湘教版高中数学选择性必修第一册第2章平面解析几何初步2.4点到直线的距离（第2课时点到直线的距离）课件(共34张PPT)

(共34张PPT)
湘教版2019高一数学（选修一） 第二章 平面解析几何初步
2.4 点到直线的距离
第2课时　点到直线的距离
学习目标
1.领会两点间距离、点到直线的距离公式的推导过程（重点）
2.能灵活运用两点间的距离、点到直线的距离公式解决相关问题（重点）
3.会用坐标法解决几何问题的数学思想（难点）
在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，易知从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短，将铁路看作一条直线l，仓库看作点P，怎样求得仓库到铁路的最短距离呢？
情景导入
如何求已知点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By ＋C=0 的距离？
如图，过点P0作直线 l 的垂线P0P1，交 l 于点P1(x1，y1)，则P0到直线
l 的距离 d =|P0P1|．
由于两条线段P0P1和P0N都与 l 垂直，因此它
们共线，夹角为0或π，则它们表示的向量的数量
积的绝对值等于它们的长度的乘积，即
从P0出发作有向线段表示直线 l 的法向量P0N=(A，B)．
新知探究
由此得到
则
又点P1(x1，y1)在直线 l 上，则有Ax1＋By1 ＋C=0．
所以可以得到点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By ＋C=0 的距离公式：
例3 已知 ABC三个顶点的坐标分别为 A(－1，1)，B(2，0)， C(3，4)．
（1）求AB边上的高CD的长；
解： （1） 直线AB的一个方向向量 AB = (3，－1)，
因此直线AB的一个法向量 n = (1，3)．
故可设直线AB的一般式方程为 x＋3y＋C=0．
将点A的坐标(－1，1)代入上述方程，得： －1＋3×1＋C=0 ，
解得： C=－2．因此直线AB方程为：x＋3y－2=0．
高CD的长即为点C(3，4)到直线AB的距离，则有
例3 已知 ABC三个顶点的坐标分别为 A(－1，1)，B(2，0)， C(3，4)．
（2）求 ABC的面积S ABC．
例4 （1）求证：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1=0 与l2：Ax＋By＋C2=0
的距离是
解：（1）在l1上任取一点P(x1，y1)，则Ax1＋By1 =－C1．
点P到l2的距离d就是平行直线l1与l2的距离，即
两平行线间的
距离可转化为点到直线的距离．
例4 （2）求平行直线l1：4x－3y＋6=0 与l2：4x－3y－8=0的距离．
解：（2）由（1）所得公式，得直线l1与l2的距离
题型1　点到直线的距离
典例剖析
B
x＋y－1＝0或7x＋y＋5＝0
概念归纳
应用点到直线的距离公式应注意的三个问题
(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式．
(2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．
(3)直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0时公式也成立，
但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．
题型2　两条平行线间的距离
典例剖析
C
2x－y＋1＝0
概念归纳
两条平行直线间距离的三种求法
(1)直接利用两条平行线间的距离公式．
(2)在一条直线上任取一点，利用点到直线的距离公式求解
(一般要选特殊的点，如直线与坐标轴的交点、坐标为整数的点)．
(3)当两条直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决．
①当两条直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|；
②当两条直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|.
　已知正方形ABCD的一边CD所在直线的方程为x＋3y－13＝0，对角线AC，BD的交点为P(1,5)，求正方形ABCD其他三边所在直线的方程．
典例剖析
　题型3　距离公式的综合应用
概念归纳
距离公式综合应用的三种常见类型
(1)最值问题．
①利用对称转化为两点之间的距离问题．
②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离．
③利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值．
概念归纳
(2)求参数问题．
利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值．
(3)求方程的问题．
立足确定直线的几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系)，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解．
错因分析
易错警示　有关距离公式的综合应用
错解分析：
错误的根本原因是忽视直线过原点的情况造成漏解，以及距离公式的错用．
错因分析
错因分析
防范措施：
1．分类讨论思想的正确应用
解题时，分类讨论是常用的数学思想方法之一，正确把握分类讨论的标准是解题的关键，如本题直线过原点与不过原点时，直线方程的形式是不一样的，所以必须分情况讨论．
2．公式的正确应用
解题时，正确应用公式、性质是解题得分的前提，如本题中若距离公式不能正确应用，则解答无法继续或必然出现错误结果.
错因分析
A
分层练习-基础
D
分层练习-基础
3．若直线l过点A(1,2)，且原点到直线l的距离为1，则直线l的方程为(　　)
A．3x－4y＋5＝0
B．4x－3y＋2＝0
C．2x－y＝0或x＋2y－5＝0
D．x＝1或3x－4y＋5＝0
4．若两条平行直线2x＋y－4＝0与y＝－2x－k－2的距离不大于，则k的取值范围是(　　)
A．[－11，－1] B．[－11,0]
C．[－11，－6)∪(－6，－1] D．[－1，＋∞)
D
C
5．设点P在直线x＋3y＝0上，且P到原点的距离与P到直线x＋3y－2＝0的距离相等，则点P坐标是 ．
6．直线l在x轴上的截距为1，且点A(－2，－1)，B(4,5)到l的距离相等，则l的方程为 ．
分层练习-基础
x＝1或 x－y－1＝0
3
分层练习-巩固
分层练习-巩固
10．在△ABC中，A(3,2)，B(－1,5)，点C在直线3x－y＋3＝0上，若△ABC的面积为10，求点C的坐标．
分层练习-巩固
分层练习-拓展
分层练习-拓展
点到直线的距离公式：
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By ＋C=0 的距离公式：
两平行线间的距离公式：
直线l1：Ax＋By＋C1=0 与l2：Ax＋By＋C2=0的距离公式：
课堂小结