湘教版高中数学选择性必修第一册第2章平面解析几何初步2.6.1直线与圆的位置关系课件

(共38张PPT)
湘教版2019高一数学（选修一） 第二章 平面解析几何初步
2.6.1 直线与圆的位置关系
2.6 直线与圆、圆与圆的位置关系
学习目标
2.能根据直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系（重点）
1.理解直线与圆的三种位置关系（重点）
3.体会和理解解析法解决几何问题的数学思（难点）
在初中我们知道，平面上的任意一条直线l与圆有三种位置关系：
（1）直线与圆相交
有两个公共点；
只有一个公共点；
没有公共点．
（2）直线与圆相切
（3）直线与圆相离
直线与圆到底是哪一种位置关系，取决于圆心到直线的距离的大小．
设圆的半径为r，圆心C到直线l的距离为d（如图 ），则
（1）直线与圆相交
d < r；
d = r；
d > r．
（2）直线与圆相切
（3）直线与圆相离
情景导入
在平面上建立直角坐标系之后，直线用二元一次方程 Ax＋By＋C=0表示，圆用二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示．有两种方法可以判断直线和圆的位置关系：
方法一 将直线l的方程与圆的方程联立，得方程组
解此方程组，通过解的个数判断直线与圆的位置关系．
方法二 由圆的方程计算出圆心坐标和半径，将圆心到直线的距离 d与半径 r 进行比较，进而判断直线与圆的位置关系．
新知探究
例1 已知直线l∶x＋y＋2=0和圆C∶x ＋y ＋2x－2y－18=0，判断直线 l 与圆C的位置关系．
求出它们的交点的坐标．
课本例题
例1 已知直线l∶x＋y＋2=0和圆C∶x ＋y ＋2x－2y－18=0，判断直线 l 与圆C的位置关系．
课本例题
例2 过点P(－1，－1)的直线l被圆C:(x＋1) ＋(y－1) = 6截得的弦长为4，求直线l的方程．
课本例题
例2 过点P(－1，－1)的直线l被圆C:(x＋1) ＋(y－1) = 6截得的弦长为4，求直线l的方程．
课本例题
例3 k取什么值时，圆C∶x ＋y =5与直线l∶y=kx＋5相切．
课本例题
例3 k取什么值时，圆C∶x ＋y =5与直线l∶y=kx＋5相切．
课本例题
例4 设A(x0，y0)是圆O∶x ＋y = r 上一点，求过点A且与圆O相切的直线方程．
课本例题
错因分析
易错警示　过一点求圆的切线方程
错解分析：错误的根本原因是没有先判断出点P与圆的位置关系，以及在设直线方程的时候没有考虑到斜率不存在的情况，从而造成漏解．
错因分析
错因分析
错因分析
防范措施：
1．明确点与圆的位置关系
过一点求圆的切线时，首先要判断点与圆的位置关系，以此来确定切线的条数，
如本例中点P在圆外，故过点P与圆相切的切线应有两条．
2．注重分类讨论的意识
求过一点与圆相切的直线时，在设直线的斜率时要考虑到斜率是否存在，要进行分情况讨论处理．
如本例中当斜率不存在时，过点P的直线也与圆相切.
错因分析
典例剖析
题型1　直线与圆的位置关系的判断
　当m为何值时，直线mx－y－1＝0与圆x2＋y2－4x＝0相交、相切、相离？
直线与圆的位置关系的判定有两种方法
(1)代数法：通过直线方程与圆的方程所组成的方程组，根据解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即Δ>0，则相交；若有两组相同的实数解，即Δ＝0，则相切；若无实数解，即Δ<0，则相离．
(2)几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断：当dr时，直线与圆相离．
提醒：利用几何法来判定直线与圆的位置关系时，一定要明确圆心的坐标．
归纳总结
过点M(2,4)向圆(x－1)2＋(y＋3)2＝1引切线，求其切线的方程．
题型2　直线与圆相切的有关问题
典例剖析
所以切线方程为24x－7y－20＝0.
又当切线斜率不存在时，直线x＝2与圆相切．
综上所述，所求切线方程为24x－7y－20＝0或x＝2.
归纳总结
归纳总结
(2)点(x0，y0)在圆外．
①设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，即可求得切线方程．
②当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况．
③过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解．
提醒：已知一点求圆的切线方程时，切勿漏掉斜率不存在的情况．
典例剖析
题型3　直线与圆相交的有关问题
探究1　已知直线方程和弦长求圆的方程
　
　过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为________．
典例剖析
探究2　已知直线和圆的方程求弦长
解：由题意可知，若直线与圆相交，斜率须存在，
设直线l的斜率为k，则方程可表示为y＋2＝k(x＋1)．
又圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为(1,1)，
典例剖析
探究3　已知圆的方程和弦长求直线方程
典例剖析
归纳总结
求直线与圆相交时弦长的两种方法
分层练习-基础
1．直线x－y＋1＝0与圆(x＋1)2＋y2＝1的位置关系是(　　)
A．相切
B．直线过圆心
C．直线不过圆心但与圆相交
D．相离
2．若直线3x＋4y＋k＝0与圆x2＋y2－6x＋5＝0相切，则k的值等于(　　)
A．1或－19 B．10或－1
C．－1或－19 D．－1或19
B
A
分层练习-基础
3．点M(x0，y0)是圆x2＋y2＝a2(a>0)内不为圆心的一点，则直线x0x＋y0y＝a2与该圆的位置关系是(　　)
A．相切 B．相交
C．相离 D．相切或相交
4．平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是(　　)
A．2x－y＋＝0或2x－y－＝0
B．2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0
C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0
D．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
C
D
分层练习-基础
5．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是________．
6．已知直线5x＋12y＋m＝0与圆x2－2x＋y2＝0相切，则m＝________.
7．过点G(0,1)的直线与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则|AB|的最小值为________．
8．由直线y＝x＋1上的点向圆C：x2＋y2－6x＋8＝0引切线，则切线长的最小值为________．
相交
8或－18
分层练习-巩固
9．已知点P(x，y)是圆C：(x＋2)2＋y2＝1上任意一点．求P点到直线3x＋4y＋12＝0的距离的最大值和最小值．
分层练习-拓展
11．设圆上的点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x－y＋1＝0相交的弦长为2，求圆的方程．
分层练习-拓展
方法一：几何法
设圆的半径为r，圆心C到直线l的距离为d，则
（1）直线与圆相交
d < r；
d = r；
（2）直线与圆相切
d > r．
（3）直线与圆相离
直线与圆的位置关系判断：
方法二：代数法
联立直线和圆的方程，消去或，得到关于的一元二次方程
直线与圆相交
有两个公共点；
（1） >0
只有一个公共点；
直线与圆相切
（2） =0
没有公共点．
直线与圆相离
（3） <0
课堂小结
已知P为圆C:(x－a) ＋(y－b) =r2上的动点，定直线 l ，记圆心C到直线 l 的距离为d′ ，点P到直线 l 的距离为d ，则．
课堂小结
已知过定点P的直线 l 被圆C直线被圆所截的弦长为|AB|，那么
课堂小结
若A(x0，y0)是圆C∶(x－a) ＋(y－b) = r 上一点，则过点A且与圆C相切的直线方程为
(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b) = r ．
特别地，当a=b=0时，该直线的方程为
x0x＋y0y= r ．
已知圆的方程及切点坐标，求切线的方程：
课堂小结
求过定点P且与圆C相切的直线的方程：
1．若定点P在圆上，则定点P即为切点，切线只有一条．
根据圆心与切点的连线与切线垂直，
（方法1）确定切线的法向量，再结合切线过切点，可得切线的方程；
（方法2）求出切线的斜率（斜率存在），由点斜式写出切线的方程．
2．若定点P在圆外，则切线有两条．
先假设切线的斜率为k，得到切线的方程，根据圆心到切线的距离等于
半径，求得k的值．
若求得k的值有两个，即可得到两条切线的方程；
若求得k的值只有一个，说明另一条切线的斜率不存在．
课堂小结