湘教版高中数学选择性必修第一册第2章平面解析几何初步2.5.2圆的一般方程课件(共36张PPT)

(共36张PPT)
湘教版2019高一数学（选修一） 第二章 平面解析几何初步
2.5.2 圆的一般方程
学习目标
1.掌握圆的一般方程及一般方程的特点（重点）
2.能将圆的一般方程化成圆的标准方程，进而求圆心和半径（重点）
3.能用待定系数法由已知条件求出圆的方程（难点）
情景导入
综上，我们将方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0（D2＋E2－4F > 0）叫作圆的一般方程．
新知探究
例3 将下列圆的方程化为标准方程，并写出圆的圆心和半径：
（1）x ＋y ＋2x＋4y－4=0；
课本例题
例3 将下列圆的方程化为标准方程，并写出圆的圆心和半径：
（2）3x ＋3y2＋6x＋3y－15=0．
课本例题
说一说，圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？
（1）圆的标准方程明确指出了圆心和半径；
圆的一般方程表明了方程形式上的特点．
（2）给出圆的标准方程，需要确定圆心坐标和半径；（a，b，r）
给出圆的一般方程，则需要确定一般方程中的三个系数 D，E，F．
用待定系数法求圆的方程：
（1）用标准方程假设圆的方程，需要确定a，b，r的值；
（2）用一般方程假设圆的方程，需要确定 D，E，F的值．
例4 已知A(0，0)，B(6，0)，C(－1，7)，求 ABC的外接圆的圆心坐标
和半径．
课本例题
例4 已知A(0，0)，B(6，0)，C(－1，7)，求 ABC的外接圆的圆心坐标
和半径．
课本例题
例4 已知A(0，0)，B(6，0)，C(－1，7)，求 ABC的外接圆的圆心坐标
和半径．
课本例题
已知定点A(a,2)在圆x2＋y2－2ax－3y＋a2＋a＝0的外部，则a的取值范围为________．
易错辨析　忽视圆的条件致错
错因分析
a＞2
错因分析
典例剖析
　规范解答　求圆的一般方程
1．注意考虑问题的全面性
解决有关圆的问题时，要认真审题，注意隐含条件，如本例中点C在y轴的正半轴上，则其纵坐标大于零．
2．熟练圆的方程的设法
在求解圆的方程时，要根据不同的条件，灵活地设出圆的方程，如本例中根据条件可设出圆的一般方程，有时可设圆的标准方程，利用待定系数法求解即可.
归纳总结
例1(1)方程x2＋y2－2x＋6y＋1＝0表示的是 (　　)
A．以(1，－3)为圆心，6为半径的圆
B．以(－1,3)为圆心，6为半径的圆
C．以(1，－3)为圆心，3为半径的圆
D．以(－1,3)为圆心，3为半径的圆
(2)点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积是________．
题型1　圆的一般方程的概念
典例剖析
C
9π
典例剖析
归纳总结
方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的判断方法
(1)由圆的一般方程的定义，令D2＋E2－4F>0，成立则表示圆，否则不表示圆．
(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征判断．
应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种形式，否则要化为这种形式再求解．
　例2.已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，求△ABC的外接圆的方程．
题型2　待定系数法求圆的一般方程
典例剖析
先设出圆的一般方程，根据点在圆上列方程组，解方程组求出待定系数，得外接圆方程．
解：因为△ABC的外接圆方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.
点M(a,2)在所求的圆上，故点M(a,2)的坐标满足圆的方程，
可得a2＋22－8a－2×2＋12＝0，
即a2－8a＋12＝0，解得a＝2或a＝6.
例3.已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，点M(a,2)在△ABC的外接圆上，求a的值 ．
典例剖析
　例4.已知A(2,2)，B(5,3)，圆C过A，B两点且圆关于直线y＝－x对称,
求圆的方程
典例剖析
待定系数法求圆的一般方程的步骤
(1)根据题意设所求的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
(2)根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组．
(3)解此方程组，求出D，E，F的值．
(4)将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一
般方程．
归纳总结
例5.已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
题型3　求动点的轨迹方程
典例剖析
解：(1)设AP的中点为M(x，y)，
由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．
因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设PQ的中点为N(x，y)．
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，
设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ.
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
归纳总结
求与圆有关的轨迹问题的方法
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．
(3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
提醒：注意“求轨迹”与“求轨迹方程”是不同的．
分层练习-基础
1．已知圆C过点M(1,1)，N(5,1)，且圆心在直线y＝x－2上，则圆C的方程为(　　)
A．x2＋y2－6x－2y＋6＝0 B．x2＋y2＋6x－2y＋6＝0
C．x2＋y2＋6x＋2y＋6＝0 D．x2＋y2－2x－6y＋6＝0
2．方程x2＋y2＋2ax－2y＋a2＋a＝0表示圆，则实数a的取值范围是(　　)
A．a≤1 B．a<1
C．a>1 D．0A
B
分层练习-基础
3．已知圆的圆心为(－2,1)，其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是(　　)
A．x2＋y2＋4x－2y－5＝0 B．x2＋y2－4x＋2y－5＝0
C．x2＋y2＋4x－2y＝0 D．x2＋y2－4x＋2y＝0
C
A
分层练习-基础
5．已知点E(1,0)在圆x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0的外部，则k的取值范围是________．
6．动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为________．
7．已知圆C：x2＋y2－2x＋2y－3＝0，AB为圆C的一条直径，点A(0,1)，则点B的坐标为________．
8．若点(a＋1，a－1)在圆x2＋y2－2ay－4＝0的内部(不含边界)，则a的取值范围是________．
x2＋y2＝16
(2，－3)
a < 1
分层练习-巩固
9．求经过三点A(1，－1)，B(1,4)，C(4，－2)的圆的一般方程．
分层练习-巩固
10．已知圆经过点(4,2)和(－2，－6)，该圆与两坐标轴的四个截距之和为－2，求圆的方程．
分层练习-拓展
11．已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)，求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC中点M的轨迹方程．
分层练习-巩固
圆的一般方程：
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0（D2＋E2－4F > 0）．
特点：
（1）x2和y2的系数都为1；
（2）没有xy项；
（3）配方化成圆的标准方程形式后，确保式子右边大于零．
课堂小结