识清单：
(1)等比数列的概念.
(2)等比数列通项公式的基本运算.
(3)等比中项的概念.
(4)等比数列的应用.
2.方法归纳：方程(组)思想、构造法.
3.常见误区：x，G，y成等比数列 G2＝xy，但G2＝xy x，G，y成等比数列.