湘教版高中数学选择性必修第一册第2章平面解析几何初步2.6.2圆与圆的位置关系课件(共35张PPT)

(共35张PPT)
湘教版2019高一数学（选修一） 第二章 平面解析几何初步
2.6.2 圆与圆的位置关系
2.6 直线与圆、圆与圆的位置关系
学习目标
1.理解圆与圆的五种位置关系（重点）
2.能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系（重点、难点）
3.体会和理解解析法解决几何问题的数学思（难点）
观察这些生活中常见的图形，感受一下圆与圆之间的位置关系.
前面我们运用直线的方程、圆的方程研究了直线与圆的位置关系，本节课我们类比之前的研究方法，运用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系.
情景导入
设两圆的半径分别是r1，r2（不妨设r1 ≥ r2），两圆圆心的距离为d，则两圆有如下位置关系（图2.6-5）：
新知探究
（1）d>r1＋r2，两圆外离，无公共点（如图（1））；
（2）d=r1＋r2，两圆外切，一个公共点（如图（2））；
（3）r1－r2（4）d=r1－r2>0，两圆内切，一个公共点（如图（4））；
（5）d（6）d=0，两圆同心（当r1=r2时，两圆重合）．
给出了两圆的方程之后，就知道了两圆的半径r1，r2及圆心坐标，并可根据圆心坐标算出两圆心之间的距离 d，进而由 d 的大小就可以判断两圆具有上述哪种位置关系．
和通过代数法判断直线与圆的位置关系一样，将两圆的方程联立，得方程组，消元，得到关于x或y的一元二次方程，通过判断 的符号确定一元二次方程解的个数，即方程组解的个数．通过解的个数判断圆与圆的位置关系．
圆与圆相交；
有两个公共点
（1） >0
只有一个公共点
圆与圆相切（外切、内切）；
（2） =0
没有公共点
圆与圆相离（外离、内含）．
（3） <0
用代数法运算太过繁琐，而且在 =0时只能判断两圆相切，还得说明内切或外切；同样在 <0时，得说明两圆外离或内含．
故判断两圆的位置关系通常用几何法．
解：把圆C1的方程化成标准方程，得 (x－1) ＋y = 4．
圆C1的圆心是C1(1，0)，半径r1=2．
把圆C2的方程化成标准方程，得 (x－2) ＋(y＋1) = 2．
圆C2的圆心是点C2(2，－1)，
所以两圆心之间的距离
从而r1－r2 < d < r1＋r2，
所以圆C1与圆C2相交，它们有两个公共点（如图）．
例5 判断圆C1∶x ＋y －2x－3=0与圆C2∶x ＋y －4x＋2y＋3=0的位置关系．
课本例题
解：将圆C1的方程化成标准方程，得 (x－2) ＋y = 20．
则圆C1的圆心是C1(2，0)，
将圆C2的方程化成标准方程，得 x ＋(y＋1) = 5．
则圆C2的圆心是点C2(0，－1)，
所以两圆心之间的距离
从而d = r1－r2 ，所以圆C1与圆C2内切（如图）．
例6 证明圆C1∶x ＋y －4x－16=0与圆C2∶x ＋y ＋2y－4=0内切，并求出它们的公切线方程．
课本例题
例6 证明圆C1∶x ＋y －4x－16=0与圆C2∶x ＋y ＋2y－4=0内切，并求出它们的公切线方程．
两圆相切时，两圆心和切点共线，且连线垂直于切线．
课本例题
例6 证明圆C1∶x ＋y －4x－16=0与圆C2∶x ＋y ＋2y－4=0内切，并求出它们的公切线方程．
思考：最后求出的切线方程不就是(3)式吗
(3)式后面的运算是否都可以省去
分析：两内切圆的公切线，应满足：
（1）过切点；（2）与两圆心所在的直线垂直
课本例题
例7 已知圆C1∶x ＋y ＋x＋2y－3=0与圆C2∶x ＋y －6=0相交，求经过圆C1和圆C2的两个交点的直线方程．
(1)－(2)，得
x＋2y＋3=0． (3)
这是一个二元一次方程，它的图象是一条直线．
两圆的交点A，B的坐标同时满足方程(1) 和(2) ，因此也满足方程(3)，
也就是说，这两个交点都在直线 x＋2y＋3=0上．
因此，x＋2y＋3=0就是经过两圆交点A，B的直线方程．
若两圆相交，则把两圆的标准方程或一般方程相减，得到的关于x、y的二元一次方程即为两相交圆的公共弦所在的直线的方程．
课本例题
错因分析
易错辨析　忘记求相交两圆的公共弦方程的前提致错．
过两圆C1：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，C2：x2＋y2－4x－21＝0的交点所在的直线的方程为(　　)
A．x－y＋11＝0 B．x－y－11＝0
C．x＋y＋11＝0 D．不存在
D
错因分析
易错警示：忘记了两圆相交的前提，直接把两圆方程相减得x－y＋11＝0，错选A.
纠错心得：只有当两圆相交时，它的公共弦方程才是把两圆的方程对应相减得到；如果两圆不相交，则不能用这个结论．今后遇到类似问题，要先判断两圆的位置关系，再作决定
　当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？
题型1　两圆位置关系的判定
典例剖析
1．几何法判断圆与圆的位置关系的步骤
(1)将两圆的方程化为标准方程；
(2)求两圆的圆心坐标和半径r1，r2；
(3)求两圆的圆心距d；
(4)比较d与|r1－r2|，r1＋r2的大小关系，从而判断两圆的位置关系．
2．代数法判断圆与圆的位置关系的注意点
(1)由Δ＝0得两圆相切，但无法区分内切或外切．
(2)由Δ<0得两圆相离，但无法区分内含或外离．
归纳总结
　(多选)若圆C1：(x－1)2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－8x＋8y＋m＝0相切，则m的值可以是 (　　)
A．16 B．7
C．－4 D．－7
题型2　与两圆相切有关的问题
典例剖析
探究一　已知两圆相切求变量范围
AC
典例剖析
题型2　与两圆相切有关的问题
探究二　两圆的公切线问题
B
BCD
　已知直线l：y＋2＝0和圆C：x2＋y2－2y＝0，动圆M与l相切，且与C内切．当M的圆心距直线g：x－y－2＝0最近时，求M的方程．
　
典例剖析
题型3 与两圆都相切的轨迹问题
处理两圆相切问题的两个步骤
(1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论．
(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)．
归纳总结
已知⊙A的方程为x2＋y2－2x－2y－7＝0，⊙B的方程为x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，判断⊙A和⊙B是否相交．若相交，求过两交点的直线的方程及两交点间的距离；若不相交，请说明理由．
典例剖析
　题型4　与两圆相交有关的问题
归纳总结
1．公共弦长的求法
(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．
(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．
2．两圆相交时，过交点的直线或圆的方程的求法
已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0，其中λ为任意实数．当两圆C1，C2相交时．
①若λ＝－1，则方程表示过两圆C1，C2的交点的直线；
②若λ≠－1，则方程表示过两圆C1，C2的交点的圆系方程(但方程所表示的圆不包括圆C2，圆系中的一切圆都和C1，C2相交)．
分层练习-基础
1．两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是(　　)
A．内切 B．相交
C．外切 D．外离
2．圆C1：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与C2：x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公切线有(　　)
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
B
C
分层练习-基础
3．圆C1：x2＋y2－2x－6y＋1＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的公切线有(　　)
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
C
C
分层练习-基础
5．两圆x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2－3＝0与x2＋y2＋2bx＋2by＋2b2－1＝0公共弦长的最大值为________．
6．已知圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：x2＋y2－2ax＋a2－1＝0内切，则a等于________．
7．若曲线C1：x2＋y2＝5与曲线C2：x2＋y2－2mx＋m2－20＝0(m∈R)相交于A，B两点，且两曲线在A处的切线互相垂直，则m的值是________．
8．已知圆C1：x2＋y2－6x－7＝0与圆C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A，B两点，则线段AB的中垂线方程为________．
2
±1
±5
x＋y－3＝0
分层练习-巩固
分层练习-巩固
分层练习-巩固
10．求以圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圆C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0的公共弦为直径的圆C的方程．
分层练习-巩固
分层练习-拓展
11．如图，已知圆心坐标为M(，1)的圆M与x轴及直线y＝x均相切，切点分别为A，B，另一圆N与x轴及直线y＝x均相切，切点分别为C，D．圆M与圆N外切．
(1)求圆M和圆N的方程；
(2)过B点作MN的平行线l，求直线l被圆N截得的弦的长度．
分层练习-拓展
分层练习-拓展
位置关系 图示 几何法 代数法
外离 d > r1＋r2 <0（无实数解）
外切 d = r1＋r2 =0（一组实数解）
相交 |r1－r2| < d < r1＋r2 >0（两组实数解）
内切 d = |r1－r2| =0（一组实数解）
内含 d < |r1－r2| <0（无实数解）
课堂小结