湘教版高中数学选择性必修第一册第2章平面解析几何初步2.2.2直线的两点式方程课件(共43张PPT)

(共43张PPT)
2.2.2 直线的两点式方程
2.2 直线的方程
湘教版2019高一数学（选修一） 第二章 平面解析几何初步
学习目标
1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式方程.(重点)
2.了解直线的截距式方程的形式特征及适用范围.
情景导入
我们知道已知两点可以确定一条直线，在平面直角坐标系中，给定一个点P0(x0，y0)和斜率k，可得出直线方程.
如图，若给定直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)，你能否得出直线的方程呢？
1.直线的两点式方程
新知探究
课本例 3　已知直线l上的两点A(2,1)和B(5,2)，求直线l的方程.
例3的实质是求过平面直角坐标系中横坐标不相同的两点的直线方程．
那么这种方法可以推广到任意两点吗？
设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是平面直角坐标系中的任意两点

当x1≠x2时，直线 l 的斜率
取直线上一点P1(x1，y1)，由点斜式方程，得
当x1=x2时，由于P1，P2是不同的点，必然y1≠y2．此时直线垂直于x轴，
方程为x = x1． 也满足方程(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)=0．
也可以去分母，化成(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)=0的形式．
我们把过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程
(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)=0
称为直线的两点式方程，简称两点式．
如果直线既不平行于x轴也不平行于y轴，则x1≠x2且y1≠y2，
两点式方程可以写成
思考：将方程（4）做一个变形，得到 它的左右两边各具有怎样的几何意义 该方程代表完整的一条直线吗
当x≠x1且x1≠x2时，因为P(x，y)，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)都在直线 l 上，所以式子的左右两边均表示的直线 l 的斜率．
当x=x1时上述方程不成立，故方程不表示整条直线，表示的是一条直线但不包含点P1(x1，y1)．
例5　如图，三角形的顶点分别为A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2).
(1)求BC边所在直线的方程；
整理得2x＋5y＋10＝0.
这就是BC边所在直线的方程.
课本例题
(2)求BC边上的中线所在直线的方程.
整理得10x＋11y＋8＝0.
这就是BC边上的中线AM所在直线的方程.
注：两点式方程不必记忆，可先用过两点的直线的斜率公式算出斜率，再用点斜式写成方程．
典例剖析
例 1　已知三角形的顶点是A(1,3)，B(－2，－1)，C(1，－1)，求这个三角形三边所在直线的方程.
直线AC垂直于x轴，故边AC所在直线的方程为x＝1.
直线BC平行于x轴，故边BC所在直线的方程为y＝－1.
归纳总结
利用两点式求直线的方程
(1)首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程.
(2)在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写出方程.
1.(1)过点(－2,1)，(3，－3)的直线方程为_________________.
因为直线过点(－2,1)和(3，－3)，
4x＋5y＋3＝0
化简得4x＋5y＋3＝0.
练一练
(2)已知直线经过点A(1,0)，B(m,1)，求这条直线的方程.
由直线经过点A(1,0)，B(m,1)，因此该直线斜率不可能为零，但有可能不存在.
当直线斜率不存在，即m＝1时，直线方程为x＝1；
即x－(m－1)y－1＝0.
综上可得，当m＝1时，直线方程为x＝1；
当m≠1时，直线方程为x－(m－1)y－1＝0.
练一练
课本例 4 已知两点A(a，0)，B(0，b)，其中ab≠0，求直线 l 的方程．
解：过A(a，0)，B(0，b)的两点式方程为 ，
即 ． （5）
直线l与x轴的交点(a，0)的横坐标称为直线l在x轴上的截距（横截距），此时直线在 y 轴上的截距是b．方程（5）由直线 l 在两个坐标轴上的截距 a 和 b 确定，称为直线的截距式方程．
注：垂直于坐标轴和经过原点的直线不能用截距式表示．
2.直线的截距式方程
新知探究
典例剖析
例 2　求过点(3,4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线 l 的方程.
(2)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx，
综上，直线l的方程为x－y＋1＝0或4x－3y＝0.
典例剖析
例 3　求过点(3,4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线 l 的方程.
(1)当截距不为0时，
所以直线l的方程为x＋y－7＝0.
(2)当截距为0时，设直线l的方程为y＝kx，
综上，直线l的方程为x＋y－7＝0或4x－3y＝0.
归纳总结
截距式方程应用的注意事项
(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可.
(2)选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直.
(3)要注意截距式方程的逆向应用.
练一练
2.求过点A(5，2)且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍的直线l的方程．
3.截距式方程的应用
新知探究
例4.直线l过点P ，且与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A，B
两点，O为坐标原点.是否存在这样的直线同时满足下列条件？
(1)△AOB的面积为6；
(2)△AOB的周长为12.
若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
所以存在这样的直线同时满足(1)，(2)，
即3x＋4y－12＝0.
归纳总结
例5.已知直线l经过点(1,6)和点(8，－8).
(1)求直线l的两点式方程，并化为截距式方程；
典例剖析
(2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积.
如图所示，直线l与两坐标轴围成的图形是Rt△AOB，且|OA|＝4，|OB|＝8，
故直线l与两坐标轴围成的图形面积为16.
总结归纳
直线的两点式方程：
过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程为
(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)=0．
直线的截距式方程：
在两个坐标轴上的截距分别为 a 和 b 的直线方程为 ．
注：两点式方程不必记忆，可先用过两点的直线的斜率公式算出斜率，再用点斜式写成方程．
随堂练
1.过点(1,2)，(5,3)的直线方程是（ ）
B
2.在x轴、y轴上的截距分别是－3,4的直线方程是（ ）
A
3.过点P(1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为_______________
_____________.
2x－y＝0或
随堂练
x－y＋1＝0
4.已知点A(3,2)，B(－1,4)，则经过点C(2,5)且经过线段AB的中点的直线方程为_____________.
2x－y＋1＝0
错因分析
易错辨析　忽视截距为零引发的错误
例6　求过点M(3，2)，且在x、y轴上的截距相等的直线方程．
出错原因:
纠错心得：
“截距相等”包含两层意思，一是截距不为零时相等，
二是截距为零时相等，而后者常被忽视，造成漏解，
因此对于此类题目，也要分类讨论．
错因分析
分层练习-基础
1.过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为（ ）
A.y＝x＋3 B.y＝－x＋1
C.y＝x＋2 D.y＝－x－2
A
2.已知直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是（ ）
A.1 B.－1
C.－2或－1 D.－2或1
A
3.若直线 过第一、二、三象限，则（ ）
A.a>0，b>0 B.a>0，b<0
C.a<0，b>0 D.a<0，b<0
分层练习-基础
C
4.经过点A(2,5)，B(－3,6)的直线在x轴上的截距为（ ）
A.2 B.－3
C.－27 D.27
D
分层练习-基础
5.(多选)下列命题中不正确的是（ ）
A.经过点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示
B.经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示
C.经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可用方程
(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)表示
D.不经过原点的直线都可以用方程 表示
ABD
分层练习-基础
6.已知△ABC的顶点坐标分别为A(1,2)，B(3,6)，C(5，2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在的直线方程为（ ）
A.2x＋y－8＝0 B.2x－y＋8＝0
C.2x＋y－12＝0 D.2x－y－12＝0
A
7.已知点P(x,2)在过M(－2,1)和N(3，－4)两点的直线上，则x的值是_____.
－3
8.若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的方程为____________.
x＋3y＋2＝0
分层练习-基础
9.已知直线l过点P(4,1).
(1)若直线l过点Q(－1,6)，求直线l的方程；
∵直线l过点P(4,1)，Q(－1,6)，
(2)若直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，求直线l的方程.
由题意知，若直线l过原点，则得直线l的方程为x－4y＝0；
综上，直线l的方程为x－4y＝0或2x＋y－9＝0.
分层练习-基础
10.如图，已知△ABC的三个顶点分别为A(0,4)，B(－2,6)，C(－8,0).
(1)求边AC和AB所在直线的方程；
即x－2y＋8＝0.
即x＋y－4＝0.
分层练习-基础
(2)求AC边上的中线BD所在直线与坐标轴围成的三角形的面积.
分层练习-基础
由题意，得点D的坐标为(－4,2)，由两点式，
即2x－y＋10＝0.
分层练习-巩固
11.(多选)求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程为（ ）
A.x＋y－1＝0 B.x－y－7＝0
C.3x＋4y＝0 D.4x＋3y＝0
ABC
12.直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是（ ）
B
分层练习-巩固
13.已知△ABC的三个顶点分别为A(2,8)，B(－4,0)，C(6，0)，则过点B将△ABC的面积平分的直线的方程为（ ）
A.2x－y＋4＝0 B.x＋2y＋4＝0
C.2x＋y－4＝0 D.x－2y＋4＝0
D
B
15.已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是_____.
3
分层练习-巩固
分层练习-拓展
16.若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，求直线l的方程.
∵直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，
∴直线l在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0.
若l在两坐标轴上的截距相等，且设为a(a≠0)，
∴a＝±6，∴直线l的方程为x＋y±6＝0.
若l在两坐标轴上的截距互为相反数，不妨设在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为－a(a≠0)，
∴a＝±6，
∴直线l的方程为x－y±6＝0.
综上所述，直线l的方程为x＋y±6＝0或x－y±6＝0.
分层练习-拓展
课堂小结
1.知识清单：
(1)直线的两点式方程.
(2)直线的截距式方程.
(3)直线的截距式方程的应用.
2.方法归纳：
分类讨论法、数形结合法.
3.常见误区：
利用截距式方程求直线方程时忽略过原点的情况导致漏解.