湘教版高中数学选择性必修第一册第2章平面解析几何初步2.2.1直线的点斜式方程课件(共43张PPT)

(共43张PPT)
湘教版2019高一数学（选修一） 第二章 平面解析几何初步
2.2.1 直线的点斜式方程
2.2 直线的方程
学习目标
1.了解由斜率公式推导直线的点斜式方程的过程.
2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.(重点)
3.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关的问题.(难点)
情景导入
旧知回顾
上节课我们学习了直线的倾斜角与斜率，你能简述一下它们的概念吗？
直线的倾斜角：
当直线 l 与 x 轴相交时，我们把 x 轴正向绕交点逆时针旋转到与直线 l 向上方向首次重合所成的角 α 叫作直线 l 的倾斜角．
倾斜角的取值范围： 0 ≤ α < π．
你能在纸上默写出斜率公式吗？
斜率公式：经过两个不同点
A(x1，y1)，B (x2，y2)，(x1≠x2)
的直线的斜率为
情景导入
射击手在进行射击训练时，要掌握两个动作要领：
一是托枪的手要非常稳，
二是眼睛要瞄准目标的方向.
若把子弹飞行的轨迹看作一条直线，
并且射击手达到上述的两个动作要求，
试分析子弹是否会击中目标.
给定直线的斜率和直线上一点，或者给定两点，都能唯一确定一条直线．
本节，我们将用给定的条件，将直线上所有点的坐标（x，y）满足的共同关系表示出来，这就是直线方程．
1.直线的点斜式方程
新知探究
如图 ，已知直线 l 的斜率为 k，且 l 过已知点 P0(x0， y0)，
设 P(x， y)为 l 上不同于P0的任意一点．
因为直线 l 的斜率
于是可得 y －y0 = k (x－x0).（1）
可以验证，直线 l 上的每个点（包括点P0）的坐标都是这个方程的解；
反过来，以这个方程的解为坐标的点都在直线 l 上．
我们称方程（1）为过点 P0(x0， y0)，斜率为 k 的直线 l 的方程．
由于该方程由直线上一定点及其斜率确定，因此把方程（1）称为直线的点斜式方程，简称点斜式．
当直线 l 与 x 轴垂直时，斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为 l 上每一点的横坐标都等于x0，所以它的方程是 x = x0 ．
综上可知，若直线 l 过点 P0(x0， y0)，
当直线 l 与 x 轴不垂直时，斜率为 k，
那么直线 l 的方程为：y －y0 = k (x－x0)．
特别地，当直线 l 与 x 轴平行或重合时，斜率 k=0，
直线 l 的方程为：y = y0 ．
当直线 l 与 x 轴垂直时，斜率不存在，
直线 l 的方程为：x = x0 ．
课本例1　已知直线l经过点P(2,3)，斜率为2，求直线l的方程，并画出该直线.
经过点P(2,3)，斜率为2的直线的点斜式方程是
y－3＝2(x－2).
画该直线时，可在直线l上另取一点P1(x1，y1)，
如取x1＝1，y1＝1，得P1(1,1)，
过P，P1作直线即为所求，如右图.
课本例题
例 1　根据条件写出下列直线的点斜式方程：
(1)经过点A(－4,3)，斜率k＝3；
由点斜式方程可知，所求直线的点斜式方程为y－3＝3(x＋4).
典例剖析
(2)经过点B(－1,4)，倾斜角为135°.
由题意知，直线的斜率k＝tan 135°＝－1，
故所求直线的点斜式方程为y－4＝－(x＋1).
求直线的点斜式方程的思路
概念归纳
1.写出满足下列条件的直线方程：
(1)经过点(2，－3)，倾斜角是直线y＝ 的倾斜角的2倍；
练一练
(2)经过点P(5，－2)，且与y轴平行.
与y轴平行的直线，其斜率k不存在，不能用点斜式方程表示.
但直线上点的横坐标均为5，
故直线方程可记为x＝5.
练一练
我们称方程______________为过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程.
由于该方程由直线上一定点及其斜率确定，因此把方程y－y0＝k(x－x0)称为直线的___________，简称点斜式.
y－y0＝k(x－x0)
点斜式方程
概念归纳
注意点：
(1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式.
(2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.
特别地，x轴的方程是y＝0；
当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程.
此时可将方程写成x＝x0.
特别地，y轴的方程是x＝0.
2.直线的斜截式方程
新知探究
例1（课本例2)已知直线 l 的斜率为 k，与 y 轴的交点是P(0，b)，求直线 l 的方程．
解：经过点P(0，b)，斜率为 k 的直线的点斜式方程是
y－b= k (x－0)，
整理得 y = k x + b． （2）
概念归纳
直线 l 与y轴的交点(0，b)的纵坐标称为直线 l 在y轴上的截距（纵截距）．
方程（2）由直线 l 的斜率和它在y轴上的截距确定，
因此把方程（2）称为直线的斜截式方程，简称斜截式．
注：直线的纵截距，不是一个点，也不是距离，
而是直线与y轴交点的纵坐标．
观察方程y = k x + b，与我们初中学过的一次函数解析式相同．
从直线方程的角度来认识一次函数 y = k x + b，它的图象是一条直线，其中参数 k 是直线的斜率，常数 b 是直线在 y 轴上的截距．
如果数列{an}为等差数列，
那么 an=a1＋(n－1)d = dn＋(a1－d )，
所以数列{an}的图象是直线 y = dx＋(a1－d )上一系列孤立的点，该直线的斜率为 d．
因为( n，an)， ( m，am) 为直线上的两点，
所以 ，
所以 an= am ＋ (n－m)d，(n，m∈N+) ．
典例剖析
例2.根据条件写出下列直线的斜截式方程：
(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；
由直线方程的斜截式可知，
所求直线方程为y＝2x＋5.
(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；
∵直线的倾斜角为150°，
(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
∵直线的倾斜角为60°，
∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，
∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.
练一练
∴其倾斜角α＝120°，
求直线的斜截式方程的策略
概念归纳
1.直线l与y轴的交点(0，b)的_______称为直线l在y轴上的截距.
2.把方程y＝kx＋b称为直线的斜截式方程，简称斜截式.
纵坐标
注意点：
(1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况；由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y轴上的截距.
(2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0.
3.含参数的直线方程的几何特征
新知探究
例3.已知直线l：y＝ax＋ .
(1)求证：无论a为何值，直线l必经过第一象限；
所以直线l必经过第一象限.
例3.已知直线l：y＝ax＋ .
(2)若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围.
若直线l不经过第二象限，
则直线l的斜率kl≥3，
即a≥3.
所以实数a的取值范围为[3，＋∞).
典例剖析
对于含参数k的直线y－y0＝k(x－x0)，
该直线恒过定点(x0，y0).
概念归纳
2.(1)已知直线y＝kx＋1－3k，当k变化时，所有的直线恒过定点（ ）
A.(1,3) B.(－1，－3)
C.(3,1) D.(－3，－1)
直线y＝kx＋1－3k变形为y－1＝k(x－3)，
由直线的点斜式可得直线恒过定点(3,1).
练一练
C
(2)直线y＝ax－ 的图象可能是（ ）
练一练
B
1.已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则（ ）
A.直线经过定点(2，－1)，斜率为－1
B.直线经过定点(1，－2)，斜率为－1
C.直线经过定点(－2，－1)，斜率为1
D.直线经过定点(－1，－2)，斜率为－1
随堂练
D
B
随堂练
3.若直线y＝kx＋b经过第一、三、四象限，则有（ ）
A.k>0，b>0 B.k>0，b<0
C.k<0，b>0 D.k<0，b<0
B
C
错因分析
例4　一条直线l过点(2，1)且与x轴的夹角为45°，则这条直线方程为____________________．
y＝x－1或y＝－x＋3
解析：∵直线l与x轴的夹角为45°，
∴直线l的倾斜角α＝45°或135°.
∴直线l的斜率k＝1或－1.
∴直线l的方程为：y－1＝x－2或y－1＝－(x－2)
即y＝x－1或y＝－x＋3.
易错辨析　忽视倾斜角的范围出错
出错原因：
误认为夹角就是直线l的倾斜角，导致漏掉了倾斜角为135°的情形．
纠错心得:
在处理直线问题时，一定要注意倾斜角的取值范围，否则很容易会出现只考虑锐角而丢掉钝角的情况，而漏解．
错因分析
分层练习-基础
1.经过点P(0,2)且斜率为2的直线的方程为（ ）
A.y＝－2x－2 B.y＝2x－2
C.y＝2x＋2 D.y＝－2x＋2
2.已知一直线经过点A(3，－2)，且与x轴平行，则该直线的方程为（ ）
A.x＝3 B.x＝－2
C.y＝3 D.y＝－2
C
D
分层练习-基础
3.若直线l的倾斜角为45°，且过点(0，－1)，则直线l的方程是（ ）
A.y－1＝x B.y＋1＝x
C.y－1＝－x D.y＋1＝－x
4.(多选)给出下列四个结论，正确的是（ ）
A.方程k＝ 与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直线
B.若直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为90°，则其方程是x＝x1
C.若直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程是y＝y1
D.所有的直线都有点斜式和斜截式方程
B
BC
5.直线y－b＝2(x－a)在y轴上的截距为（ ）
A.a＋b B.2a－b
C.b－2a D.|2a－b|
分层练习-基础
C
BC
7.不管k为何值，直线y＝k(x－2)＋3必过定点_____.
(2,3)
8.在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线的
斜截式方程是____________________________.
分层练习-基础
9.求倾斜角为直线y＝ ＋1的倾斜角的一半，且分别满足下列条件的直线方程.
(1)经过点(－4,1)；
分层练习-基础
(2)在y轴上的截距为－10.
因为直线在y轴上的截距为－10，
分层练习-基础
10.直线l过点(2,2)，且与x轴和直线y＝x围成的三角形的面积为2，求直线l的方程.
分层练习-基础
当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝2，经检验，符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x－2)，易知k≠0，
11.(多选)直线(m2＋2m)x＋(2m2－m＋3)y＝4m＋1在y轴上的截距为1，
则m的值可以是（ ）
分层练习-巩固
12.直线y＝ax与直线y＝x＋a在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
CD
C
13.(多选)经过点(2,1)，且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程
为（ ）
A.y＝x＋3 B.y＝x－1
C.y＝－x＋3 D.y＝－x－1
分层练习-巩固
14.将直线y＝ (x－2)绕点(2,0)按逆时针方向旋转60°后所得直线的
斜截式方程是________________.
BC
分层练习-拓展
15.已知点A(1,3)，B(－2，－1).若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，
则k的取值范围是_________.
16.已知直线l：y＝kx＋2k＋1.
(1)求证：直线l恒过一个定点；
由y＝kx＋2k＋1，
得y－1＝k(x＋2).
由直线方程的点斜式可知，直线l恒过定点(－2,1).
分层练习-拓展
(2)若当－3设函数f(x)＝kx＋2k＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)，
若使当－3课堂小结
1.知识清单：
(1)直线的点斜式方程.
(2)直线的斜截式方程.
(3)含参数的直线方程的几何特征.
2.方法归纳：待定系数法、数形结合法.
3.常见误区：求直线的方程时忽视斜率不存在的情况；
混淆截距与距离.