湘教版高中数学选择性必修第一册第2章平面解析几何初步2.4点到直线的距离（第1课时两点间的距离）课件(共28张PPT)
文档属性
| 名称 | 湘教版高中数学选择性必修第一册第2章平面解析几何初步2.4点到直线的距离（第1课时两点间的距离）课件(共28张PPT) |  | |
| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 2.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 湘教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-28 11:46:52 | ||
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文档简介
(共28张PPT)
湘教版2019高一数学（选修一） 第二章 平面解析几何初步
第1课时 两点间的距离
2.4 点到直线的距离
学习目标
1.领会两点间距离、点到直线的距离公式的推导过程（重点）
2.能灵活运用两点间的距离、点到直线的距离公式解决相关问题（重点）
3.会用坐标法解决几何问题的数学思想（难点）
在一条笔直的公路同侧有两个大型小区，现计划在公路上某处建一个公交站点C，以方便居住在两个小区的住户出行.如何选址能使站点到两个小区的距离之和最小？
情景导入
前面对直线做了大量定性的研究．既然直线可以用二元一次方程来表示，这就为我们在平面直角坐标系中，通过代数方法展开对直线定量的研究铺平了道路．
在本节，我们将用代数方法探究点到点的距离、点到直线的距离以及两条平行线之间的距离问题，其中，向量将发挥沟通代数与几何的"桥梁"作用．
情景导入
在平面直角坐标系中，已知两点A(x1，y1)，B(x2，y2)．如何求 A，B之间的距离呢？
由向量的坐标运算，可得
因为
因此，可得平面内任意两点间的距离公式：
x
y
O
新知探究
如果不用向量方法求|AB|，就要作辅助线用勾股定理来计算，试试看.
x
y
O
在平面直角坐标系中，已知两点A(x1，y1)，B(x2，y2)．如何求 A，B之间的距离呢？
如图，可知C(x2，y1)，则
由勾股定理可得
因此，可得平面内任意两点间的距离公式：
例1 已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)．
（1）求BC边上的中线AM的长；
课本例题
例1 已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)．
（2）证明：△ABC为等腰直角三角形．
课本例题
例1 已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)．
（2）证明：△ABC为等腰直角三角形．
课本例题
分析 首先要建立适当的坐标系，将几何图形上的点用坐标表示出来，然后进行代数运算，最后把代数运算的结果“翻译”成几何关系．
证明：如图，以Rt△ABC的直角边AB，AC所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，
则A(0，0)．设B，C两点的坐标分别为(b，0)，(0，c)，BC的中点为D．
例2 证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
课本例题
因此，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
例2 证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
课本例题
题型一：两点之间的距离公式
典例剖析
例1 已知△ABC的三个顶点分别为A(－1,0)，B(1,0)，C ，试判断△ABC的形状.
|AB|＝2.
有|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，
所以△ABC是直角三角形.
所以kAC·kBC＝－1.所以AC⊥BC.
|AC|≠|BC|，所以△ABC是直角三角形.
跟踪训练1 若点M到x轴和到点N(－4,2)的距离都等于10，则点M的坐标为________________.
由点M到x轴的距离等于10可知，其纵坐标为±10.
设点M的坐标为(xM，±10).
由两点间距离公式，
(2,10)或(－10,10)
解得xM＝－10或xM＝2，
所以点M的坐标为(2,10)或(－10,10).
概念归纳
计算两点间距离的方法
(1)对于任意两点A(x1，y1)和B(x2，y2)，
(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况|y2－y1|或|x2－x1|求解.
题型二：坐标法的应用
典例剖析
例2 求证：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半.
如图，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，其中D，E分别为边AC和BC的中点.
则A(0,0)，设B(c,0)，C(m，n)，则|AB|＝|c|.
即三角形的中位线长度等于第三边长度的一半.
跟踪训练2 已知在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：|AC|＝|BD|.
如图所示，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，设B(a,0)，C(b，c)，
则点D的坐标是(a－b，c).
故|AC|＝|BD|.
(1)用解析法解题时，虽然平面图形的几何性质不依赖于平面直角坐标系的建立，但不同的平面直角坐标系会使我们的计算有繁简之分，因此在建立平面直角坐标系时必须“避繁就简”.
(2)利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤
①建立坐标系，用坐标表示有关的量.
②进行有关代数运算.
③把代数运算的结果“翻译”成几何结论.
概念归纳
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-巩固
分层练习-巩固
分层练习-巩固
分层练习-拓展
分层练习-拓展
用“坐标法”解决有关几何问题的基本步骤：
第一步；建立坐标系，用坐标系表示有关的量；
第二步：进行有关代数运算；
第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系．
代数
几何
几何
两点间的距离公式：
已知两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
课堂小结
湘教版2019高一数学（选修一） 第二章 平面解析几何初步
第1课时 两点间的距离
2.4 点到直线的距离
学习目标
1.领会两点间距离、点到直线的距离公式的推导过程（重点）
2.能灵活运用两点间的距离、点到直线的距离公式解决相关问题（重点）
3.会用坐标法解决几何问题的数学思想（难点）
在一条笔直的公路同侧有两个大型小区，现计划在公路上某处建一个公交站点C，以方便居住在两个小区的住户出行.如何选址能使站点到两个小区的距离之和最小？
情景导入
前面对直线做了大量定性的研究．既然直线可以用二元一次方程来表示，这就为我们在平面直角坐标系中，通过代数方法展开对直线定量的研究铺平了道路．
在本节，我们将用代数方法探究点到点的距离、点到直线的距离以及两条平行线之间的距离问题，其中，向量将发挥沟通代数与几何的"桥梁"作用．
情景导入
在平面直角坐标系中，已知两点A(x1，y1)，B(x2，y2)．如何求 A，B之间的距离呢？
由向量的坐标运算，可得
因为
因此，可得平面内任意两点间的距离公式：
x
y
O
新知探究
如果不用向量方法求|AB|，就要作辅助线用勾股定理来计算，试试看.
x
y
O
在平面直角坐标系中，已知两点A(x1，y1)，B(x2，y2)．如何求 A，B之间的距离呢？
如图，可知C(x2，y1)，则
由勾股定理可得
因此，可得平面内任意两点间的距离公式：
例1 已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)．
（1）求BC边上的中线AM的长；
课本例题
例1 已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)．
（2）证明：△ABC为等腰直角三角形．
课本例题
例1 已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)．
（2）证明：△ABC为等腰直角三角形．
课本例题
分析 首先要建立适当的坐标系，将几何图形上的点用坐标表示出来，然后进行代数运算，最后把代数运算的结果“翻译”成几何关系．
证明：如图，以Rt△ABC的直角边AB，AC所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，
则A(0，0)．设B，C两点的坐标分别为(b，0)，(0，c)，BC的中点为D．
例2 证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
课本例题
因此，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
例2 证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
课本例题
题型一：两点之间的距离公式
典例剖析
例1 已知△ABC的三个顶点分别为A(－1,0)，B(1,0)，C ，试判断△ABC的形状.
|AB|＝2.
有|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，
所以△ABC是直角三角形.
所以kAC·kBC＝－1.所以AC⊥BC.
|AC|≠|BC|，所以△ABC是直角三角形.
跟踪训练1 若点M到x轴和到点N(－4,2)的距离都等于10，则点M的坐标为________________.
由点M到x轴的距离等于10可知，其纵坐标为±10.
设点M的坐标为(xM，±10).
由两点间距离公式，
(2,10)或(－10,10)
解得xM＝－10或xM＝2，
所以点M的坐标为(2,10)或(－10,10).
概念归纳
计算两点间距离的方法
(1)对于任意两点A(x1，y1)和B(x2，y2)，
(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况|y2－y1|或|x2－x1|求解.
题型二：坐标法的应用
典例剖析
例2 求证：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半.
如图，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，其中D，E分别为边AC和BC的中点.
则A(0,0)，设B(c,0)，C(m，n)，则|AB|＝|c|.
即三角形的中位线长度等于第三边长度的一半.
跟踪训练2 已知在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：|AC|＝|BD|.
如图所示，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，设B(a,0)，C(b，c)，
则点D的坐标是(a－b，c).
故|AC|＝|BD|.
(1)用解析法解题时，虽然平面图形的几何性质不依赖于平面直角坐标系的建立，但不同的平面直角坐标系会使我们的计算有繁简之分，因此在建立平面直角坐标系时必须“避繁就简”.
(2)利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤
①建立坐标系，用坐标表示有关的量.
②进行有关代数运算.
③把代数运算的结果“翻译”成几何结论.
概念归纳
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-基础
分层练习-巩固
分层练习-巩固
分层练习-巩固
分层练习-拓展
分层练习-拓展
用“坐标法”解决有关几何问题的基本步骤：
第一步；建立坐标系，用坐标系表示有关的量；
第二步：进行有关代数运算；
第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系．
代数
几何
几何
两点间的距离公式：
已知两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
课堂小结
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