湘教版高中数学选择性必修第一册第1章数列1.4数学归纳法课件(共56张PPT)

(共56张PPT)
湘教版2019高一数学（选修一） 第一章 数列
*1.4 数学归纳法
学习目标
1.了解数学归纳法的原理
2.利用数学归纳法证明等式
3.归纳—猜想—证明
情景导入
如果从盒子里拿出5个小球，发现全部都是绿色的，
是否判断盒子里面的小球都是绿色的？
不能.通过考察部分对象，得到一般的结论的方法，叫不完全归纳法.
不完全归纳法得到的结论不一定正确.
在多米诺骨牌游戏中，我们该如何保证所有的骨牌全部倒下？
要确保任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块滑牌也倒下，这样的话，只需要第一块骨牌倒下，就可导致后面所有的骨牌都能倒下.
情景导入
1.数学归纳法的概念
新知探究
本章研究了大量与正整数 n 有关的数列问题.
请你尝试解决下列问题：
通过对n=1，2，3，4进行归纳，可以猜想数列的通项公式是：
像这样由特殊到一般的推理方法，叫作归纳法.
用归纳法可以帮助我们从一些具体事例中发现一般规律.
当然，仅根据有限的特殊事例归纳得出的结论有时是不正确的.
例如“n +n+11是质数”这个命题对于n=1，2，3，…，9都成立，但当n=10时，10 +10+11=121=11 ，是一个合数.
概念归纳
大家熟悉的“多米诺骨牌效应”或许能给我们以启发.
将骨牌竖立起来摆成一排，并确保任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌也倒下.若推倒第一块骨牌，它会带倒第二块，再带倒第三块，以此类推，直到所有骨牌全部倒下.
如何找到这样一种推理方法呢？
（1）（奠基）最初的一个命题正确,
（2）（递推）由每一个命题的正确性都可以推出它的下一个命题的正确性，那么便证明了这一系列命题的正确性.
第一步奠基,
证明最初一个命题正确，相当于我们已经亲手“推倒第一块骨牌”.
第二步递推,
意味着“每一块倒下的骨牌怎样将下一块骨牌带倒”.
这样一来，无论有多少块骨牌，只要保证（1）和（2）成立，那么所有的骨牌一定都会倒下.
概念归纳
注意点：
初始值n0选择不一定是1，要结合题意恰当的选择.
(1)用数学归纳法证明：1＋2＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式是( )
A.1 B.1＋3
C.1＋2＋3 D.1＋2＋3＋4
当n＝1时，2n＋1＝2×1＋1＝3，所以左边为1＋2＋3.
典例剖析
C
(2)用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝ ，则当n＝k＋1时，等式左边应在n＝k的基础上加上___________________________.
当n＝k时，等式左边＝1＋2＋3＋…＋k2，
当n＝k＋1时，
等式左边＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，
所以在n＝k时的左边应加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.
(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2
数学归纳法的三个关键点
(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.
(2)递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，要正确分析式子中项数的变化，弄清式子两边的构成规律.
(3)利用假设是核心：在第二步证明n＝k＋1时，一定要利用归纳假设.
练一练
所以当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法( )
A.过程全部正确
B.n＝1验证不正确
C.归纳假设不正确
D.从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
D
2.利用数学归纳法证明等式
新知探究
课本例题
例 2 用数学归纳法证明：
这表明，当n=k+1时，等式也成立.
课本例题
典例剖析
题型 1　用数学归纳法证明等式问题
概念归纳
用数学归纳法证明等式的策略
应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即：
(1)n＝n0时，等式的结构．
(2)n＝k到n＝k＋1时，两个式子的结构：n＝k＋1时的代数式比n＝k时的代数式增加(或减少)的项．
这时一定要弄清三点：
①代数式从哪一项(哪一个数)开始，即第一项．
②代数式相邻两项之间的变化规律．
③代数式中最后一项(最后一个数)与n的关系．
1.求证：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N＋)．
证明：(1)当n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立．
(2)假设当n＝k时，等式成立，
即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)．
当n＝k＋1时，
12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2
＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)
＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，
所以n＝k＋1时，等式也成立．
综上所述，等式对任何n∈N＋都成立．
练一练
(拓展)题型 3　用数学归纳法证明几何问题
例 3　有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任意三个圆不相交于同一 点，求证：这n个圆将平面分成f(n)＝n2－n＋2个部分(n∈N＋)．
典例剖析
证明：①当n＝1时，一个圆将平面分成两个部分，且f(1)＝1－1＋2＝2，所以n＝1时命题成立．
②假设n＝k(k≥1)时命题成立．
即k个圆把平面分成f(k)＝k2－k＋2个部分．
则n＝k＋1时，在k＋1个圆中任取一个圆O，剩下的k个圆将平面分成f(k)个部分，而圆O与k个圆有2k个交点，这2k个点将圆O分成2k段弧，每段弧将原平面一分为二，故得f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2.
所以当n＝k＋1时，命题成立．
综合①②可知，对一切n∈N＋，命题成立．
概念归纳
方法总结：
对于几何问题的证明，可以从有限情形中归纳出一个变化的过程，或者说体会出是怎么变化的，然后再去证明，也可以采用递推的办法，利用数学归纳法证明几何问题时，关键是正确分析由n＝k到n＝k＋1时几何图形的变化规律．
练一练
相对于证明，人们往往对等式右边的结论是如何想出来的感到为难.
3.归纳—猜想—证明
新知探究
由表中数据，我们可以猜想：
n 1 2 3 4 5 ··· n
1 3 6 10 15 ···
1 5 14 30 55 ··· ？
···
再看一个例子：前n个正整数的立方和表达式是怎样的？
n 1 2 3 4 ··· n
1 3 6 10 ···
1 9 36 100 ··· ？
由表中数据，我们可以猜想：
一般来说，上述结论不是由数学归纳法发现出来的，而是通过观察具体实例
“猜想”出来的，然后用数学归纳法来验证这个猜想.
典例剖析
题型 2　归纳—猜想—证明
概念归纳
方法总结：
(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”．
(2)“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”．高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题．这种方法更适用于已知数列的递推公式求通项公式．
练一练
练一练
1.用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时，由n＝k到n＝k＋1的凸n边形的内角和增加（ ）
随堂练
2.用数学归纳法证明n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2(n∈N＋)时，若记f(n)＝n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)，则f(k＋1)－f(k)等于（ ）
A.3k－1 B.3k＋1
C.8k D.9k
B
C
3.以下是一个证明的全部过程：假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即2＋4＋…＋2k＝k2＋k，则当n＝k＋1时，2＋4＋…＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋2(k＋1)＝(k＋1)2＋(k＋1)，即当n＝k＋1时，等式也成立.因此等式对于任何n∈N＋都成立.
则用数学归纳法证明“2＋4＋…＋2n＝n2＋n(n∈N＋)”的过程中的错误为____________________________.
缺少当n＝1时命题成立的证明
随堂练
4.用数学归纳法证明关于n的恒等式，当n＝k时，等式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，等式为___________________________________________________.
1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2
随堂练
( )
1.用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，在验证n＝1时，左边计算所得的式子为( )
A.1 B.1＋2
C.1＋2＋22 D.1＋2＋22＋23
分层练习-基础
D
B
A.n＝k＋1时等式成立
B.n＝k＋2时等式成立
C.n＝2k＋2时等式成立
D.n＝2(k＋2)时等式成立
分层练习-基础
( )
B
4.如果1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋n(n＋1)·(n＋2)＝ n(n＋1)(n＋a)(n＋b)对一切正整数n都成立，则a，b的值应该等于（ ）
A.a＝1，b＝3 B.a＝－1，b＝1
C.a＝1，b＝2 D.a＝2，b＝3
分层练习-基础
D
5.若等式A(n)(n∈N＋)在n＝k(k∈N＋)时成立，则有n＝k＋1时等式也成立.现知等式对n＝n0(n0∈N＋)成立，则有( )
A.等式对所有正整数都成立
B.等式对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立
C.等式对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数
都成立
D.以上说法都不正确
分层练习-基础
C
分层练习-基础
( )
D
7.用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)的过程如下：
①当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，左边＝右边，等式成立.
②假设当n＝k时，等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝ ＝2k＋1－1，
所以当n＝k＋1时，等式成立.
由此可知，对任何n∈N＋等式都成立.上述证明的错误是______________
___________.
没有用归纳假
设进行递推
分层练习-基础
8.若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的递推关系式是______________________________.
f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2
分层练习-基础
9.用数学归纳法证明：
等式成立.
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时等式成立，
那么当n＝k＋1时，有
分层练习-基础
10.设a>0，f(x)＝ ，令a1＝1，an＋1＝f(an)，n∈N＋.
(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想{an}的通项公式；
分层练习-基础
因为a1＝1，an＋1＝f(an)，
(2)用数学归纳法证明你的结论.
分层练习-基础
①易知当n＝1时，等式成立；
即当n＝k＋1时，等式也成立.
11.(多选)已知一个命题p(k)，k＝2n(n∈N＋)，若当n＝1,2，…，1 000时，p(k)成立，且当n＝1 001时也成立，则下列判断中正确的是( )
A.p(k)对k＝528成立
B.p(k)对每一个自然数k都成立
C.p(k)对每一个正偶数k都成立
D.p(k)对某些偶数可能不成立
分层练习-基础
A、D
12.用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3…·(2n－1)(n∈N＋)时，将“n＝k→n＝k＋1”两边同乘一个代数式，它是( )
分层练习-基础
D
分层练习-基础
14.已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n·3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N＋
成立，那么a＝____，b＝_____，c＝_____.
15.用数学归纳法证明：1＋2＋22＋23＋…＋25n－1(n∈N＋)是31的倍数，当n＝1时，原式为________________，从n＝k到n＝k＋1时需增添的项是____________________.
1＋2＋22＋23＋24
25k＋25k＋1＋…＋25k＋4
分层练习-拓展
16.设函数y＝f(x)，对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy.
(1)求f(0)的值；
令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋2×0×0，得f(0)＝0.
(2)若f(1)＝1，求f(2)，f(3)，f(4)的值；
由f(1)＝1，
得f(2)＝f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＋2×1×1＝4；
f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＋2×2×1＝9；
f(4)＝f(3＋1)＝f(3)＋f(1)＋2×3×1＝16.
分层练习-拓展
(3)在(2)的条件下，猜想f(n)(n∈N＋)的表达式并用数学归纳法加以证明.
由(2)可猜想f(n)＝n2.
用数学归纳法证明如下：
①当n＝1时，等式成立.
②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，f(n)＝n2成立，
即f(k)＝k2，
则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋f(1)＋2×k×1＝k2＋1＋2k＝(k＋1)2，
即当n＝k＋1时f(n)＝n2也成立，
由①②可知，f(n)＝n2对一切n∈N＋都成立.
分层练习-拓展
课堂小结
1.知识清单：
(1)数学归纳法的概念.
(2)用数学归纳法证明等式.
(3)“归纳—猜想—证明”问题.
2.方法归纳：数学归纳法.
3.常见误区：①是对n0取值的问题易出错；
②是增加或减少的项数易出错.