湘教版高中数学选择性必修第一册第2章平面解析几何初步2.1直线的斜率课件(共62张PPT)
文档属性
| 名称 | 湘教版高中数学选择性必修第一册第2章平面解析几何初步2.1直线的斜率课件(共62张PPT) |  | |
| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 6.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 湘教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-28 11:56:20 | ||
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文档简介
(共62张PPT)
湘教版2019高一数学（选修一） 第二章 平面解析几何初步
2.1 直线的斜率
学习目标
1.了解直线的斜率和倾斜角的概念.(重点)
2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.
3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率.(重点)
情景导入
在平面中，我们如何才能确定一条直线？
两点可以确定一条直线.
在平面直角坐标系中，若规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向，图中过点P的直线有什么区别？
情景导入
我们可以发现直线的方向不同，
相对于x轴的倾斜程度也不同.
O
P
x
y
l
l
l
1.直线的倾斜角
新知探究
在平面直角坐标系中，点用坐标表示，直线则应该用直线上所有点的坐标共同满足的关系来表示．
为了用代数方法研究直线的几何性质，本节首先探索确定直线位置的几何要素，然后用代数语言把这些几何要素表示出来．
我们知道，在平面上两点确定一条直线，
一个已知点却不能确定一条直线．
如右图，过已知点 P可以画无数条直线．
这些直线的区别在哪里呢
容易发现，这些直线的方向不同，也就是倾斜程度不同．只要能想出办法刻画直线的倾斜程度，就可以用倾斜程度来刻画直线的方向．
O
P
l
l
当直线 l 与 x 轴相交时，我们把 x 轴正向绕交点逆时针旋转到与直线 l 向上方向首次重合所成的角 α 叫作直线 l 的倾斜角．
建立平面直角坐标系时，把 x 轴摆放在水平方向上，直线 l 偏离 x 轴所成的角 α 就可以刻画直线的倾斜程度．
如图(2)，直线 l 的倾斜角是锐角；如图(4)，直线 l 的倾斜角是钝角．
如图(3)，当直线 l 与 x 轴垂直时，规定倾斜角 α = π/2 （直角）；
如图(1)，当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定倾斜角 α = 0．
因此，倾斜角的取值范围是 0 ≤ α < π．
p
o
y
x
(1)0°角
p
o
y
x
(2)锐角
p
o
y
x
(3)直角
y
p
o
x
(4)钝角
平面直角坐标系内的每一条直线都有一个确定的倾斜角α，
而且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等，倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等．
因此，我们可以用倾斜角α表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度，以刻画直线的方向，再结合直线上的一个定点，就可以唯一确定这条直线了．
p
o
y
x
(1)0°角
p
o
y
x
(2)锐角
p
o
y
x
(3)直角
y
p
o
x
(4)钝角
1.(1)(多选)下列命题中，正确的是( )
A.任意一条直线都有唯一的倾斜角
B.一条直线的倾斜角可以为－30°
C.倾斜角为0°的直线有无数条
D.若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0,1)
任意一条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因此A正确，B错误，C正确.
D中，当α＝0°时，sin α＝0；当α＝90°时，sin α＝1，故D错误.
典例剖析
AC
(2)(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为（ ）
A.α＋45° B.α－135°
C.135°－α D.α－45°
根据题意，画出图形，如图所示.
通过图象可知，
当0°≤α<135°时，l1的倾斜角为α＋45°；
当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.
典例剖析
AB
方法归纳：
(1)直线的倾斜角主要根据定义来求，
其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，
有时要根据情况分类讨论.
(2)注意倾斜角的范围.
概念归纳
(1)已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为___________.
60°或120°
练一练
(2)如图，已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，则直线l2的倾斜角为_____.
135°
归纳总结
1.直线倾斜角的定义
当直线l与x轴相交时，我们把x轴正向绕交点_______旋转到与直线l向上方向首次重合所成的角α叫作直线l的倾斜角.
2.直线倾斜角的取值范围
倾斜角的取值范围是_________，当直线l与x轴平行或重合时，规定倾斜角α＝____.
逆时针
0
0≤α<π
注意点：
(1)从运动变化的观点来看，当直线l与x轴相交时，直线l的倾斜角是由x轴绕直线l与x轴的交点按逆时针方向旋转到与直线l重合时所得到的最小正角.
(2)倾斜角从“形”的方面直观地体现了直线对x轴正向的倾斜程度.
(3)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
归纳总结
2.直线的斜率
新知探究
在实际生活中，我们经常用“坡度”来描述一段道路相对于水平方向的倾斜程度．
如下图所示，沿着这条道路从A点前进到B点，设在水平方向向右前进的距离为AD，竖直方向上升的高度为DB
（如果是下降，则DB的值为负实数），则
水平距离：x2－x1
水平距离
y2－y1
坡度 k > 0表示这段道路是上坡.
k = 0表示是平路，
k < 0表示是下坡，
| k |越大说明坡越陡．
水平距离：x2－x1
水平距离
y2－y1
直线的斜率：
一条直线的倾斜角 α（ ）的正切值 k 称为这条直线的斜率，
即 k =tan α ．
例如，当直线的倾斜角 时，斜率 ；
当直线的倾斜角 时，斜率 ；
倾斜角 的直线没有斜率．
倾斜角 的直线都有斜率．倾斜角不同，直线的斜率也不同．
因此，可以用斜率来表示直线的倾斜程度．
下面，我们来探索如何由直线上两点的坐标计算直线的斜率．
设直线l不垂直于x 轴．
已知直线l上任意两个不同点A(x1，y1)，B (x2，y2)，求直线 l 的斜率．
设直线l 的倾斜角为 α ．
如图 ，从原点O出发作有向线段 OP 表示向量
AB = (x2－x1，y2－y1)，
则OP 与直线 l 平行或位于直线 l 上，
有相同的倾斜角，即∠xOP = α．
上式即为经过两个不同点A(x1，y1)，B (x2，y2)，（x1≠x2）的直线的斜率公式．
由OP =AB = (x2－x1，y2－y1)，得
斜率公式
概念归纳
例 1 如图，已知三点A(2,1)，B(5,2)，C(4,3).
(1)求直线AB，BC，CA的斜率；
课本例题
例 1 如图，已知三点A(2,1)，B(5,2)，C(4,3).
(2)求直线BC，CA的倾斜角.
设直线BC的倾斜角为α.
设直线CA的倾斜角为β.
例 2 在平面直角坐标系中，画出经过点A(2，0)，且斜率分别为 2 与－2的直线 l1，l2．
分析：要画出过点A(2，0)且斜率为 2（或－2）的直线，只需再确定直线
上异于点 A 的另一个点的位置（即坐标）．
解：设直线 l1 上另一点 B的坐标为(x1，y1)，
根据斜率公式有
即y1=2(x1－2)．不妨取x1=0，则y1=－4，
于是得点B的坐标为(0，－4)
过点A(2，0)及点B(0，－4)作直线即为l1，如图．
例 2 在平面直角坐标系中，画出经过点A(2，0)，且斜率分别为 2 与－2的直线 l1，l2．
同样地，设直线 l2 上另一点C的坐标为(x2，y2)，
根据斜率公式有
即y2=－2(x2－2)．不妨取x2=0，则y2=4，
于是得点C的坐标为(0，4)
过点A(2，0)及点C(0，4)作直线即为l2，如图．
例 3 设一次函数y＝kx＋b的图象为直线l，求l的斜率.
任取x1≠x2，则A(x1，kx1＋b)，B(x2，kx2＋b)是直线l上两个不同的点.
课本例题
如图，对照一次函数，y = kx＋b的图象，可以得到∶
当斜率k >0，倾斜角α是锐角，直线从左到右上升，
因变量增量 y2－y1 与自变量增量x2－x1同号，一次函数是增函数．
当斜率k < 0，倾斜角α是钝角，直线从左到右下降，
因变量增量 y2－y1与自变量增量x2－x1异号，一次函数是减函数．
2.(1)经过下列两点的直线的斜率是否存在？
如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角.
①A(2,3)，B(4,5)；
则直线AB的倾斜角α满足tan α＝1，
又0°≤α<180°，
所以倾斜角α＝45°.
典例剖析
则直线CD的倾斜角α满足tan α＝－1，
又0°≤α<180°，
所以倾斜角α＝135°.
2.(1)经过下列两点的直线的斜率是否存在？
如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角.
②C(－2,3)，D(2，－1)；
2.(1)经过下列两点的直线的斜率是否存在？
如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角.
③P(－3,1)，Q(－3,10).
不存在.因为xP＝xQ＝－3，
所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α＝90°.
(2)求经过两点A(a,2)，B(3,6)的直线的斜率.
当a＝3时，直线的斜率不存在；
概念归纳
求直线的斜率的两种方法
(1)利用定义：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则k＝tan α.
(1)若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为_______.
(2)若过点P(－2，m)，Q(m,4)的直线的斜率为1，则m的值为_____.
1
练一练
1.斜率的定义
tan α
2.斜率公式
经过两个不同点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝______.
归纳总结
注意点：
(1)当x1＝x2时，直线的斜率不存在，倾斜角为90°.
(2)斜率公式中k的值与P1，P2两点在该直线上的位置无关.
(3)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换.
(4)若直线与x轴平行或重合，则k＝0.
归纳总结
3.倾斜角和斜率的应用
新知探究
解：（方法二）因为
即kAB = kAC，
所以A，B，C三点共线．
判断A(－2，3)，B(3，2)，C(8，1)三点是否共线．
解：（方法一）可用向量是否共线进行判断．
随着倾斜角大小变化，斜率如何变化？
我们先来观察当倾斜角取到这些特殊角的斜率：
斜率是关于倾斜角的正切函数（k = tanα）
k
a
O
当倾斜角α为零时，斜率k = 0；
当倾斜角α为锐角时，斜率k > 0，且斜率随着倾斜角的增大而增大；
当倾斜角α为钝角时，斜率k < 0，且斜率随着倾斜角的增大而增大．
角度 1 三点共线问题
典例剖析
由于A，B，C三点所在直线不可能垂直于x轴，因此可设直线AB，BC的斜率分别为kAB，kBC，
∵点A，B，C在同一条直线上，∴kAB＝kBC.
4.已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点.
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞).
角度 2 求取值范围问题
典例剖析
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围.
由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，
又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，
所以α的取值范围是45°≤α≤135°.
(1)用斜率公式解决三点共线问题时，首先要估测三点中是否任意两点的连线垂直于x轴.
当任意两点的连线垂直于x轴，且过同一点时，三点共线.
否则，直线的斜率存在，只要证明过同一点的两直线的斜率相等即可.
(2)①由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tan α(α≠90°)解决.
②涉及直线与线段有交点问题常数形结合并利用公式求解.
概念归纳
3.已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2).
(1)求直线AB和AC的斜率；
练一练
(2)当点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围.
设直线的倾斜角为α，斜率为k.
α的大小 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180°
k的范围 k＝0 _____ 不存在 _____
k的增减性 随α的增大而_____ 随α的增大而_____
k>0
k<0
增大
增大
归纳总结
随堂练
1.(多选)下列说法正确的是（ ）
A.若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°
B.若k是直线的斜率，则k∈R
C.任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
D.任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角
2.若经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m等于（ ）
A.2 B.1 C.－1 D.－2
ABC
A
3.已知A(－1，－2)，B(2,1)，C(x,2)三点共线，则x＝____，
直线AB的倾斜角为____.
3
随堂练
4.经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围
是_____________.(其中m≥1)
0°<α≤90°
错因分析
易错辨析 忽略直线的斜率不存在致误
例4 已知直线l经过两点A(2，－1)，B(t，4)，则直线l的斜率为______________．
错因分析
出错原因：
漏掉了t＝2的情况．
纠错心得:
在利用斜率公式求直线的斜率时，
一定要注意两点横坐标相等的情况．
分层练习-基础
1.直线x＝1的倾斜角是（ ）
A.0° B.45°
C.90° D.不存在
2.下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是（ ）
A.(4,2)与(－4,1)
B.(0,3)与(3,0)
C.(3，－1)与(2，－1)
D.(－2,2)与(－2,5)
C
D
3.(多选)已知直线斜率的绝对值为 ，则直线的倾斜角可以为（ ）
A.30° B.60°
C.120° D.150°
分层练习-基础
4.已知点 则直线AB的倾斜角θ是（ ）
A.60° B.30°
C.120° D.150°
BC
B
分层练习-基础
6.如图，若直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（ ）
A.k1＜k3＜k2 B.k3＜k1＜k2
C.k1＜k2＜k3 D.k3＜k2＜k1
C
A
7.斜率为2的直线过(3,5)，(a,7)，(－1，b)三点，则a＋b＝____.
1
分层练习-基础
8.已知点A(2，－1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标为_______________.
(3,0)或(0，－3)
9.已知直线l经过两点A(－1，m)，B(m,1)，问：当m取何值时：
(1)直线l与x轴平行？
（1）若直线l与x轴平行，
∴m＝1.
分层练习-基础
(2)直线l与y轴平行？
（2）若直线l与y轴平行，
则直线l的斜率不存在，
∴m＝－1.
9.已知直线l经过两点A(－1，m)，B(m,1)，问：当m取何值时：
(3)直线的倾斜角为45°？
(4)直线的倾斜角为锐角？
（3）由题意可知，直线l的斜率k＝1，
（4）由题意可知，直线l的斜率k>0，
解得－1分层练习-基础
10.如图所示，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，OB边在x轴的正半轴上，已知∠BOD＝60°，求菱形OBCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率.
分层练习-基础
在菱形OBCD中，OD∥BC，∠BOD＝60°，
所以直线OD，BC的倾斜角相等，都为60°，
因为CD∥OB，且OB在x轴上，
所以直线OB，CD的倾斜角相等，都为0°，
所以kOB＝kCD＝0，
由菱形的性质，知∠COB＝30°，∠OBD＝60°，
所以直线OC，BD的倾斜角分别为30°，120°，
11.直线l过点A(1,2)，且不过第四象限，则直线l的斜率的取值范围
是（ ）
分层练习-巩固
12.已知点A(2,3)，B(－3，－2)，若直线l过点P(1,1)，且与线段AB始终没有交点，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
A
A
分层练习-巩固
13.若经过点A(1－t,1＋t)和点B(3,2t)的直线的倾斜角为钝角，则实数t的取值范围是________.
(－2,1)
14.若A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)三点共线，则 ＝_____.
分层练习-拓展
B
16.(1)已知一条光线从点A(－1,3)射向x轴，经过x轴上的点P反射后通过点B(3,1)，求点P的坐标；
设P(x,0)，直线PA，PB的斜率分别为kPA，kPB，
由题意可知，kPA＝－kPB，
解得x＝2，即P(2,0).
分层练习-拓展
(2)已知一条光线从点A(2,1)射到y轴上的点Q，经y轴反射后过点B(4,3)，求点Q的坐标及入射光线的斜率.
设Q(0，y)，直线QA，QB的斜率分别为kQA，kQB，
分层练习-拓展
课堂小结
1.知识清单：
(1)直线的倾斜角及其范围.
(2)直线斜率的定义和斜率公式.
2.方法归纳：数形结合法.
3.常见误区：忽视倾斜角范围，图形理解不清.
湘教版2019高一数学（选修一） 第二章 平面解析几何初步
2.1 直线的斜率
学习目标
1.了解直线的斜率和倾斜角的概念.(重点)
2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.
3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率.(重点)
情景导入
在平面中，我们如何才能确定一条直线？
两点可以确定一条直线.
在平面直角坐标系中，若规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向，图中过点P的直线有什么区别？
情景导入
我们可以发现直线的方向不同，
相对于x轴的倾斜程度也不同.
O
P
x
y
l
l
l
1.直线的倾斜角
新知探究
在平面直角坐标系中，点用坐标表示，直线则应该用直线上所有点的坐标共同满足的关系来表示．
为了用代数方法研究直线的几何性质，本节首先探索确定直线位置的几何要素，然后用代数语言把这些几何要素表示出来．
我们知道，在平面上两点确定一条直线，
一个已知点却不能确定一条直线．
如右图，过已知点 P可以画无数条直线．
这些直线的区别在哪里呢
容易发现，这些直线的方向不同，也就是倾斜程度不同．只要能想出办法刻画直线的倾斜程度，就可以用倾斜程度来刻画直线的方向．
O
P
l
l
当直线 l 与 x 轴相交时，我们把 x 轴正向绕交点逆时针旋转到与直线 l 向上方向首次重合所成的角 α 叫作直线 l 的倾斜角．
建立平面直角坐标系时，把 x 轴摆放在水平方向上，直线 l 偏离 x 轴所成的角 α 就可以刻画直线的倾斜程度．
如图(2)，直线 l 的倾斜角是锐角；如图(4)，直线 l 的倾斜角是钝角．
如图(3)，当直线 l 与 x 轴垂直时，规定倾斜角 α = π/2 （直角）；
如图(1)，当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定倾斜角 α = 0．
因此，倾斜角的取值范围是 0 ≤ α < π．
p
o
y
x
(1)0°角
p
o
y
x
(2)锐角
p
o
y
x
(3)直角
y
p
o
x
(4)钝角
平面直角坐标系内的每一条直线都有一个确定的倾斜角α，
而且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等，倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等．
因此，我们可以用倾斜角α表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度，以刻画直线的方向，再结合直线上的一个定点，就可以唯一确定这条直线了．
p
o
y
x
(1)0°角
p
o
y
x
(2)锐角
p
o
y
x
(3)直角
y
p
o
x
(4)钝角
1.(1)(多选)下列命题中，正确的是( )
A.任意一条直线都有唯一的倾斜角
B.一条直线的倾斜角可以为－30°
C.倾斜角为0°的直线有无数条
D.若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0,1)
任意一条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因此A正确，B错误，C正确.
D中，当α＝0°时，sin α＝0；当α＝90°时，sin α＝1，故D错误.
典例剖析
AC
(2)(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为（ ）
A.α＋45° B.α－135°
C.135°－α D.α－45°
根据题意，画出图形，如图所示.
通过图象可知，
当0°≤α<135°时，l1的倾斜角为α＋45°；
当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.
典例剖析
AB
方法归纳：
(1)直线的倾斜角主要根据定义来求，
其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，
有时要根据情况分类讨论.
(2)注意倾斜角的范围.
概念归纳
(1)已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为___________.
60°或120°
练一练
(2)如图，已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，则直线l2的倾斜角为_____.
135°
归纳总结
1.直线倾斜角的定义
当直线l与x轴相交时，我们把x轴正向绕交点_______旋转到与直线l向上方向首次重合所成的角α叫作直线l的倾斜角.
2.直线倾斜角的取值范围
倾斜角的取值范围是_________，当直线l与x轴平行或重合时，规定倾斜角α＝____.
逆时针
0
0≤α<π
注意点：
(1)从运动变化的观点来看，当直线l与x轴相交时，直线l的倾斜角是由x轴绕直线l与x轴的交点按逆时针方向旋转到与直线l重合时所得到的最小正角.
(2)倾斜角从“形”的方面直观地体现了直线对x轴正向的倾斜程度.
(3)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
归纳总结
2.直线的斜率
新知探究
在实际生活中，我们经常用“坡度”来描述一段道路相对于水平方向的倾斜程度．
如下图所示，沿着这条道路从A点前进到B点，设在水平方向向右前进的距离为AD，竖直方向上升的高度为DB
（如果是下降，则DB的值为负实数），则
水平距离：x2－x1
水平距离
y2－y1
坡度 k > 0表示这段道路是上坡.
k = 0表示是平路，
k < 0表示是下坡，
| k |越大说明坡越陡．
水平距离：x2－x1
水平距离
y2－y1
直线的斜率：
一条直线的倾斜角 α（ ）的正切值 k 称为这条直线的斜率，
即 k =tan α ．
例如，当直线的倾斜角 时，斜率 ；
当直线的倾斜角 时，斜率 ；
倾斜角 的直线没有斜率．
倾斜角 的直线都有斜率．倾斜角不同，直线的斜率也不同．
因此，可以用斜率来表示直线的倾斜程度．
下面，我们来探索如何由直线上两点的坐标计算直线的斜率．
设直线l不垂直于x 轴．
已知直线l上任意两个不同点A(x1，y1)，B (x2，y2)，求直线 l 的斜率．
设直线l 的倾斜角为 α ．
如图 ，从原点O出发作有向线段 OP 表示向量
AB = (x2－x1，y2－y1)，
则OP 与直线 l 平行或位于直线 l 上，
有相同的倾斜角，即∠xOP = α．
上式即为经过两个不同点A(x1，y1)，B (x2，y2)，（x1≠x2）的直线的斜率公式．
由OP =AB = (x2－x1，y2－y1)，得
斜率公式
概念归纳
例 1 如图，已知三点A(2,1)，B(5,2)，C(4,3).
(1)求直线AB，BC，CA的斜率；
课本例题
例 1 如图，已知三点A(2,1)，B(5,2)，C(4,3).
(2)求直线BC，CA的倾斜角.
设直线BC的倾斜角为α.
设直线CA的倾斜角为β.
例 2 在平面直角坐标系中，画出经过点A(2，0)，且斜率分别为 2 与－2的直线 l1，l2．
分析：要画出过点A(2，0)且斜率为 2（或－2）的直线，只需再确定直线
上异于点 A 的另一个点的位置（即坐标）．
解：设直线 l1 上另一点 B的坐标为(x1，y1)，
根据斜率公式有
即y1=2(x1－2)．不妨取x1=0，则y1=－4，
于是得点B的坐标为(0，－4)
过点A(2，0)及点B(0，－4)作直线即为l1，如图．
例 2 在平面直角坐标系中，画出经过点A(2，0)，且斜率分别为 2 与－2的直线 l1，l2．
同样地，设直线 l2 上另一点C的坐标为(x2，y2)，
根据斜率公式有
即y2=－2(x2－2)．不妨取x2=0，则y2=4，
于是得点C的坐标为(0，4)
过点A(2，0)及点C(0，4)作直线即为l2，如图．
例 3 设一次函数y＝kx＋b的图象为直线l，求l的斜率.
任取x1≠x2，则A(x1，kx1＋b)，B(x2，kx2＋b)是直线l上两个不同的点.
课本例题
如图，对照一次函数，y = kx＋b的图象，可以得到∶
当斜率k >0，倾斜角α是锐角，直线从左到右上升，
因变量增量 y2－y1 与自变量增量x2－x1同号，一次函数是增函数．
当斜率k < 0，倾斜角α是钝角，直线从左到右下降，
因变量增量 y2－y1与自变量增量x2－x1异号，一次函数是减函数．
2.(1)经过下列两点的直线的斜率是否存在？
如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角.
①A(2,3)，B(4,5)；
则直线AB的倾斜角α满足tan α＝1，
又0°≤α<180°，
所以倾斜角α＝45°.
典例剖析
则直线CD的倾斜角α满足tan α＝－1，
又0°≤α<180°，
所以倾斜角α＝135°.
2.(1)经过下列两点的直线的斜率是否存在？
如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角.
②C(－2,3)，D(2，－1)；
2.(1)经过下列两点的直线的斜率是否存在？
如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角.
③P(－3,1)，Q(－3,10).
不存在.因为xP＝xQ＝－3，
所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α＝90°.
(2)求经过两点A(a,2)，B(3,6)的直线的斜率.
当a＝3时，直线的斜率不存在；
概念归纳
求直线的斜率的两种方法
(1)利用定义：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则k＝tan α.
(1)若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为_______.
(2)若过点P(－2，m)，Q(m,4)的直线的斜率为1，则m的值为_____.
1
练一练
1.斜率的定义
tan α
2.斜率公式
经过两个不同点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝______.
归纳总结
注意点：
(1)当x1＝x2时，直线的斜率不存在，倾斜角为90°.
(2)斜率公式中k的值与P1，P2两点在该直线上的位置无关.
(3)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换.
(4)若直线与x轴平行或重合，则k＝0.
归纳总结
3.倾斜角和斜率的应用
新知探究
解：（方法二）因为
即kAB = kAC，
所以A，B，C三点共线．
判断A(－2，3)，B(3，2)，C(8，1)三点是否共线．
解：（方法一）可用向量是否共线进行判断．
随着倾斜角大小变化，斜率如何变化？
我们先来观察当倾斜角取到这些特殊角的斜率：
斜率是关于倾斜角的正切函数（k = tanα）
k
a
O
当倾斜角α为零时，斜率k = 0；
当倾斜角α为锐角时，斜率k > 0，且斜率随着倾斜角的增大而增大；
当倾斜角α为钝角时，斜率k < 0，且斜率随着倾斜角的增大而增大．
角度 1 三点共线问题
典例剖析
由于A，B，C三点所在直线不可能垂直于x轴，因此可设直线AB，BC的斜率分别为kAB，kBC，
∵点A，B，C在同一条直线上，∴kAB＝kBC.
4.已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点.
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞).
角度 2 求取值范围问题
典例剖析
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围.
由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，
又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，
所以α的取值范围是45°≤α≤135°.
(1)用斜率公式解决三点共线问题时，首先要估测三点中是否任意两点的连线垂直于x轴.
当任意两点的连线垂直于x轴，且过同一点时，三点共线.
否则，直线的斜率存在，只要证明过同一点的两直线的斜率相等即可.
(2)①由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tan α(α≠90°)解决.
②涉及直线与线段有交点问题常数形结合并利用公式求解.
概念归纳
3.已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2).
(1)求直线AB和AC的斜率；
练一练
(2)当点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围.
设直线的倾斜角为α，斜率为k.
α的大小 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180°
k的范围 k＝0 _____ 不存在 _____
k的增减性 随α的增大而_____ 随α的增大而_____
k>0
k<0
增大
增大
归纳总结
随堂练
1.(多选)下列说法正确的是（ ）
A.若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°
B.若k是直线的斜率，则k∈R
C.任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
D.任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角
2.若经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m等于（ ）
A.2 B.1 C.－1 D.－2
ABC
A
3.已知A(－1，－2)，B(2,1)，C(x,2)三点共线，则x＝____，
直线AB的倾斜角为____.
3
随堂练
4.经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围
是_____________.(其中m≥1)
0°<α≤90°
错因分析
易错辨析 忽略直线的斜率不存在致误
例4 已知直线l经过两点A(2，－1)，B(t，4)，则直线l的斜率为______________．
错因分析
出错原因：
漏掉了t＝2的情况．
纠错心得:
在利用斜率公式求直线的斜率时，
一定要注意两点横坐标相等的情况．
分层练习-基础
1.直线x＝1的倾斜角是（ ）
A.0° B.45°
C.90° D.不存在
2.下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是（ ）
A.(4,2)与(－4,1)
B.(0,3)与(3,0)
C.(3，－1)与(2，－1)
D.(－2,2)与(－2,5)
C
D
3.(多选)已知直线斜率的绝对值为 ，则直线的倾斜角可以为（ ）
A.30° B.60°
C.120° D.150°
分层练习-基础
4.已知点 则直线AB的倾斜角θ是（ ）
A.60° B.30°
C.120° D.150°
BC
B
分层练习-基础
6.如图，若直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（ ）
A.k1＜k3＜k2 B.k3＜k1＜k2
C.k1＜k2＜k3 D.k3＜k2＜k1
C
A
7.斜率为2的直线过(3,5)，(a,7)，(－1，b)三点，则a＋b＝____.
1
分层练习-基础
8.已知点A(2，－1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标为_______________.
(3,0)或(0，－3)
9.已知直线l经过两点A(－1，m)，B(m,1)，问：当m取何值时：
(1)直线l与x轴平行？
（1）若直线l与x轴平行，
∴m＝1.
分层练习-基础
(2)直线l与y轴平行？
（2）若直线l与y轴平行，
则直线l的斜率不存在，
∴m＝－1.
9.已知直线l经过两点A(－1，m)，B(m,1)，问：当m取何值时：
(3)直线的倾斜角为45°？
(4)直线的倾斜角为锐角？
（3）由题意可知，直线l的斜率k＝1，
（4）由题意可知，直线l的斜率k>0，
解得－1
10.如图所示，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，OB边在x轴的正半轴上，已知∠BOD＝60°，求菱形OBCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率.
分层练习-基础
在菱形OBCD中，OD∥BC，∠BOD＝60°，
所以直线OD，BC的倾斜角相等，都为60°，
因为CD∥OB，且OB在x轴上，
所以直线OB，CD的倾斜角相等，都为0°，
所以kOB＝kCD＝0，
由菱形的性质，知∠COB＝30°，∠OBD＝60°，
所以直线OC，BD的倾斜角分别为30°，120°，
11.直线l过点A(1,2)，且不过第四象限，则直线l的斜率的取值范围
是（ ）
分层练习-巩固
12.已知点A(2,3)，B(－3，－2)，若直线l过点P(1,1)，且与线段AB始终没有交点，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
A
A
分层练习-巩固
13.若经过点A(1－t,1＋t)和点B(3,2t)的直线的倾斜角为钝角，则实数t的取值范围是________.
(－2,1)
14.若A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)三点共线，则 ＝_____.
分层练习-拓展
B
16.(1)已知一条光线从点A(－1,3)射向x轴，经过x轴上的点P反射后通过点B(3,1)，求点P的坐标；
设P(x,0)，直线PA，PB的斜率分别为kPA，kPB，
由题意可知，kPA＝－kPB，
解得x＝2，即P(2,0).
分层练习-拓展
(2)已知一条光线从点A(2,1)射到y轴上的点Q，经y轴反射后过点B(4,3)，求点Q的坐标及入射光线的斜率.
设Q(0，y)，直线QA，QB的斜率分别为kQA，kQB，
分层练习-拓展
课堂小结
1.知识清单：
(1)直线的倾斜角及其范围.
(2)直线斜率的定义和斜率公式.
2.方法归纳：数形结合法.
3.常见误区：忽视倾斜角范围，图形理解不清.
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