湘教版高中数学选择性必修第一册第2章平面解析几何初步2.3.2两条直线的交点坐标课件(共57张PPT)

(共57张PPT)
湘教版2019高一数学（选修一） 第二章 平面解析几何初步
2.3.2 两条直线的交点坐标
学习目标
1.进一步巩固两条直线的位置关系
2.掌握两条直线相交位置关系的判定，会求其交点坐标（重点）
3.直线系方程的关系（难点）
4.体会数形结合，分类讨论, 特殊到一般等数学思想
在平面几何中，我们对直线作了定性研究，引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一个点的坐标所满足的一个关系式，这样我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点坐标，平面内与点、直线相关的距离问题等.
情景导入
我们已经知道，任意一条直线都可以用一个二元一次方程来表示，也就是说直线方程是直线上每一个点的坐标满足的一个关系式， 为判断两条直线是否相交，进而寻求这两条直线的交点坐标，我们可以从直线方程入手来判断．
新知探究
如图：若当两条直线相交，通过观察图象，可以知道它们的交点一定在这两条直线上，也就是说两条直线的交点的坐标一定是两个方程的公共解．
设两条直线的方程分别为
l1：A1x＋B1y＋C1=0，l2：A2x＋B2y＋C2=0．
我们联立这两条直线的方程，通过解方程组，方程组的解是唯一的，那么以这个解为坐标的点必然是直线l1和直线l2的交点．
若两直线平行，则方程组*无解；若方程组*无解，则两直线平行．
设两条直线的方程分别为l1：A1x＋B1y＋C1=0，l2：A2x＋B2y＋C2=0．
若两直线重合，则方程组*有无数组解；若方程组*有无数组解，则两直线重合．
方程组 的解的情况
直线l1和l2的公共点个数
直线l1和l2的位置关系
综上可得：
一组解 无 解 无数组解
一 个 零 个 无数个
相 交 平 行 重 合
例6 判断下列各组中直线的位置关系，若相交，求出交点的坐标：
（1）l1：2x＋y＋3=0，l2：x－2y－1=0；
课本例题
例6 判断下列各组中直线的位置关系，若相交，求出交点的坐标：
（2）l1：x＋y＋2=0， l2：2x＋2y＋3=0；
课本例题
例6 判断下列各组中直线的位置关系，若相交，求出交点的坐标：
（3）l1：x－y＋1=0， l2：2x－2y＋2=0．
课本例题
2. 已知直线l1：2x＋3y－m=0与l2：x－my＋12=0的交点在 y 轴上，求 m 的值．
课本练习
2. 已知直线l1：2x＋3y－m=0与l2：x－my＋12=0的交点在 y 轴上，
求 m 的值．
课本练习
2.已知直线l1：2x＋3y－m=0与l2：x－my＋12=0的交点在 y 轴上，
求 m 的值．
课本练习
3. 已知直线 l 过直线l1：3x＋4y－2=0与l2：2x＋y＋2=0的交点，且
平行于l3：x＋2y－5=0，求直线 l 的方程．
课本练习
易错辨析　应用直线系方程漏解引发的错误
错因分析
易错原因 纠错心得
应用直线系方程求解时，恰好漏掉了直线
2x－y＋4＝0. 直线系(2λ＋1)x＋(1－λ)x＋4λ－1＝0表示经过两直线x＋y－1＝0和2x－y＋4＝0的交点，但不包括直线2x－y＋4＝0，而本题是特殊情况，
因为原点到直线2x－y＋4＝0的距离也为.
错因分析
题型1　求两条直线的交点
典例剖析
(1)已知直线l1的方程为Ax＋3y＋C＝0，直线l2的方程为2x－3y＋4＝0，若l1，l2的交点在y轴上，则C的值为 (　　)
A．4 B．－4
C．±4 D．与A有关
(2)直线l1：2x＋3y＝12与直线l2：x－2y－4＝0的交点坐标为________．
(3)已知直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围是________．
B
方法一 联立直线方程解方程组，若有一解，则两条直线相交
方法二 两条直线斜率都存在且斜率不等
方法三 两条直线的斜率一个存在，另一个不存在
两条直线相交的判定方法
概念归纳
典例剖析
【例1】求过两条直线x－2y＋4＝0和x＋y－2＝0的交点，且分别满足下列条件的直线l的方程：
(1)直线l与直线3x－4y＋1＝0平行；
(2)直线l与直线5x＋3y－6＝0垂直．
题型2　过两条直线交点的直线的问题
【例2】求过两条直线x－2y＋4＝0和x＋y－2＝0的交点，若直线l在x轴上的截距为－3，求直线l的方程．
典例剖析
【例3】求过两条直线x－2y＋4＝0和x＋y－2＝0的交点，且分别满足下列条件的直线l的方程：
(1)直线l与直线2x＋3y－5＝0平行；
(2)直线l与直线3x－2y－3＝0垂直．
典例剖析
概念归纳
1．过两条直线交点的直线方程的求法
(1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．
(2)特殊解法(直线系法)：先设出过两条直线交点的直线方程，再结合条件利用待定系数法求出参数，最后确定直线方程．
2．解含有参数的直线恒过定点的问题
(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．
典例剖析
　已知直线l：3x＋λy－2＋2λx＋4y＋2λ＝0.
(1)求证：直线l过定点；
(2)求过(1)的定点且垂直于直线3x－2y＋4＝0的直线方程．
题型三　直线恒过定点问题
概念归纳
审结论(明解题方向) 审条件(挖解题信息)
(1)直线过的定点坐标代入方程恒成立；
(2)求直线方程，要确定直线的斜率和所过定点坐标
建关系——切解题突破口
(1)转化方程的形式→解方程组→得定点坐标；
(2)明确定点坐标→求斜率→写出点斜式并化为一般式
1.直线3x＋2y－18＝0和－2x＋5y－7＝0的交点坐标为
A.(－4，－3) B.(4,3)
C.(－4,3) D.(3,4)
√
分层练习-基础
2.无论k为何值，直线(k＋2)x＋(1－k)y－4k－5＝0都过一个定点，则该定点为
A.(1,3) 　　　　B.(－1,3) 　　　　C.(3,1) 　　　　D.(3，－1)
√
直线方程可化为(2x＋y－5)＋k(x－y－4)＝0，则此直线过直线2x＋y－5＝0和直线x－y－4＝0的交点.
因此所求定点为(3，－1).
3.已知直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1)，则m＋n的值为
A.12 　　　　B.10 　　　　C.－8 　　　　D.－6
√
∵直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1).
∴将点(2，－1)代入3x＋my－1＝0得3×2＋m×(－1)－1＝0，即m＝5，
将点(2，－1)代入4x＋3y－n＝0得4×2＋3×(－1)－n＝0，即n＝5，
∴m＋n＝10.
4.若直线ax＋by－11＝0与3x＋4y－2＝0平行，并且经过直线2x＋3y－8＝0和x－2y＋3＝0的交点，则a，b的值分别为
A.－3，－4 B.3，4
C.4，3 D.－4，－3
√
5.两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值是
A.－24 　　　　B.6 　　　　C.±6 　　　　D.24
√
因为两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，所以设交点为(0，b)，
6.已知实数a，b满足a＋2b＝1，则直线ax＋3y＋b＝0过定点
√
由a＋2b＝1，得a＝1－2b，
则直线ax＋3y＋b＝0可化为(1－2b)x＋3y＋b＝0，
整理得x＋3y－b(2x－1)＝0，
7.已知直线l1：ax＋y－6＝0与l2：x＋(a－2)y＋a－1＝0相交于点P，若l1⊥l2，则点P的坐标为______.
(3,3)
∵直线l1：ax＋y－6＝0与l2：x＋(a－2)y＋a－1＝0相交于点P，且l1⊥l2，
∴a×1＋1×(a－2)＝0，解得a＝1，
∴点P的坐标为(3,3).
8.经过直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为______________________.
x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0
∴直线方程为3x＋4y＝0；
代入点(－4,3)，得a＝－1.∴直线方程为x＋y＋1＝0.
综上所述，所求直线方程为x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0.
9.判断下列各对直线的位置关系.若相交，求出交点坐标.
(1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；
交点坐标为(－1，－1).
(2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0.
9.判断下列各对直线的位置关系.若相交，求出交点坐标.
①
②
①×2－②得1＝0，矛盾，方程组无解.
所以直线l1与l2无公共点，即l1∥l2.
10.已知直线l：6x－y＋1＝0.
(1)若平行于l的直线m经过点A(－1，－4)，求m的方程；
因为直线m平行于l，
可设直线m的方程为6x－y＋c＝0，
又因为直线m经过点A(－1，－4)，
所以－6＋4＋c＝0，
解得c＝2，可知直线m的方程为6x－y＋2＝0.
(2)若l与直线y＝4x＋b的交点在第二象限，求b的取值范围.
10.已知直线l：6x－y＋1＝0.
因为它们的交点在第二象限，
分层练习-巩固
11.若直线l：y＝kx－ 与直线x＋y－3＝0相交，且交点在第一象限，则
直线l的倾斜角θ的取值范围是
A.{θ|0°<θ<60°} B.{θ|30°<θ<60°}
C.{θ|30°<θ<90°} D.{θ|60°<θ<90°}
√
由题可知k≠－1，
∴30°<θ<90°.
12.(多选)对于直线l：x＝my＋1，下列说法错误的是
A.直线l恒过定点(1,0)
B.直线l的斜率必定存在
√
√
对于A，由直线方程知直线l恒过定点(1,0)，故A正确；
对于B，当m＝0时，直线斜率不存在，故B错误；
13.(多选)已知三条直线2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的取值可以为
√
√
√
14.已知直线l1：kx＋y－1＝0，l2：x＋ky＋1＝0，若l1∥l2，则k＝____；若曲线y＝|x|与直线l1有两个公共点，则实数k的取值范围是________.
1
(－1,1)
因为l1∥l2，所以k2－1＝0，解得k＝±1，当k＝－1时，l1与l2重合，所以k＝1.
直线l1化为y＝－kx＋1，恒过定点(0,1)，
画出函数图象，如图所示，
因为曲线y＝|x|与直线l1有两个公共点，
所以－k＝0或0<－k<1或－1<－k<0，即－1分层练习-拓展
15.已知A(3,1)，B(－1,2)，若∠ACB的角平分线方程为y＝x＋1，则AC所在直线方程为
A.y＝2x＋4 B.y＝ x－3
C.x－2y－1＝0 D.3x＋y＋1＝0
√
设B关于直线y＝x＋1的对称点为B′(x，y)，
又B′在直线AC上，
即x－2y－1＝0.
16.如图，已知在△ABC中，A(－8,2)，AB边上的中线CE所在直线的方程为x＋2y－5＝0，AC边上的中线BD所在直线的方程为2x－5y＋8＝0，求直线BC的方程.
同理可求得C点的坐标为(5,0).
即4x－y－20＝0.
方程组 的解的情况 一组解 无 解 无数组解
直线l1和l2的公共点个数 一 个 零 个 无数个
直线l1和l2的位置关系 相 交 平 行 重 合
设两条直线的方程分别为 l1：A1x＋B1y＋C1=0，l2：A2x＋B2y＋C2=0．
课堂小结