湘教版高中数学选择性必修第一册第2章平面解析几何初步2.2.4直线的方向向量与法向量课件(共34张PPT)

(共34张PPT)
湘教版2019高一数学（选修一） 第二章 平面解析几何初步
2.2 直线的方程
2.2.4 直线的方向向量与法向量
学习目标
1.了解直线的方向向量与法向量（重点）
2.会利用直线的方向向量与法向量求直线的方程（难点）
3.体会数形结合，分类讨论，特殊到一般等数学思想（重点）
名称 已知条件 方程 适用范围
点斜式 过点 P0(x0， y0)，斜率为 k
斜截式 纵截距为 b，
斜率为 k
两点式 过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)
截距式 横截距和纵截距分别为 a 和 b
一般式
y －y0 = k (x－x0)
y = k x + b
(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)=0
不表示垂直x轴的直线
即斜率不存在的直线
所有直线
不表示垂直于坐标轴和经过原点的直线
不表示垂直x轴的直线
即斜率不存在的直线
Ax十By+C=0（A，B不同时为0）
所有直线
复习导入
本章一开始就用直线的斜率（倾斜程度）来表示直线的方向．那么，什么叫作直线PQ的方向？
直线上两个不同点PQ之间的有向线段的方向就
是直线的方向，可以用非零向量PQ来表示．
不过，我们没有把直线 l 规定成有向直线，直线PQ与QP是同一条直线，两个相反向量PQ，QP的
方向都代表直线 l 的方向，此时这两个方向平行．
1.直线的方向向量
新知探究
A
直线 l 的方向向量 v 并不唯一， v 的所有的非零实数倍 λ 即 λv 都是方向向量；
反过来，所有的方向向量都与 l 平行，因此它们相互平行，互为实数倍．
因此，我们把与直线 l 平行的非零向量 v 都称为 l 的方向向量，用它们来表示直线的方向．
概念归纳
课本例7　求直线y＝kx＋b的全体方向向量.
其中λ＝x2－x1可以取任意非零实数.
典例剖析
1.求直线4x－y＋5＝0的全体方向向量.
将直线4x－y＋5＝0化为斜截式为y＝4x＋5，
其斜率k＝4，
因此，该直线的全体方向向量为λ(1,4)，其中λ为任意非零实数.
练一练
课本例8 求直线3x＋4y－12=0的全体方向向量．
解： (方法一)直线方程化为斜截式，得：
其中λ 为任意非零实数．
斜率为k的直线的方向向量为(1，k)的非零实数倍．
其斜率为 ．
典例剖析
课本例8 求直线3x＋4y－12=0的全体方向向量．
解： (方法二)直线上任意两点P(x0， y0) ，Q(x，y)的坐标满足等式：
3x0＋4y0－12=0， ① 3x＋4y－12=0． ②
②－①得 3(x－x0)＋4(y－y0) = 0． ③
将③式的左边写出数量积的形式，得 (3，4) (x－x0，y－y0) = 0． ④
当PQ不重合时，PQ =(x－x0，y－y0)，代表了直线的全体方向向量，
由④可知，PQ与向量(3，4)垂直，因此这条直线与向量(3，4)垂直．
由3×4＋4×( 3)=0得到向量(4， 3)与向量(3，4)垂直．因此(4， 3)是
直线的一个方向向量，直线的全体方向向量为λ(4， 3) = (4λ， 3λ)，其中λ为任意非零实数．
课本例8方法二的推理适用于一般直线方程 Ax＋By＋C=0 (A，B不同时为0)．
解：直线上任意两点P(x0， y0) ，Q(x，y)的坐标满足等式：
Ax0＋By0＋C=0， Ax＋By＋C=0．
以上两个式子相减，得 A(x－x0)＋B(y－y0) = 0．
将上式的左边写出数量积的形式，得 (A，B) (x－x0，y－y0) = 0．
该式可看成向量n = (A，B)与向量PQ =(x－x0，y－y0)的数量积．
即： n PQ=0，用几何语言描述就是n⊥PQ．
这说明过定点P及任意点Q的线段垂直于n = ON ，动点Q组成的图形就是过定点P且与ON垂直的直线l ．
2.直线的法向量
新知探究
反之，作与直线l垂直的非零有向线段ON我们取向量n = ON =(A，B)．
已知直线l上一个定点P(x0， y0)，则平面上任一点Q(x，y)在直线上的充分必要条件为ON⊥PQ．
用向量运算叙述出来就是：
ON PQ = 0 (A，B) (x－x0，y－y0) = 0
A(x－x0)＋B(y－y0) = 0．
由此得到直线l的方程：
A(x－x0)＋B(y－y0) = 0．
当P，Q不重合时，PQ =(x－x0，y－y0)，代表了直线l的全体方向向量，所以向量(A，B)垂直于直线的全体方向向量．
当P，Q两点重合时(x－x0，y－y0) = (0，0)是零向量，不是方向向量，仍与向量(A，B)垂直．
因此，(x－x0，y－y0)，代表了直线l的全体方向向量，它们都与向量(A，B)垂直．
因此，非零向量(A，B)与直线l垂直．
与直线 l 垂直的非零向量(A，B)称为直线 l 的法向量．
直线的一般式方程 Ax＋By＋C=0的一次项系数组成的向量(A，B)是直
线的法向量．
反过来，已知直线的法向量(A，B)，就知道了一般式方程 Ax＋By＋C=0的一次项系数．将直线上任一已知点(x0， y0)的坐标代入该方程，就可由Ax0＋B y0＋C=0得到待定常数C=－Ax0－B y0，进而得到直线方程
Ax＋By－Ax0－B y0=0．
即 A(x－x0)＋B(y－y0) = 0的形式．
概念归纳
2.若直线l的倾斜角为135°，则直线l的一个法向量是（ ）
A.(1，－1) B.(1,1)
C.(－1,1) D.(2， )
∵直线l的倾斜角为135°，∴直线l的斜率k＝－1，
∴直线l的一个方向向量为(1，－1)，则直线l的一个法向量为(1,1).
B
练一练
课本例9 写出满足下列条件的直线的方程：
(1)垂直于向量(3，2)并且经过点A(2，1)； (2)经过点A(2，1)和B(5，2)．
解： （1）(方法一)设点(x，y)为直线上不同于点A的任意一点，直线的方
向向量(x－2，y－1)垂直于向量(3，2)，则有
(3，2) (x－2，y－1) = 3(x－2)＋2(y－1)=0．
整理得一般式方程
3x＋2y－8=0．
典例剖析
例9 写出满足下列条件的直线的方程：
(1)垂直于向量(3，2)并且经过点A(2，1)； (2)经过点A(2，1)和B(5，2)．
解： （1） (方法二)由条件可知向量(3，2)为所求直线的法向量，故可设直
线的一般式方程为
3x＋2y＋C=0．
将点A(2，1)的坐标代入上述方程，得：
3×3＋2×1＋C=0
解得： C=－8．
因此直线方程为：3x＋2y－8=0．
例9 写出满足下列条件的直线的方程：
(1)垂直于向量(3，2)并且经过点A(2，1)； (2)经过点A(2，1)和B(5，2)．
解： （2）由已知条件可知直线的方向向量AB = (5－2，2－1)=(3，1)．
因此，可设直线的一般式方程为
x－3y＋C=0．
将点A(2，1)的坐标代入上述方程，得：
1×2－3×1＋C=0，
解得：C=1．
因此直线方程为： x－3y＋1=0．
又1×3＋( 3)×1=0，可知直线的法向量为：n =(1，－3)．
题型1　求直线的方向向量和法向量
例1　(1)求直线2x－3y＋5＝0的一个方向向量和法向量；

(2)求过点A(2，3)和点B(0, －2)的直线的一个方向向量和法向量．
典例剖析
熟练掌握直线的斜截式(或一般式)方程对应的方向向量的坐标特征．不同形式的直线方程，可以先将方程化为斜截式或一般式，然后直接写出它的一个方向向量．
直线l：y＝kx＋b的一个方向向量为v＝(1，k)；
直线l：Ax＋By＋C＝0的一个方向向量为v＝(B，－A)．
总结归纳
解析：直线l的斜率为k＝tan 135°＝－1，
所以直线l的全体方向向量为λ(1，－1)，(λ≠0，λ∈R)
检验可知B、C为直线l的方向向量．
BC
练一练
(2)若直线l经过点A(－1，4)，B(3，2)，则直线的一个法向量n为(　　)
A．n＝(1，－2) B．n＝(4，－2)
C．n＝(4，2) D．n＝(1，2)
D
练一练
题型2　直线方向向量的应用
例2　(1)经过A(0，2)，B(－1，0)两点的直线的方向向量为(1，k)，求k的值；
(2)如果直线过点P(1，－4)，且直线的方向向量是a＝(3，9)，求直线的方程．
典例剖析
已知直线的方向向量求直线方程时，可用待定系数法求得：
(1)若已知直线的一个方向向量为v＝(1，k)，则可设直线l的方程为y＝kx＋b；
(2)若已知直线的一个方向向量为v＝(B，－A)，则可设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0.
总结归纳
B
练一练
(2)平行于向量(2，－3)且经过点B(1，－2)的直线方程为_______________．
3x＋2y＋1＝0
解析： 由条件可设直线的方程为3x＋2y＋C＝0，
把点B(1，－2)代入得C＝1，
所以所求直线方程为3x＋2y＋1＝0.
练一练
题型3　直线法向量的应用
例3　(1)已知两条直线l1：ax－2y－3＝0，l2：4x＋6y－3＝0，若l1的一个法向量恰为l2的一个方向向量，则a＝____；
3
解析：因为直线l1：ax－2y－3＝0的一个法向量恰为l2：4x＋6y－3＝0的一个方向向量，所以l1⊥l2，所以a×4＋(－2)×6＝0，解得：a＝3.
典例剖析
(2)如果直线过点D(6，－1)，且直线的法向量是b＝(4，－3)，求直线的方程．

典例剖析
总结归纳
已知直线的法向量求直线方程的方法
待定系数法：若已知直线的一个法向量为n＝(A，B)，则可设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0.
D
练一练
(2)垂直于向量(3，－5)且经过点A(1，2)的直线方程为 _________ 。
3x－5y＋7＝0
解析： 由条件可知向量(3，－5)为所求直线的一个法向量，
故可设直线的一般式方程为3x－5y＋C＝0，
将点A(1，2)代入得C＝7，
所以直线方程为3x－5y＋7＝0.
练一练
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量．(　　)
(2)若v是直线l的方向向量，则λv(λ∈R)也是直线l的方向向量．(　　)
(3)若n为直线l的一个法向量，则λn(λ≠0)也是直线l的一个法向量．(　　)
(4)向量(x0，y0)与(y0，－x0)是相互垂直的．(　　)
√
√
√
×
随堂练习
2．直线3x－2y－1＝0的一个方向向量为(　　)
A．(2，－3) B．(2，3) C．(－3，2) D．(3，2)
B
3．直线3x－4y＋5＝0的一个法向量是(　　)
A．(3，4) B．(3，－4) C．(4，3) D．(4，－3)
B
4．已知直线l的方向向量为(1，5)，则直线l的法向量为(　　)
A．(5，1) B．(－1，5) C．(5，－1) D．(－5，－1)
解析：因为直线l的方向向量为(1，5)，所以直线l的法向量可以是(－5，1)或(5，－1)．
C
6．若一条直线的斜率为k，则它的一个方向向量是________，一个法向量是________．
(1，k)
(k，－1)
解析：因为直线的斜率为k，所以它的一个方向向量为(1，k)，设一个法向量为(x，y)，则(x，y)·(1，k)＝x＋ky＝0，不妨取x＝k，y＝－1，则它的一个法向量是(k，－1)．
5.直线的一个方向向量为v＝(1，－3)，且经过点(0,2)，则直线的方程为（ ）
A.3x－y＋2＝0 B.3x＋y－2＝0
C.3x＋y＋2＝0 D.3x－y－2＝0
B
方法一　∵直线的一个方向向量为v＝(1，－3)，∴k＝－3，
∴直线的方程为y＝－3x＋2，
即3x＋y－2＝0.
方法二　由题意知直线的一个法向量为n＝(3,1)，∴直线的方程可设为3x＋y＋C＝0，将点(0,2)代入得C＝－2，故所求直线的方程为3x＋y－2＝0.
直线的方向向量：
与直线平行的非零向量都称为的方向向量．
斜率为k的直线的方向向量为(1，k)的非零实数倍．
直线 Ax＋By＋C=0 (A，B不同时为0)的一个方向向量为 (B，－A)．
直线的法向量：
与直线垂直的非零向量称为直线的法向量．
直线 Ax＋By＋C=0 (A，B不同时为0)的一个法向量为 (A，B)．
过点(x0， y0)，且法向量为(A，B)的直线的方程为A(x－x0)＋B(y－y0) = 0．
课堂小结