湘教版高中数学选择性必修第一册第2章平面解析几何初步2.2.3直线的一般式方程课件(共36张PPT)

(共36张PPT)
湘教版2019高一数学（选修一） 第二章 平面解析几何初步
2.2 直线的方程
2.2.3 直线的一般式方程
学习目标
1.直线的一般式方程（重点）
2.理解二元一次方程能表示所有直线（重点、难点）
3.掌握各直线方程形式之间的转化（重点）
直线的方程
名称 已知条件 方程 适用范围
点斜式 过点 P0(x0， y0)，斜率为 k
斜截式 纵截距为 b，
斜率为 k
两点式 过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)
截距式 横截距和纵截距分别为 a 和 b
y －y0 = k (x－x0)
y = k x + b
(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)=0
不表示垂直x轴的直线
即斜率不存在的直线
所有直线
不表示垂直于坐标轴和经过原点的直线
不表示垂直x轴的直线
即斜率不存在的直线
复习导入
情景导入
前面我们学习了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，可以发现它们都是二元一次方程.现在请同学们思考一下，在平面直角坐标系中的每一条直线是否都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示呢？
问题1　平面直角坐标系中的任何一条直线的方程都是关于x，y的二元一次方程吗？
新知探究
直线的一般式方程
当直线与x轴不垂直时，直线的斜率存在，于是经过点P1(x1，y1)，斜率为k的直线的方程为y－y1＝k(x－x1)，即kx－y＋y1－kx1＝0，此方程是关于x，y的二元一次方程.
当直线与x轴垂直时，直线的斜率不存在，于是经过点P1(x1，y1)的直线的方程为x＝x1，即x＋0·y－x1＝0，此方程也可看作是关于x，y的二元一次方程.
因此，平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)来表示.
问题2　每一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示平面直角坐标系中的一条直线吗？
因此，在平面直角坐标系中，关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示一条直线.
平面直角坐标系中任意一条直线都可以用关于x，y的二元一次方程 Ax十By+C=0（A，B不同时为0）来表示．
关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．
我们把方程
Ax十By+C=0（A，B不同时为0）
称为直线的一般式方程，简称一般式．
概念归纳
例6已知直线 l 的方程为3x十4y－12=0．
（1）求直线 l 的斜率；
（2）求直线 l 与两条坐标轴所围成的三角形的面积．
解： （1）将直线 l 的一般式方程化为斜截式，得到
因此直线 l 的斜率为 ．
课本例题
例6 已知直线 l 的方程为3x十4y－12=0．
（2）求直线 l 与两条坐标轴所围成的三角形的面积．
解：方法一：（2）如图，设直线 l 交x轴于点A(a，0)，
交y轴于点B(0，b)．
对于直线方程3x十4y－12=0，令y=0，得x=4；
令x =0，得y=3．
于是得a=4，b=3 ．
因此
例6 已知直线 l 的方程为3x十4y－12=0．
（2）求直线 l 与两条坐标轴所围成的三角形的面积．
解：方法二：（2）设直线 l 交x轴于点A(a，0)，交y轴于点B(0，b)．
将直线的一般式方程3x十4y－12=0化为截距式，
得到：
于是得a=4，b=3 ．
因此
课堂练习：课本第67页
典例剖析


求直线的一般式方程的策略
归纳总结
【变式练】(1)过点P(－2，3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是(　　)
A．x－y＋1＝0 B．x－y＋1＝0或3x＋2y＝0
C．x－y－5＝0 D．x－y＋5＝0或3x＋2y＝0
D

2x＋y＋3＝0
题型2　用直线的一般式方程解决直线与坐标轴形成三角形问题
例2　设直线l的方程为(a＋1)x＋y－2－a＝0(a∈R)，若a＞－1，直线l与x，y轴分别交于M，N两点，O为坐标原点，求△OMN面积取最小值时，直线l的方程．
典例剖析
归纳总结
由直线的一般式方程表示直线与坐标轴形成三角形的面积的步骤
题型3　由含参数的一般式方程求参数(或取值范围)
例3　已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.
(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
典例剖析

(2)为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围．
变式探究1　本例中若直线不经过第四象限，则a的取值范围是什么？
解析：由本例(2)解法可知直线OA的斜率为3，要使直线不经过第四象限，则有a≤3.
变式探究2　本例中将方程改为“x－(a－1)y－a－2＝0”，若直线不经过第二象限，则a的取值范围又是什么？
归纳总结
求直线过定点的2种方法
【变式练】已知(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0为直线l的方程，求证：不论k取何实数，直线l必过定点，并求出这个定点的坐标．
已知直线l1：mx＋8y＋m－10＝0和直线l2：x＋2my－4＝0垂直，则m＝________.
0
错因分析
易错分析：忽视斜率不存在
错因分析
注意：含参数的直线方程中，一定注意垂直于x轴的情况，
此情况直线方程存在而斜率不存在，常常忽视而漏解.
易错分析：忽视斜率不存在，把直线的一般式化为斜截式得
，导致出错.
错因分析
分析：讨论截距是否0,分别求出直线即可.
错因分析
√
√
√
×
分层练习-基础

D
3．直线x－y－1＝0的倾斜角α为(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
B
解析：根据题意，易知直线x－y－1＝0的斜率k＝1，由tan α＝k＝1，得α＝45°.
4．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为(　　)
A．A≠0 B．B≠0 C．A·B≠0 D．A2＋B2≠0
解析：根据直线方程的一般式可知，要使得Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B不能同时为零，即A2＋B2≠0.
D
5．斜率为2，且经过点A(1，3)的直线的一般式方程为____________．
解析：由直线点斜式方程可得y－3＝2(x－1)，化为一般式为：2x－y＋1＝0.
2x－y＋1＝0
6.直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是（ ）
D
分层练习-巩固
7.已知两条直线a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都过点A(2,3)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程为_____________.
2x＋3y＋4＝0
∵两条直线a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都过点A(2,3)，
∴2a1＋3b1＋4＝0,2a2＋3b2＋4＝0，
因此过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线的方程为2x＋3y＋4＝0.
8.若点A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n均大于0，则
的最小值为____.
8
分层练习-拓展
9.直线l过原点，且垂直于向量(1，－3).若角α的终边落在直线l上，则
＝_______.
因为直线l过原点，且垂直于向量(1，－3)，所以直线l的方程为x－3y＝0，
10.已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).
(1)证明：直线l过定点；
直线l的方程可化为y－1＝k(x＋2)，由点斜式方程可知，直线l过定点(－2,1).
(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
解得k>0；
当k＝0时，直线l的方程为y＝1，符合题意，
故k的取值范围是[0，＋∞).
(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程.
由题意可知k≠0，再由l的方程，
∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.
解得k>0.
课堂小结
直线的方程
× √ √
× √ √
× × √
× × ×
√ √ √