广东省深圳市宝安第一外国语学校2024-2025学年九年级上学期第一次调研数学试卷(含答案)

广东省深圳市宝安第一外国语学校　 2024-2025学年九年级上学期第一次调研数学试题
一、单选题
1．如果,那么等于 ( 　 )
A． B． C． D．
2．若顺次连接四边形ABCD各边中点所得到的四边形是矩形，则四边形ABCD一定满足（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分 D．对角线相等且互相平分
3．2017﹣2018赛季中国男子篮球职业联赛，采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人的作法如下：
甲：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形．
乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形．
根据两人的作法可判断（）
A．甲正确，乙错误 B．乙正确，甲错误 C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误
5．已知等腰三角形中，的长是关于的方程的两个实数根， 则的值为（ ）
A．25 B．14 C．25 或 16 D．25或14
6．下列说法中不正确的是（ ）
A．两个全等三角形的相似比为
B．相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方
C．有一个角等于100度的两个等腰三角形相似
D．对角线相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
7．如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（　　　）
A． B．
C． D．
8．如图，矩形ABCD的边长AD=3，AB=2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF=2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．已知，则的值为 ．
10．在一个不透明的袋子里装有若干个红球和12个黄球，这些球除颜色不同外其余均相同， 每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过很多次重复试验，发现摸到黄球的 频率稳定在，则袋中红球有 个 ．
11．如图，四边形是菱形，对角线与相交于，菱形的周长是，．则菱形的高的长为 ．

12．某网店销售医用外科口罩，每盒售价元，每星期可卖盒．为了便民利民，该网店决定降价销售，市场调查反映：每降价元，每星期可多卖盒．已知该款口罩每盒成本价为元，若该网店某星期获得了元的利润，且尽快减少库存，那么该网店这星期销售该款口罩 盒．
13．如图，RtABC中，∠C＝90°，D是斜边AB的中点．E为BC边上一点，且满足∠CED＝∠A．已知CE＝13，BE＝5．则AB的长为 ．
三、解答题
14．用适当的方法解下列方程：
(1)
(2)
(3)
15．在某次数学活动中，有两个如图所示的转盘、，转盘被分成四个相同的扇形，分别标有数字、、、，转盘被分成三个相同的扇形，分别标有数字、、，指针固定不变，转动转盘（如果指针指在等分线上，那么重新转动，直至指针指在某个扇形区域内为止）．
(1)若单独自由转动盘，当它停止时，指针指向奇数区的概率是______；
(2)小滨自由转动盘，小河自由转动盘，当两个转盘停止后，记下各个转盘指针所指区域内对应的数字，请用画树状图或列表法求所得两数之和为的倍数的概率．
16．如图，小正方形的边长均为1，
(1)则下列选项中，网格中的三角形与相似的是（ ）
A． B．
C． D．
(2)在网格内画一个（E、F均在格点上）使得与相似比为2：1
17．如图，有长为30米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借用一段墙体（墙体的最大可使用长度a=10米）．设花圃的一边AB长为x米，面积为y平方米．
（1）求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
（2）如果所围成的花圃的面积为63平方米，试求宽AB的长；
（3）按题目的设计要求，　 　（填“能”或“不能”）围成面积为80平方米的花圃．
18．把一张矩形纸片按如图方式折叠，使顶点B和D重合，折痕为．
(1)连接，求证：四边形是菱形．
(2)若，，求线段和的长．
19．【提出问题】在上次周测应用题中，出现了两个方程，很多同学解不出来
①②
【问题探究】李老师发现有这样一种解法，很适合解此类方程
如：解方程．
解：原方程可变形，得．，，．
直接开平方并整理，得，．
我们称这种解法为“平均数法”．
(1)下面是用“平均数法”解方程时写的解题过程
解：原方程可变形，得
．
，．
直接开平方并整理，得，．
上述过程中的“ ”，“○”，“☆”，“”表示的数分别为______，______，______，______．
(2)【牛刀小试】请用“平均数法”解方程：．
(3)【问题解决】请用“平均数法”解方程：
①
②
20．学完“探索三角形相似的条件”之后，小明所在的学习小组尝试探索四边形相似的条件，以下是他们的思考，请你和他们一起完成探究过程．
【定义】四边成比例，且四角分别相等的两个四边形叫做相似四边形．
【初步思考】
（1）小明根据探索三角形相似的条件所获得的经验，考虑可以从定义出发逐步弱化条件探究四边形相似的条件．他考虑到“四角分别相等的两个四边形相似”可以举出反例“矩形”，“四边成比例的两个四边形相似”可以举出反例______．所以四边形相似的条件必须再添加条件，于是，可以从“四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似”，“三边成比例，且两角分别相等的两个四边形相似”，“两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似”来探究．
【深入探究】
（2）学习小组一致认为，“四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似”是真命题，请结合图形完成证明．
已知：四边形和四边形中，，．
求证：四边形四边形．证明：
（3）对于“三边成比例，且两角分别相等的两个四边形相似”，学习小组得到如下的四个命题：
①“三边成比例，两邻角分别相等且只有一角为其中两边的夹角的两个四边形相似”；
②“三边成比例，两邻角分别相等且都不是其中两边的夹角的两个四边形相似”；
③“三边成比例及其两夹角分别相等的两个四边形相似”；
④“三边成比例，两对角分别相等的两个四边形相似”．
其中真命题是______．（填写所有真命题的序号）
（4）请你完成“两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似”的探究过程．
参考答案
1．C
由题意，得
b=．
，
故选C．
2．B
解：已知：如下图，四边形EFGH是矩形，且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
求证：四边形ABCD是对角线垂直的四边形，
证明：由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
根据三角形中位线定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG，
∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，
∴AC⊥BD，
故选：B．
3．B
设参赛队伍有x支，根据题意得：
x（x﹣1）=380．
故选B．
4．C
【详解】甲和乙的作法都正确：
理由是：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC．
∴∠DAC=∠ACN．
∵MN是AC的垂直平分线，
∴AO=CO．
在△AOM和△CON中，
∵∠MAO=∠NCO，AO=CO，∠AOM=∠CON，
∴△AOM≌△CON（ASA），
∴MO=NO．
∴四边形ANCM是平行四边形．
∵AC⊥MN，
∴四边形ANCM是菱形．
如图，
∵AD//BC，
∴∠1=∠2，∠6=∠4．
∵BF平分∠ABC，AE平分∠BAD，
∴∠2=∠3，∠5=∠6．
∴∠1=∠3，∠5=∠4．
∴AB=AF，AB=BE．
∴AF=BE．
∵AF//BE，且AF=BE，
∴四边形ABEF是平行四边形．
∵AB=AF，
∴平行四边形ABEF是菱形．
故选C．
5．C
解：当或的长为8时，，
∴；
当时，方程有两个相等的实数根，
则Δ=0，
即，
∴．
故选C．
6．D
解：A、两个全等三角形的相似比为，原说法正确，不符合题意；
B、相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，原说法正确，不符合题意；
C、有一个角等于100度的两个等腰三角形相似，原说法正确，不符合题意；
D、对角线相等且有一个角是直角的平行四边形是矩形，不一定是正方形，原说法错误，符合题意；
故选：D．
7．C
解：由题意得，，平分，
∵在中，，，
∴
∵平分，
∴，故A正确；
∵平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，故B正确；
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，故C错误；
过点E作于G，于H，

∵平分，，，
∴
∴，故D正确；
故选：C．
8．B
过F作FH⊥AD于H，交ED于O，则FH=AB=2．
∵BF=2FC，BC=AD=3，
∴BF=AH=2，FC=HD=1，
∴AF===，
∵OH∥AE，
∴=，
∴OH=AE=，
∴OF=FH﹣OH=2﹣=，
∵AE∥FO，∴△AME∽△FMO，
∴=，∴AM=AF=，
∵AD∥BF，∴△AND∽△FNB，
∴=，
∴AN=AF=，
∴MN=AN﹣AM=﹣=，故选B．
9．
解：设，
，
原式．
故答案为：．
10．4
解：设袋中红球有x个，根据题意，得：
，
解得：．
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
所以袋中红球有4个．
故答案为∶4．
11．
解：∵四边形是菱形，菱形的周长是，，
∴，，，，
∴在中，，
∴
∴，
∴．
故答案为：．
12．
解：设该网店降价元，
则根据题意可得：，
整理得：，
解得：，
∵尽快减少库存，
∴当降价元时，这星期预期销售盒口罩，
故答案为．
13．
解：连接CD，过点D作DF⊥BC，垂足为点F，
∴∠DFE=∠DFC=90°
∵∠C=90°，D是斜边AB的中点，
∴
∴∠A=∠ACD
又∵∠A=∠CED
∴∠ACD=∠CED
∵∠ACB=∠ACD+∠DCE=90°,
∴∠DCE+∠CED=90°
∴∠CDE=90°
∴△CDF∽△DEF
又∵∠C=∠DFE=90°，
∴DF//AC
∴
∴
∴EF=CE-CF=4
又∵△CDF∽△DEF
∴
∴
∴DF=6,
∴AC=2DF=12,
∵BC=CE+BE=13+5=18
∴AB=．
故填．
14．(1)，；
(2)方程没有实数根，
(3)，
（1）解：
，
∴，
∴，；
（2）解：，
这里，，
，
∴方程没有实数根，
（3）解：，
，
，
∴，
15．(1)
(2)
（1）解：∵指针指向、、、区是等可能情况，指针指向奇数区的概率是：，
故答案为：；
（2）根据题意画出树状图如下：
一共有种情况，两数之和为的倍数的情况有种，
∴（两数之和为的倍数），
答：所得两数之和为的倍数的概率为．
16．(1)A
(2)见解析
（1）解：图中中，，又，，，因此．很明显，选项B，C，D中，三角形没有的内角，故选项不符合题意；选项A中，钝角等于，夹角的两边之比为，故A网格中的三角形与相似，选项A符合题意．
故选：A．
（2）如图，或为求，
17．（1）y=﹣3x2+30x；（2）AB的长为7米；（3）不能.
（1）由题意得：
y=x（30﹣3x），即y=﹣3x2+30x；
（2）当y=63时，﹣3x2+30x=63，
解此方程得x1=7，x2=3．
当x=7时，30﹣3x=9＜10，符合题意；
当x=3时，30﹣3x=21＞10，不符合题意，舍去；
故所围成的花圃的面积为63平方米时，宽AB的长为7米；
（3）不能围成面积为80平方米的花圃．
理由：当y=80时，﹣3x2+30x=80，
整理得3x2﹣30x+80=0，
∵△=（﹣30）2﹣4×3×80=﹣60＜0，
∴这个方程无实数根，
∴不能围成面积为80平方米的花圃．
故答案为不能．
18．(1)证明过程见解析；
(2)，
（1）证明：如图，由折叠可知，垂直并平分，设与交于点，
则：，，，
∵四边形是矩形，
∴
∴
在和中：
∴
∴
∴四边形是平行四边形
又∵，
∴四边形是菱形．
（2）设，则，则
在中，由勾股定理得：
解得：，
∴，
如图，过点作于，
∴四边形是矩形，
∴，
∴
在中，由勾股定理得：
19．(1)4，2.，
(2)，
(3)①，；②，．
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得：，．
∴上述过程中的“ ”，“○”，“☆”，“”表示的数分别为4，2.，.
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
解得：，．
（3）解：①，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
解得：，．
②
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
解得：，．
20．（1）菱形和正方形；（2）见解析；（3）③；（4）见解析．
（1）解：正方形的四边相等，菱形的四边也相等，四边成比例，但不相似，
“四边成比例的两个四边形相似”可以举出反例菱形和正方形，
故答案为：菱形和正方形；
（2）证明：连接、，
∵，，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，，，
∴，，
即，，
综上，四边形四边形．
（3）解：①如图，四边形四边形，以为圆心、为半径作圆交延长线于点，则，，，但四边形不与四边形相似．
②如图，四边形四边形，以为圆心、为半径作圆交过点且和平行的直线相交于点，过作交于点，则，四边形为平行四边形．则，即，，，
但四边形不与四边形相似．
③已知：如图，四边形和四边形中，，，．
求证：四边形四边形．
证明：连接，．
，且，
△，
，，，
，
，
，
，
△，
，，，
，，，，，
四边形与四边形相似；
④如图，四边形四边形，以为圆心，为半径作圆交于点，在左侧作，则，，，，，但四边形不与四边形相似．
故答案为：③，
（4）解：因为四边形内角和为360°，所以四边形只要三个角分别相等，第四个角就也相等，所以只需考虑成比例的两边是邻边还是对边．
若成比例的两边是对边，则有反例“矩形”．若成比例的两边是邻边，则相似，理由如下：
已知：四边形和四边形中，，，，．
求证：四边形四边形．
证明：∵，，，
∴．
连接、，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
综上，四边形四边形．