2.3有理数的乘方
2.3.1 乘方
第1课时 乘方的意义及运算
乘方的意义
1.下列可以表示7a的是 ( )
A. B.
C. D.
2.对于式子(-3)3,下列说法正确的是 ( )
A.指数是-3 B.底数是3
C.幂为-9 D.表示3个-3相乘
3.填表:
乘方 65 (-5)4 -22
底数
指数
乘方运算及符号规律
4.下列计算正确的是 ( )
A.-42=16 B.(-4)2=16
C.(-2)3=-6 D.(-3)3=-9
5.下面各组数中,相等的一组是 ( )
A.-22与(-2)2
B.与2
C.(-6)3与-63
D.-(-2)与-|-2|
6.下列有理数的乘方中,结果是正数的是 ( )
A.-3 B.-53 C.-2 D.(-5)3
7.一根1 m长的绳子,第一次剪去它的三分之一,第二次再剪去剩下的三分之一,如此剪下去,第十次后剩下的绳子长度为 ( )
A. m B. m
C. m D. m
8.下列乘方运算中,幂为负数的是 ( )
A.(-2)2 024 B.32 025
C.02 024 D.-12 025
9.在数(-3)2,(-2)3,-49,-24中,正数有 个.
10.计算:
(1)(-1)3. (2)(-1)2 026.
(3)(-0.1)3. (4).
(5)103.
(6)(-12)3(借助计算器计算).
(7)4.63(借助计算器计算).
(8)164(借助计算器计算).
1.下列说法正确的是 ( )
A.-28的底数是-2
B.25表示5个2相加
C.(-3)3与-33的意义相同
D.-43的底数是4
2.a是有理数,下列各式成立的是 ( )
A.(-a)2=-a2 B.(-a)3=a3
C.(-a)3=-a3 D.a4=-a4
3.已知=2,(b+1)2=25,且a
A.-2或-8 B.-8或6
C.2或6 D.2或-8
4.观察下列表格:
31 32 33 34 35 36 …
3 9 27 81 243 729 …
根据表格中个位数字的规律可知,327的个位数字是 ( )
A.1 B.3 C.7 D.9
5.已知x2=9,则x= ;若x3=(-4)3,则x= .
6.(跨学科)细菌是靠分裂进行生殖的,也就是1个细菌分裂成2个细菌,分裂完的细菌长大以后又能进行分裂,例如,图中所示为某种细菌分裂的示意图,显示这种细菌每20 min就能分裂一次,1个这种细菌经过2 h可以分裂成 个细菌.
细菌的分裂生殖
7.已知 a,b互为相反数,c,d互为倒数,求(a+b)2 025+(cd)2 025的值.
8.阅读材料:
求1+2+22+23+24+…+22 024的值.
解:设S=1+2+22+23+24+…+22 023+22 024.①
将等式两边同时乘2,得
2S=2+22+23+24+25+…+22 024+22 025.②
②-①,得2S-S=22 025-1,即S=22 025-1.所以1+2+22+23+24+…+22 024=22 025-1.
请仿照此法计算:
(1)1+2+22+23+24+…+210.
(2)1+3+32+33+34+…+3n(其中n为正整数).
微专题2 非负性的应用
(1)任意数的绝对值|a|和任意数的偶次方a2n(n为正整数)是常见的非负数.(2)如果几个非负数的和为0,那么每个非负数都为0.如:①若|a|+|b|=0,则|a|=|b|=0;②若a2n+|b|=0,则a=b=0.
1.若(a-3)2与|b+2|互为相反数,则ba的值为 ( )
A.6 B.8 C.-6 D.-8
2.若|a+1|+|b-3|+2|c-1|=0,则a+b+c= .
3.(2024资阳中考)若(a-1)2+|b-2|=0,则ab= .
4.已知︱a-3︳+(b+4)2=0,求(a+b)2 025的值.
【详解答案】
基础达标
1.D 2.D
3.6 -5 - 2 5 4 3 2
4.B 5.C 6.C 7.C 8.D 9.1
10.解:(1)(-1)3=(-1)×(-1)×(-1)=-1.
(2)(-1)2 026=1.
(3)(-0.1)3=(-0.1)×(-0.1)×(-0.1)=-0.001.
(4).
(5)103=10×10×10=1 000.
(6)(-12)3=-1 728.
(7)4.63=97.336.
(8)164=65 536.
能力提升
1.D 解析:A.-28的底数是2,故此选项的说法错误,不符合题意;B.25表示5个2相乘,故此选项的说法错误,不符合题意;C.因为(-3)3表示3个(-3)相乘,-33表示3个3相乘的相反数,所以它们表示的意义不同,故此选项的说法错误,不符合题意;D.-43的底数是4,故此选项的说法正确,符合题意.故选D.
2.C 解析:当n是奇数时,(-a)n=-an;当n是偶数时,(-a)n=an.故选C.
3.C 解析:因为|a|=2,(b+1)2=25,所以a=2或-2,b+1=5或-5.所以b=4或-6.又因为a4.C 解析:由题表可知,个位数字按照3,9,7,1的顺序循环,因为27÷4=6……3.所以327的个位数字是7.故选C.
5.3或-3 -4 解析:因为x2=9,所以x=3或-3.因为x3=(-4)3,所以x=-4.
6.64 解析:1个细菌经过2 h可以分裂2×60÷20=6(次),可以分裂成1×26=64(个)细菌.
7.解:因为 a,b 互为相反数,
所以 a+b=0.
因为c,d互为倒数,所以cd=1.
所以(a+b)2 025+(cd)2 025=02 025+12 025=0+1=1.
8.解:(1)设S=1+2+22+23+24+…+210.①
将等式两边同时乘2,得
2S=2+22+23+24+25+…+211.②
②-①,得2S-S=211-1,
即S=211-1.
所以1+2+22+23+24+…+210=211-1.
(2)设S=1+3+32+33+34+…+3n.①
将等式两边同时乘3,得
3S=3+32+33+34+35+…+3n+1.②
②-①,得3S-S=3n+1-1,
即2S=3n+1-1.
所以S=.
所以1+3+32+33+34+…+3n=.
微专题2
1.D 解析:因为(a-3)2与|b+2|互为相反数,所以(a-3)2+|b+2|=0.所以a-3=0,b+2=0.所以a=3,b=-2.所以ba=(-2)3=-8.故选D.
2.3 解析:因为|a+1|+|b-3|+2|c-1|=0,所以a+1=0,b-3=0,c-1=0.所以a=-1,b=3,c=1.所以a+b+c=-1+3+1=3.
3.2 解析:因为(a-1)2+|b-2|=0,所以a-1=0,b-2=0.所以a=1,b=2.所以ab=2.
4.解:因为|a-3|+(b+4)2=0,
所以a-3=0,b+4=0.
所以a=3,b=-4.
所以(a+b)2 025=[3+(-4)]2 025=-1.2.3.3 近似数
准确数与近似数
1.判断下列各题中哪些是准确数 哪些是近似数
①七年级(1)班有32名同学;②池塘中大约有10 000尾鱼;③三角形有3个内角;④取π的值为3.14.其中 是准确数, 是近似数.
精确度与取近似数
2.小亮的体重为53.86 kg,若将体重精确到1 kg,则小亮的体重约为 ( )
A.53.8 kg B.53.9 kg
C.53 kg D.54 kg
3.3.256精确到十分位为 ;近似数7.50×105精确到 位.
4.按括号中的要求,用四舍五入法对下列各数取近似数:
(1)54.263 5≈ (精确到百分位).
(2)7.958≈ (精确到0.1).
(3)58 299≈ (精确到千位).
1.如果a是b的近似值,那么我们把b叫作a的真值.若用四舍五入法得到的近似数是85,则下列各数不可能是其真值的是 ( )
A.85.01 B.84.51 C.84.99 D.84.49
2.把一个整数精确到万位,所得的近似数是30万,原来的这个整数可能是 ( )
A.294 999 B.309 111 C.304 997 D.30 511
3.下列说法正确的是 ( )
A.0.720精确到百分位
B.5.078×104精确到千分位
C.36万精确到个位
D.2.90×105精确到千位
4.如果一个数a精确到十分位的结果是2.6,那么这个数a的范围满足 ( )
A.2.55≤a≤2.65 B.2.55C.2.555.车工小王加工生产了两根轴,当他把轴交给质检员验收时,质检员说:“不合格,作废!”小王不服气地说:“图纸要求轴长精确到2.80 m,一根为2.76 m,另一根为2.82 m,怎么不合格 ”
(1)图纸要求精确到2.80 m,原轴的长度范围是多少
(2)你认为是小王加工的轴不合格,还是质检员故意刁难 并说明理由.
6.(应用意识)小明在博物馆听到一段对话:
管理员:先生,这块化石有700 003年.
参观者:哇!你怎么知道得这么精确
管理员:3年前,几位考古学家到这儿参观,他们说这块化石有70万年了,3年过去了,所以是700 003年.
请问:管理员的推断对吗 为什么
【详解答案】
基础达标
1.①③ ②④
2.D 3.3.3 千
4.(1)54.26 (2)8.0 (3)5.8×104
能力提升
1.D 解析:根据用四舍五入法取近似数的方法,得A、B、C的近似值都是85,只有D中的近似值是84.故选D.
2.C 解析:294 999≈29万;309 111≈31万;304 997≈30万;30 511≈3万.故选C.
3.D 解析:0.720精确到千分位,故A选项错误;5.078×104=50 780,数字8在十位上,故精确到十位,故B选项错误;36万=360 000,数字6在万位上,故精确到万位,故C选项错误;2.90×105=290 000,从左数第一个0在千位上,故精确到千位,故D选项正确.故选D.
4.D 解析:根据题意,得这个数a的范围满足2.55≤a<2.65.故选D.
5.解:(1)设原轴的长度为a.因为近似数2.80 m的要求是精确到0.01 m,所以原轴的长度范围是2.795 m≤a<2.805 m.
(2)小王加工的轴不合格.理由如下:
由(1)知,原轴的长度范围为2.795 m≤a<2.805 m,
所以轴长为2.76 m与2.82 m的产品都不符合要求,即小王加工的轴不合格.
6.解:管理员的推断不对.因为3年前考古学家参观过这里,他们说这块化石有70万年了,这个70万并不是准确数字,而是一个近似数,所以管理员的推断是错误的.第2课时 有理数的混合运算
有理数的混合运算
1.式子-52+(-2)÷2中有以下三种运算:①乘方;②加法;③除法.对其运算顺序排序正确的是
( )
A.①②③ B.①③②
C.②③① D.③①②
2.下列各组运算结果中,数值最小的是 ( )
A.-(-3-2)2 B.(-3)×(-2)2
C.(-3)2÷(-2)2 D.(-3)2×(-2)
3.在计算-22+5÷(-2)×-9×2-时,有四位同学给出了以下四种计算步骤,其中正确的是 ( )
A.原式=1÷(-2)×-9×2-
B.原式=-4+5÷(-1-9)×2-
C.原式=-4+5÷(-2)×-18+3+2
D.原式=4+5÷(-2)×-18+3+2
4.计算-8+(-1)7+12÷(-3)×(-2)2的结果是 ( )
A.-25 B.16 C.-9 D.-10
5.如图是嘉淇计算“-22+6-×3”的过程,开始出错的步骤是 ( )
-22+6-×3 =-4+6-1 ……………… 第一步 =-4+6 ………… 第二步 =2. ……………… 第三步
A.第一步 B.第二步
C.第三步 D.无出错的步骤
6.(跨学科)“五月天山雪,无花只有寒”,反映出地形对气温的影响,大致是海拔每升高100 m,气温约下降0.6 ℃.有一座海拔为2 350 m的山,在这座山上海拔为350 m的地方测得气温是6 ℃,则此时山顶的气温约为 ℃.
有理数混合运算中的数字规律
7.第十四届国际数学教育大会(ICME-14)会徽(如图)的主题图案有着丰富的数学元素,其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745.八进制是以8作为进位基数的数字系统,有0~7共8个基本数字,八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5=2 021,表示ICME-14的举办年份.按照上述方法将八进制数2067换算成十进制数为 ( )
A.16 B.127 C.1 079 D.1 143
8.计算:(-1)1+(-1)2+(-1)3+…+(-1)10= .
1.计算25-3×[32+2×(-3)]+5等于( )
A.21 B.30 C.39 D.71
2.如图是一个“数值转换机”,按下面的运算过程输入一个数x,若输入的数x=-1,则输出的结果为
( )
A.15 B.13 C.11 D.-5
3.在数学课上,老师让甲、乙、丙、丁四位同学分别做了一道有理数运算题,你认为做对的同学是
( )
甲:9-32÷8=0÷8=0.
乙:24-(4×32)=24-4×6=0.
丙:(36-12)÷=36×-12×=16.
丁:(-3)2÷×3=9÷1=9.
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
4.若m,n互为相反数,p,q互为倒数,t的绝对值等于4,则2 024-(-pq)2 025+t3的值是 ( )
A.-63 B.65 C.-63或65 D.63或-65
5.(跨学科)(2024广州中考)如图,把R1,R2,R3三个电阻串联起来,线路AB上的电流为I,电压为U,则U=IR1+IR2+IR3.当R1=20.3 Ω,R2=31.9 Ω,R3=47.8 Ω,I=2.2 A时,U= V.
6.小雅在计算“40÷□×(-2)”时,误将“÷”看成“+”,结果得50,则原算式的正确结果是 .
7.计算:(-2)3÷.
下面是小颖的解答过程,请认真阅读并完成任务:
解:原式=(-8)÷ ……………… 第一步
=(-8)÷(4+2)× ……………………………… 第二步
=(-8)÷6× …………………………………… 第三步
=(-8)÷1 …………………………………… 第四步
=-8. …………………………………… 第五步
任务一:小颖的解答过程共存在两处错误,分别在第 步和第 步.
任务二:请写出正确的解答过程.
8.计算:
(1)(-3)2--6÷.
(2).
9.(推理能力)(1)计算下面两组算式:
①(3×5)2与32×52.
②[(-2)×3]2与(-2)2×32.
(2)根据以上计算结果猜想:(ab)2等于什么(直接写出结果)
(3)猜想与验证:当n为正整数时,(ab)n等于什么 请你利用乘方的意义说明理由.
(4)利用上述结论,求(-4)2 025×0.252 024的值.
【详解答案】
基础达标
1.B 2.A 3.C 4.A 5.B 6.-6 7.C 8.0
能力提升
1.A 解析:25-3×[32+2×(-3)]+5=25-3×(9-6)+5=21.故选A.
2.C 解析:因为x=-1,所以(-1)×(-2)+1=2+1=3<10;3×(-2)+1=-6+1=-5<10;(-5)×(-2)+1=10+1=11>10,输出11.故选C.
3.C 解析:甲:9-32÷8=9-9÷8=9-,故甲做错了;乙:24-(4×32)=24-(4×9)=24-36=-12,故乙做错了;丙:(36-12)÷=(36-12)×=36×-12×=24-8=16,故丙做对了;丁:(-3)2÷×3=9÷×3=9×3×3=81,故丁做错了.综上所述,做对的同学是丙.故选C.
4.C 解析:由题意,得m+n=0,pq=1,t=4或-4.所以原式=2 024-(-1)2 025+43=0+1+64=65,或原式=2 024-(-1)2 025+(-4)3=0+1-64=-63.故选C.
5.220 解析:由题意,得U=I(R1+R2+R3)=2.2×(20.3+31.9+47.8)=220(V).
6.16 解析:由题意,得40+□×(-2)=50.所以□=(50-40)÷(-2)=10÷(-2)=-5.所以40÷(-5)×(-2)=(-8)×(-2)=16.
7.解:任务一:一 四
任务二:正确的解答过程如下:
(-2)3÷-32×-2+2×=(-8)÷(-9)×+2×=(-8)÷(-4+2)×=(-8)÷(-2)×=4×.
8.解: (1)原式=9--6×=9--9=-.
(2)原式=(-81+9)÷(-2)=(-72)÷(-2)=36.
9.解:(1)①(3×5)2=152=225,
32×52=9×25=225.
②[(-2)×3]2=(-6)2=36,
(-2)2×32=4×9=36.
(2)(ab)2=a2b2.
(3)当n为正整数时,(ab)n=anbn.理由如下:
当n为正整数时,(ab)n=
·=anbn,
即当n为正整数时,(ab)n=anbn.
(4)(-4)2 025×0.252 024=(-4)×(-4)2 024×0.252 024=(-4)×(-4×0.25)2 024=-4.2.3.2 科学记数法
用科学记数法表示数
1.将数据800 000用科学记数法表示应为( )
A.0.08×107 B.0.8×106
C.8×105 D.80×104
2.2025年4月30日,神舟十九号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆,东风着陆场是中国载人航天工程载人飞船的着陆场,总面积约13 000 km2.数据13 000用科学记数法表示为 .
还原用科学记数法表示的数
3.一个整数310…0用科学记数法表示为3.1×108,则原数中“0”的个数为 ( )
A.4 B.5
C.6 D.7
4.写出下列用科学记数法表示的数的原数.
(1)3×107= .
(2)1.3×103= .
(3)-1.96×104= .
1.(2024北京中考)为助力数字经济发展,北京积极推进多个公共算力中心的建设.北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为4×1017 Flops(Flops是计算机系统算力的一种度量单位),整体投产后,累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍,达到m Flops,则m的值为 ( )
A.8×1016 B.2×1017
C.5×1017 D.2×1018
2.光年是天文学上的一种距离单位,一光年是指光在一年内走过的路程,约等于9.46×1012 km.下列说法正确的是( )
A.9.46×1012-10=9.46×1011
B.9.46×1012-0.46=9×1012
C.9.46×1012是一个12位数
D.9.46×1012是一个13位数
3.将19万用科学记数法表示为1.9×10m,关于m的描述,下列说法正确的是 ( )
A.m为负数
B.m=4
C.m等于19万的整数位数
D.当m增加1时,原数扩大为原来的10倍
4.科学家研发了一种新的蓝光唱片,一张蓝光唱片的容量约为2×105 GB,一张普通唱片的容量约为25 GB,则蓝光唱片的容量是普通唱片的 倍.(用科学记数法表示)
5.将数据13.6亿用科学记数法表示为1.36×10n的形式,则n的值是 .(备注:1亿=100 000 000)
6.光速约为3×108 m/s,太阳光射到地球上的时间约为500 s,则地球与太阳的距离约为 m.
(结果用科学记数法表示)
7.比较大小:
(1)1.5×102 026与9.8×102 025.
(2)-3.6×105与-1.2×106.
8.(运算能力)已知10×102=1 000=103,
102×102=10 000=104,
102×103=100 000=105.
(1)猜想:106×104= ,10m×10n= (m,n均为正整数).
(2)运用上述猜想计算下列式子:
①(1.5×104)×(1.2×105).
②(-6.4×103)×(2×106).
【详解答案】
基础达标
1.C 2.1.3×104 3.D
4.(1)30 000 000 (2)1 300 (3)-19 600
能力提升
1.D 解析:由题意,得m=4×1017×5=2×1018.故选D.
2.D 解析:9.46×1012=9 460 000 000 000,是一个13位数.故选D.
3.D 解析:因为19万用科学记数法表示为1.9×105,所以m=5.故A、B、C选项错误,不符合题意. 当m增加1时,原数扩大为原来的10倍,D选项正确,符合题意.故选D.
4.8×103 解析:2×105=200 000,则200 000÷25=8 000=8×103,即蓝光唱片的容量是普通唱片的8×103倍.
5.9 解析:因为13.6亿=1 360 000 000=1.36×109,所以n的值为9.
6.1.5×1011 解析:地球与太阳的距离约为(3×108)×500=1 500×108=1.5×1011(m).
7.解:(1)因为1.5×102 026=15×102 025,
15×102 025>9.8×102 025,
所以1.5×102 026>9.8×102 025.
(2)因为-3.6×105=-0.36×106,
-0.36×106>-1.2×106.
所以-3.6×105>-1.2×106.
8.解:(1)1010 10m+n
(2)①(1.5×104)×(1.2×105)=(1.5×1.2)×(104×105)=1.8×109.
②(-6.4×103)×(2×106)=[(-6.4)×2]×(103×106)=-12.8×109=-1.28×1010.