湘教版（2024）数学 八年级上册 2.4.2 零次幂和负整数指数幂 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2025七下·莲都期末） 计算的结果是（ ）
A．2025 B．1 C．0 D．
2．（2025七下·杭州期末）=( )
A．-2 B．2 C． D．
3．（2025七下·莲都期末） 人体一根头发的直径约为米，将数字用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．下列各数最小的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024七下·扶绥期中）若，，，则下列大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025九下·吉林开学考）2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”．什么是阿秒？1阿秒是秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一．目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒．将43阿秒用科学记数法表示为 秒．
7．（2024七下·岑溪期中）若代数式有意义，则x的取值范围是 ．
8．（2024七下·田阳期中）要使有意义，则的取值范围是 ．
9．（2024九上·越秀期中）已知，则 ．
10．（2025七下·榕城期末） 计算：
二、能力提升
11．（2024八下·射洪月考）下列计算中，正确的是( )
A． B．
C． D．
12．有下列各式：①()-2=16；②a2·a2=2a2；③(-3a2)3=-9a5；④a5+a3=a8；⑤(2-π)0=1；⑥m6÷m2=m4．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
13．（2020七下·巨野月考）若 有意义，那么x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x＜3 C．x≠3且x≠4 D．x≠3或x≠2
14．（2024·馆陶模拟）计算：，结果用科学记数法可以表示为（ ）．
A． B．
C． D．
15．（2025八下·赫山期末）计算： ．
16．（2024七下·拱墅期中）若，则t的值为 ．
17．（2021九上·盐城月考）对于有理数 ，定义 的含义为：当 时， ；当 时， .若 ，则 的值等于 .
18． 已知 ， 则 的值为 .
19．（2023八上·新邵期中）定义一种新运算，例如．则 ．
20．计算．
（1） ．
（2） ．
三、拓展创新
21．（1） 已知 ， 请用 “ ”把它们按从小到大的顺序连接起来，并说明理由．
（2） 请探索使得等式 成立的 的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】零指数幂
【解析】【解答】解：，
故答案为：B.
【分析】根据任何一个不等于0的数的0次幂都等于1解答即可.
2．【答案】D
【知识点】负整数指数幂
【解析】【解答】解：，A、B、C错误。
故答案为： D.
【分析】本题考查负整数指数幂公式，只需准确套公式计算即可。
3．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】
故答案为： D.
【分析】 科学记数法的表示形式为 ，其中1≤|a|<10，n为所有整数位的个数减1.
4．【答案】A
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：、、、.
∵-2＜＜1＜4.
∴最小的是 .
故答案为：A.
【分析】计算每个选项，将结果比较大小即可.
5．【答案】C
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
即，
故选：C．
【分析】本题主要考查了零指数幂和负整数指数幂的运算，根据题意，先计算乘方、零指数幂、负整数指数幂，再进行有理数的大小比较，即可得到答案．
6．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：由题意可知：1阿秒=秒，
∴43阿秒秒，
故答案为：．
【分析】根据“ 1阿秒是秒 ”可知，43阿秒秒，再根据科学记数法的表示方法即可求解．
7．【答案】
【知识点】负整数指数幂
【解析】【解答】解：代数式有意义，
，
，
故答案为：．
【分析】本题主要考查了负整数指数幂的性质，根据指数转正求倒数，即，由代数式有意义，得到，即可求解.
8．【答案】
【知识点】零指数幂
【解析】【解答】解：由有意义，可得：，
∴．
故答案为：．
【分析】本题主要考查零次幂有意义，由有意义，得到，求得x的值，即可得到答案.
9．【答案】1
【知识点】同底数幂的除法；零指数幂；幂的乘方运算；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵，
，
∴2m+3n=5，m-2n=-1，
解得：m=1，n=1，
∴mn=1，
故答案为：1．
【分析】
本题考查同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方，负整指数幂、二元一次方程组的解法，熟知以上运算的计算法则是解题关键.
幂的乘方运算法则：；同底数幂的乘法运算法则：； 同底数幂的除法运算
法则：；根据幂的乘方运算法则可知：，；再根据同底数幂的乘法的计算法则可知：；再结合，等量代换可得：，根据等式的性质可知：2m+3n=5； 再根据幂的乘方运算法则可知：，根据同底数幂的除法计算法则可知：，再结合负整指数幂的计算法则：，等量代换可得：， 再根据等式的性质可知：m-2n=-1； 联立两个二元一次方程得到方程组： ，根据二元一次方程组的解法：加减消元法解得：m=1，n=1， 代入数据即可得出mn的值，由此可得出答案.
10．【答案】解：原式=1+（-8）+2
=1+2-8
=-5；
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】首先根据零指数，负整数指数，绝对值的性质进行化简，然后再进行有理数加法运算即可。
11．【答案】C
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：对于A，，故A错误，不符合题意；
对于B，，故B错误，不符合题意；
对于C，，故C正确，符合题意；
对于D，，故D错误，不符合题意.
故选：C.
【分析】根据0指数幂、负指数幂运算法则判断A、B、C，结合同底数幂运算法则判断D.
12．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；零指数幂；负整数指数幂；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：①，故本小题计算正确，符合题意；
②a2×a2=a4，故本小题计算错误，不符合题意；
③（-3a2）3=（-3）3×（a2）3=-27a6，故本小题计算错误，不符合题意；
④a5与a3不是同类项，不能合并，故本小题计算错误，不符合题意；
⑤ (2-π)0=1 ，故本小题计算正确，符合题意；
⑥m6÷m2=m6-2=m4，故本小题计算正确，符合题意，
综上，计算正确的是①⑤⑥，共3个.
故答案为：C.
【分析】由负整数指数幂的性质(a≠0），可判断①；由同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，可判断②；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变，指数相乘，可判断③；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，据此可判断④；由任何一个不为0的数的0次幂都等于1可判断⑤；由同底数幂的除法，底数不变，指数相减可判断⑥.
13．【答案】C
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】根据题意知： ，
∴ 且
故答案为：C.
【分析】根据零指数幂以及负整数指数幂的意义列式即可求出x的范围.
14．【答案】D
【知识点】还原用科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】
故答案为：D.
【分析】先把变成0.002，通过计算，原式=0.998，再把0.998用科学记数法表示出来即可.
15．【答案】
【知识点】分式的乘除法；负整数指数幂
【解析】【解答】解：原式
，
故答案为：．
【分析】根据“”先分别计算，再根据分式乘法法则分别计算分子、分母，进而根据除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，最后根据分式乘法法则计算即可.
16．【答案】1或2或4
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：∵，
∴当t－3≠±1，且时，，
解得：，
当时，
解得：，
当，且2－2t为偶数时，
解得：，
∴满足条件的t值为1或2或4．
故答案为：1或2或4．
【分析】分非零数零指数幂为1，1的任意次幂都是1，﹣1的偶次幂是1三种情况分别讨论，计算即可得到答案．
17．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；负整数指数幂；偶次方的非负性；定义新运算；配方法的应用
【解析】【解答】解：∵min{13，6m-4n-m2-n2}=13，
∴13≤6m-4n-m2-n2.
整理，得（m-3）2+（n+2）2≤0，
∴m-3=0，n+2=0.
解得m=3，n=-2.
∴mn=3-2= .
故答案为： .
【分析】由新定义可得关于m、n的不等式13≤6m-4n-m2-n2，整理并根据平方的非负性可求得m、n的值，然后由负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可求解.
18．【答案】-27
【知识点】同底数幂的除法；负整数指数幂
【解析】【解答】解：∵，
∴.
∴.
∴a+3b=-2.
∴.
故答案为：-27.
【分析】先观察条件，可发现，结合，运用同底数幂的除法即可求出a+3b的值，这是关键.
19．【答案】
【知识点】负整数指数幂；定义新运算
【解析】【解答】解： ， .
故答案为：.
【分析】根据新运算的计算法则可得： ，再计算负指数幂即可得到结果.
20．【答案】（1）解：．
（2）解：．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】（1）根据负整数指数幂的定义计算，根据任何非零数的零次幂均为1可得，然后计算加法；（2）根据负整数指数幂的定义计算及，根据任何非零数的零次幂均为1可得，然后计算平方、乘法及加减法运算.
21．【答案】（1）解：b＜c＜a，理由如下：
∵，
，
，
而，
∴b＜c＜a.
（2）解：分三种情况讨论：
①当2x+3=1时， ，此时解得x=-1
；
②当2x+3≠0，且x+2020=0时，，此时解得x=-2020；
③当2x+3=-1，且x+2020为偶数时，，此时解得x=-2.
故要使成立，x的值应为-1或-2020或-2.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数的大小比较-直接比较法；幂的乘方的逆运算
【解析】【分析】（1）、观察a，b，c指数都含有-11111的因子，因此考虑将a，b，c分别转化成（ab）-11111的形式，这样可以直接比较；（2）、对于，共要分三种情况讨论：底数为1；底数不等于0，且指数为0；底数等于-1，且指数为偶数.
1 / 1湘教版（2024）数学 八年级上册 2.4.2 零次幂和负整数指数幂 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2025七下·莲都期末） 计算的结果是（ ）
A．2025 B．1 C．0 D．
【答案】B
【知识点】零指数幂
【解析】【解答】解：，
故答案为：B.
【分析】根据任何一个不等于0的数的0次幂都等于1解答即可.
2．（2025七下·杭州期末）=( )
A．-2 B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】负整数指数幂
【解析】【解答】解：，A、B、C错误。
故答案为： D.
【分析】本题考查负整数指数幂公式，只需准确套公式计算即可。
3．（2025七下·莲都期末） 人体一根头发的直径约为米，将数字用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】
故答案为： D.
【分析】 科学记数法的表示形式为 ，其中1≤|a|<10，n为所有整数位的个数减1.
4．下列各数最小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：、、、.
∵-2＜＜1＜4.
∴最小的是 .
故答案为：A.
【分析】计算每个选项，将结果比较大小即可.
5．（2024七下·扶绥期中）若，，，则下列大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
即，
故选：C．
【分析】本题主要考查了零指数幂和负整数指数幂的运算，根据题意，先计算乘方、零指数幂、负整数指数幂，再进行有理数的大小比较，即可得到答案．
6．（2025九下·吉林开学考）2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”．什么是阿秒？1阿秒是秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一．目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒．将43阿秒用科学记数法表示为 秒．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：由题意可知：1阿秒=秒，
∴43阿秒秒，
故答案为：．
【分析】根据“ 1阿秒是秒 ”可知，43阿秒秒，再根据科学记数法的表示方法即可求解．
7．（2024七下·岑溪期中）若代数式有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】负整数指数幂
【解析】【解答】解：代数式有意义，
，
，
故答案为：．
【分析】本题主要考查了负整数指数幂的性质，根据指数转正求倒数，即，由代数式有意义，得到，即可求解.
8．（2024七下·田阳期中）要使有意义，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】零指数幂
【解析】【解答】解：由有意义，可得：，
∴．
故答案为：．
【分析】本题主要考查零次幂有意义，由有意义，得到，求得x的值，即可得到答案.
9．（2024九上·越秀期中）已知，则 ．
【答案】1
【知识点】同底数幂的除法；零指数幂；幂的乘方运算；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵，
，
∴2m+3n=5，m-2n=-1，
解得：m=1，n=1，
∴mn=1，
故答案为：1．
【分析】
本题考查同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方，负整指数幂、二元一次方程组的解法，熟知以上运算的计算法则是解题关键.
幂的乘方运算法则：；同底数幂的乘法运算法则：； 同底数幂的除法运算
法则：；根据幂的乘方运算法则可知：，；再根据同底数幂的乘法的计算法则可知：；再结合，等量代换可得：，根据等式的性质可知：2m+3n=5； 再根据幂的乘方运算法则可知：，根据同底数幂的除法计算法则可知：，再结合负整指数幂的计算法则：，等量代换可得：， 再根据等式的性质可知：m-2n=-1； 联立两个二元一次方程得到方程组： ，根据二元一次方程组的解法：加减消元法解得：m=1，n=1， 代入数据即可得出mn的值，由此可得出答案.
10．（2025七下·榕城期末） 计算：
【答案】解：原式=1+（-8）+2
=1+2-8
=-5；
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】首先根据零指数，负整数指数，绝对值的性质进行化简，然后再进行有理数加法运算即可。
二、能力提升
11．（2024八下·射洪月考）下列计算中，正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：对于A，，故A错误，不符合题意；
对于B，，故B错误，不符合题意；
对于C，，故C正确，符合题意；
对于D，，故D错误，不符合题意.
故选：C.
【分析】根据0指数幂、负指数幂运算法则判断A、B、C，结合同底数幂运算法则判断D.
12．有下列各式：①()-2=16；②a2·a2=2a2；③(-3a2)3=-9a5；④a5+a3=a8；⑤(2-π)0=1；⑥m6÷m2=m4．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；零指数幂；负整数指数幂；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：①，故本小题计算正确，符合题意；
②a2×a2=a4，故本小题计算错误，不符合题意；
③（-3a2）3=（-3）3×（a2）3=-27a6，故本小题计算错误，不符合题意；
④a5与a3不是同类项，不能合并，故本小题计算错误，不符合题意；
⑤ (2-π)0=1 ，故本小题计算正确，符合题意；
⑥m6÷m2=m6-2=m4，故本小题计算正确，符合题意，
综上，计算正确的是①⑤⑥，共3个.
故答案为：C.
【分析】由负整数指数幂的性质(a≠0），可判断①；由同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，可判断②；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变，指数相乘，可判断③；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，据此可判断④；由任何一个不为0的数的0次幂都等于1可判断⑤；由同底数幂的除法，底数不变，指数相减可判断⑥.
13．（2020七下·巨野月考）若 有意义，那么x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x＜3 C．x≠3且x≠4 D．x≠3或x≠2
【答案】C
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】根据题意知： ，
∴ 且
故答案为：C.
【分析】根据零指数幂以及负整数指数幂的意义列式即可求出x的范围.
14．（2024·馆陶模拟）计算：，结果用科学记数法可以表示为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】还原用科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】
故答案为：D.
【分析】先把变成0.002，通过计算，原式=0.998，再把0.998用科学记数法表示出来即可.
15．（2025八下·赫山期末）计算： ．
【答案】
【知识点】分式的乘除法；负整数指数幂
【解析】【解答】解：原式
，
故答案为：．
【分析】根据“”先分别计算，再根据分式乘法法则分别计算分子、分母，进而根据除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，最后根据分式乘法法则计算即可.
16．（2024七下·拱墅期中）若，则t的值为 ．
【答案】1或2或4
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：∵，
∴当t－3≠±1，且时，，
解得：，
当时，
解得：，
当，且2－2t为偶数时，
解得：，
∴满足条件的t值为1或2或4．
故答案为：1或2或4．
【分析】分非零数零指数幂为1，1的任意次幂都是1，﹣1的偶次幂是1三种情况分别讨论，计算即可得到答案．
17．（2021九上·盐城月考）对于有理数 ，定义 的含义为：当 时， ；当 时， .若 ，则 的值等于 .
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；负整数指数幂；偶次方的非负性；定义新运算；配方法的应用
【解析】【解答】解：∵min{13，6m-4n-m2-n2}=13，
∴13≤6m-4n-m2-n2.
整理，得（m-3）2+（n+2）2≤0，
∴m-3=0，n+2=0.
解得m=3，n=-2.
∴mn=3-2= .
故答案为： .
【分析】由新定义可得关于m、n的不等式13≤6m-4n-m2-n2，整理并根据平方的非负性可求得m、n的值，然后由负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可求解.
18． 已知 ， 则 的值为 .
【答案】-27
【知识点】同底数幂的除法；负整数指数幂
【解析】【解答】解：∵，
∴.
∴.
∴a+3b=-2.
∴.
故答案为：-27.
【分析】先观察条件，可发现，结合，运用同底数幂的除法即可求出a+3b的值，这是关键.
19．（2023八上·新邵期中）定义一种新运算，例如．则 ．
【答案】
【知识点】负整数指数幂；定义新运算
【解析】【解答】解： ， .
故答案为：.
【分析】根据新运算的计算法则可得： ，再计算负指数幂即可得到结果.
20．计算．
（1） ．
（2） ．
【答案】（1）解：．
（2）解：．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】（1）根据负整数指数幂的定义计算，根据任何非零数的零次幂均为1可得，然后计算加法；（2）根据负整数指数幂的定义计算及，根据任何非零数的零次幂均为1可得，然后计算平方、乘法及加减法运算.
三、拓展创新
21．（1） 已知 ， 请用 “ ”把它们按从小到大的顺序连接起来，并说明理由．
（2） 请探索使得等式 成立的 的值．
【答案】（1）解：b＜c＜a，理由如下：
∵，
，
，
而，
∴b＜c＜a.
（2）解：分三种情况讨论：
①当2x+3=1时， ，此时解得x=-1
；
②当2x+3≠0，且x+2020=0时，，此时解得x=-2020；
③当2x+3=-1，且x+2020为偶数时，，此时解得x=-2.
故要使成立，x的值应为-1或-2020或-2.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数的大小比较-直接比较法；幂的乘方的逆运算
【解析】【分析】（1）、观察a，b，c指数都含有-11111的因子，因此考虑将a，b，c分别转化成（ab）-11111的形式，这样可以直接比较；（2）、对于，共要分三种情况讨论：底数为1；底数不等于0，且指数为0；底数等于-1，且指数为偶数.
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