湘教版高中数学选择性必修第一册第2章平面解析几何初步2.7用坐标法解决几何问题课件(共30张PPT)

(共30张PPT)
湘教版2019高一数学（选修一） 第二章 平面解析几何初步
2.7 用坐标法解决几何问题
学习目标
1.理解并掌握用坐标法解决几何问题的基本过程（重点）
2.能根据曲线的几何特征求曲线的方程（重点）
3.初步掌握求曲线方程的方法，解决一些较为复杂的几何问题（难点）
笛卡尔创立解析几何之后，人们借助坐标系把形与数联系起来，使几何问题可以通过建立坐标系，把几何问题代数化，图形性质坐标化，从而使几何问题由难变简，下面我们通过更多的例子来说明怎样用坐标法来解决几何问题．
平面解析几何的基本思想方法就是在平面直角坐标系中，把点用坐标表示，将直线与圆等曲线用方程表示，通过研究方程来研究图形的性质，这种代数研究方法被称为坐标法．
情景导入
例1 （1）证明：圆的直径所对的圆周角是直角．
x2＋y2= r2，其中r是圆的半径．
解：如图，以已知圆的圆心O为原点，给定的直径AB所
在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则圆的方程为
直径两端点的坐标分别为 A(r，0)，B(－r，0)．
设P(x，y)是圆上异于A，B任意一点，则 x2＋y2= r2 ．
因此当P与A，B都不重合时，直径AB所对的圆周角∠APB是直角．
课本例题
例1 （2）已知A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，满足条件PA⊥PB的所有点P(x，y)组成一条曲线，求这条曲线的方程并指出曲线的形状．
课本例题
例1 （2）已知A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，满足条件PA⊥PB的所有点P(x，y)组成一条曲线，求这条曲线的方程并指出曲线的形状．
其实P与A，B与不会重合，所以严格来说，这条曲线应该是以AB为直径的圆（不含A，B两点）．其方程为
课本例题
例2 到两个定点A，B的距离之比为定值 λ（λ>0）的所有的点组成什么
形状的曲线
解：如图，以B为原点、BA的方向为x轴正方向，在平面上建立直角坐标系，
则B，A的坐标分别为B(0，0)，A(a，0)，其中a=|AB|>0．
设P(x，y)是平面上任意一点，则
等式（1）就是所求曲线的方程，接下来探讨该曲线的形状．
课本例题
例2 到两个定点A，B的距离之比为定值 λ（λ>0）的所有的点组成什么
形状的曲线
等式（1）就是所求曲线的方程，接下来探讨该曲线的形状．
在平面上给定相异两点A、B，设点P在同一平面上且满足PA/PB= λ，
当λ>0且λ≠1时，点P的轨迹是个圆，这个圆我们称作阿波罗尼斯圆．
课本例题
例3 △ABC的顶点B，C的坐标分别是(－3，－1)，(2，1)，顶点A在圆
x2＋y2＋4x－8y＋16=0上运动，求△ABC的重心G的轨迹方程．
[分析]重心G的轨迹方程是指点G的坐标(x，y)满足的关系式．点A在已知圆上运动，点A的坐标满足圆的方程．建立点G与点A坐标之间的关系，就可以建立点G的坐标满足的条件，进而求出点G的轨迹方程．
解：设△ABC的重心G的坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)．
已知点B，C的坐标分别是(－3，－1)，(2，1)，则△ABC的重心G的
坐标满足
课本例题
笛卡儿创立解析几何后，人们借助坐标系把形与数联系起来，使几何问题可以通过建立坐标，用代数方法来解决．在将几何问题转化为代数问题并实施代数运算的过程中，我们可以利用几何定理得出坐标之间的关系，也可以将图形用向量语言来描述，用向量运算来解决，再转化为坐标之间的关系．下面，我们以流程图的形式（如下图 ）来展现用代数方法解决几何问题的基本过程：
几何问题
将几何问题转化为代数问题
建立适当的平面直角坐标系
用坐标和方程表示问题中的几何元素
实施代数运算，求解代数问题
将代数解转化为几何结论
课本例题
例1　如图所示，在圆O上任取一点C为圆心，作圆C与圆O的直径AB相切于点D，圆C与圆O交于点E，F，且EF与CD相交于点H，求证：EF平分CD.
题型一：坐标法证明几何问题
典例剖析
以AB所在直线为x轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系，
如图所示，设|AB|＝2r，D(a,0)，
∴圆O：x2＋y2＝r2，
∴EF平分CD.
跟踪训练1　如图，Rt△ABC的斜边长为定值2m，以斜边的中点O为圆心作半径为n的圆，直线BC交圆于P，Q两点，求证：|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2为定值.
如图，以O为坐标原点，以直线BC为x轴，建立平面直角坐标系，
于是有B(－m,0)，C(m,0)，P(－n,0)，Q(n,0).
设A(x，y)，由已知，点A在圆x2＋y2＝m2上，
故|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2
＝(x＋n)2＋y2＋(x－n)2＋y2＋4n2
＝2x2＋2y2＋6n2＝2m2＋6n2(定值).
建立直角坐标系应遵循的原则
(1)若有两条相互垂直的直线，一般以它们分别为x轴和y轴.
(2)充分利用图形的对称性.
(3)让尽可能多的点落在坐标轴上，或关于坐标轴对称.
(4)关键点的坐标易于求得.
归纳总结
例2　点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点.
(1)求线段AP的中点M的轨迹方程；
设线段AP的中点M(x，y)，
由中点坐标公式，得点P的坐标为(2x－2,2y).
∵点P在圆x2＋y2＝4上，
∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，
故线段AP的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
题型二：求动点的轨迹方程
典例剖析
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程.
设线段PQ的中点N(x，y)，
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.
设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，
∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，
故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
跟踪训练2　已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)，求直角顶点C的轨迹方程.
方法一　设顶点C(x，y)，因为AC⊥BC，且A，B，C三点不共线，
所以x≠3，且x≠－1.
且kAC·kBC＝－1，
化简得x2＋y2－2x－3＝0，
所以直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3，且x≠－1).
方法二　同方法一，得x≠3，且x≠－1，由勾股定理，得|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，
即(x＋1)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝16，化简得x2＋y2－2x－3＝0，
所以直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3，且x≠－1).
方法三　设AB的中点为D，由中点坐标公式，得D(1,0)，
跟踪训练2　已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)，求直角顶点C的轨迹方程.
由圆的定义，知动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，
以2为半径的圆(因为A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点).
设C(x，y)，所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(x≠3，且x≠－1).
求轨迹方程的常用方法
(1)直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简、证明.
(2)定义法：当动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程.
(3)代入法：若动点P(x，y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1，y1)而运动，把x1，y1用x，y表示，再将点Q的坐标代入到已知圆的方程中，得点P的轨迹方程.
归纳总结
分层练习-基础
1.方程y＝ 表示的曲线是
A.一条射线 B.一个圆
C.两条射线 D.半个圆
√
2.已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1,0)，则圆C的圆心的轨迹是
A.点 B.直线
C.线段 D.圆
√
∵圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1,0)，
∴(1－a)2＋(0－b)2＝1，
∴(a－1)2＋b2＝1，
∴圆C的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心，1为半径的圆.
3.已知某隧道内设双行线公路，车辆只能在道路中心线一侧行驶，隧道截面是半径为4米的半圆，若行驶车辆的宽度为2.5米，则车辆的最大高度应不超过
√
建立如图所示的平面直角坐标系，O为圆心，易得半圆的方程为x2＋y2＝16(y≥0)，A(2.5,0)，因为B在半圆上，且BA⊥x轴，
4.若两定点A，B的距离为3，动点M满足|MA|＝2|MB|，则点M的轨迹围成区域的面积为
A.π 　　　　B.2π 　　　　C.3π 　　　　D.4π
√
以A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则可取B(3,0).
化简整理得x2＋y2－8x＋12＝0，即(x－4)2＋y2＝4，故点M的轨迹为圆，圆的面积为4π.
5.已知等腰三角形ABC的底边BC对应的顶点是A(4,2)，底边的一个端点是B(3,5)，则底边另一个端点C的轨迹方程是
A.(x－4)2＋(y－2)2＝10 B.(x＋4)2＋(y－2)2＝10
C.(x－4)2＋(y－2)2＝10(x≠3，x≠5) D.(x＋4)2＋(y－2)2＝10(x≠3，x≠5)
√
又点A，B，C构成三角形，即三点不可共线，
则轨迹中需去掉点B(3,5)及点B关于点A对称的点(5，－1)，
所以点C的轨迹方程为(x－4)2＋(y－2)2＝10(去掉(3,5)，(5，－1)两点).
6.设点A为圆B：(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线且|PA|＝1，则点P的轨迹方程是_______________.
(x－1)2＋y2＝2
设点P(x，y)是轨迹上任一点，圆B：(x－1)2＋y2＝1的圆心为B(1,0)，
则|PA|2＋1＝|PB|2，
所以点P的轨迹方程是(x－1)2＋y2＝2.
7.平面直角坐标系xOy中，已知点P(2,4)，圆O：x2＋y2＝4与x轴的正半轴交于点Q，过点P的直线l与圆O交于不同的两点A，B.若线段AB的中点为
M，则点M的轨迹方程为__________________________.
设点M(x，y)，∵M是弦AB的中点，∴MO⊥MP，
∴x(x－2)＋y(y－4)＝0，即x2＋y2－2x－4y＝0，
分层练习-巩固
8.树林的边界是直线l(如图CD所在的直线)，一只兔子在河边喝水时发现了一只狼，兔子和狼分别位于l的垂线AC上的A点和B点处，|AB|＝|BC|＝a(a为正常数)，若兔子沿AD方向以速度2μ(μ为正常数)向树林逃跑，同时狼沿线段BM(M∈AD)方向以速度μ进行追击，若狼到达M处的时间不多于兔子到达M处的时间，狼就会吃掉兔子，则
兔子的所有不幸点(即可能被狼吃掉的点)的区
域面积S(a)＝_______.
建立如图所示的平面直角坐标系，设A(0,2a)，B(0，a)，M(x，y)，
9.证明：直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等.
如图所示，以直角三角形的直角顶点C为坐标原点，直角边CA，CB所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则C(0,0).
设A(a,0)，B(0，b)，
所以|OM|＝|BM|＝|MA|.
即直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等.
10.已知圆O：x2＋y2＝4，直线l1的方程为(1＋2m)x＋(m－1)y－3m＝0.若直线l1过定点P，点M，N在圆O上，且PM⊥PN，Q为线段MN的中点，求点Q的轨迹方程.
分层练习-拓展
直线l1的方程为(1＋2m)x＋(m－1)y－3m＝0，即(x－y)＋m(2x＋y－3)＝0，
即点P的坐标为(1,1).因为点M，N在圆O上，且PM⊥PN，Q为线段MN的中点，则MN＝2PQ，设MN的中点Q(x，y)，则OM2＝OQ2＋MQ2＝OQ2＋PQ2，
即4＝x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2，
1.知识清单：
(1)坐标法证明几何问题.
(2)坐标法求动点的轨迹方程.
2.方法归纳：坐标法，转化思想.
3.常见误区：求轨迹方程时易忽视排除不符合的点.
课堂小结