湘教版（2024）数学 八年级上册 4.2.2 证明，举反例 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2020八上·淅川期末）用反证法证明：“直角三角形至少有一个锐角不小于45°”时，应先假设（ ）
A．直角三角形的每个锐角都小于45°
B．直角三角形有一个锐角大于45°
C．直角三角形的每个锐角都大于45°
D．直角三角形有一个锐角小于45°
2．（2022八上·邢台期中）对于命题“如果，那么和中必定有一个是钝角”，能说明它是假命题的是 （ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（2024八上·瑞安期中）下面四个k值，能说明命题“对于任意偶数k，都是4的倍数”是假命题的反例是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八上·慈溪期中）若用反证法证明命题“在中，若，则”，则应假设 ．
5．有下列命题：
①若则a=b；
②若则a=b；
③若ab=0，则a=b=0；
④若a=0，则ab=0.
其中假命题有( ).
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
6．证明命题“两个无理数的和一定是无理数”是假命题的反例是 .
7．（2024八上·盐田期末）命题“若，，则”是 命题．（填“真”“假”）
8．
（1）一个三角形最多有几个直角 为什么
（2）一个三角形最多有几个钝角 为什么
（3）直角三角形的外角可以是锐角吗 为什么
二、能力提升
9．（2017八上·义乌期中）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（ ）
A．有一个内角大于60° B．有一个内角小于60°
C．每一个内角都大于60° D．每一个内角都小于60°
10．（2023八上·鄞州期中）能说明“三角形的高线一定在三角形的内部含边界”是假命题的反例是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024七下·汕头期末）已知命题“关于的不等式无解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是（ ）
A． B． C． D．
12．（2024八上·邯郸经济技术开发期末）我们可以用反证法来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”．下面写出了证明该问题过程中的四个步骤：①这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．②所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．③假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．④则三角形的三个内角的和大于．这四个步骤正确的顺序是（ ）
A．①②③④） B．③④②① C．③④①② D．④③②①
13．（2024八上·广州竞赛）4名棋手进行象棋单循环赛，规定胜一局得2分，平一局各得1分，负一局得0分．比赛结果是没有人全胜，并且各人的得分均不相同．则至少有 局为平局.
14．（2024七下·路桥期中） 要说明命题“一个正数的算术平方根一定小于这个数”是假命题，可以按以下举反例说明：当 时， ，得 a，所以这是一个假命题．
15．命题“若是自然数，则代数式+3的值是5的倍数”是真命题还是假命题 如果认为是假命题，请说明理由；如果认为是真命题，给出证明.
三、拓展提升
16．（2023八上·永兴月考）证明命题“三角形的外角和等于”是真命题．
已知：
求证：
证明：
17．如图，点E在平行线AB，CD之间，且在线段AC的左侧.
（1）求证：∠BAE+∠ECD+∠AEC=360°.
（2）若点E向右移动到线段AC的右侧，此时∠BAE，∠AEC，∠ECD之间的关系仍然满足(1)中的结论吗 若满足，给出证明；若不满足，请你写出正确的结论并证明.(要求：画出相应的图形)
（3）继续移动点E的位置，还能得到哪些新论断 写出你的论断.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：有一个锐角不小于45°的反面就是：每个锐角都小于45°，故答案为：A.
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，结论的反面成立，即可得出答案。
2．【答案】C
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：．，
∴此选项不符合题意；
．，不能证明题设为假，
∴此选项不符合题意；
．，且和都不是钝角，能证明题设是假命题，
∴此选项符合题意；
．，不能证明题设为假，
∴此选项不符合题意.
故答案为：．
、【分析】根据角的大小关系并结合题意即可求解．
3．【答案】B
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：A、不是偶数，不符合命题条件，故不是举反例；
B、是偶数，符合命题条件，但2不是4的倍数，不符合命题结论，故是反例；
选项C与D，k的值既符合命题条件，也符合命题结论，故不是反例；
故选：B．
【分析】直接选取不能被4整除的一个偶数再逐项比较即可．
4．【答案】
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：在中，若，则，则应假设.
故答案为：．
【分析】反证法（又称归谬法、背理法），是一种论证方式，首先假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出与定义、已有定理或已知条件明显矛盾的结果，从而可得原假设不成立，原命题得证；根据反证法的意义假设结论的相反意义成立即可．
5．【答案】B
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：①当a=2，b=-2时，有，此时a≠b，故①是假命题；
② 当时，有a=b，故②是真命题；
③当a=0，b=1时，有ab=0，故③是假命题；
④当a=0时，有ab=0，故④是真命题；
故答案为：B.
【分析】根据真假命题的定义，即可举反例验证①③是假命题.
6．【答案】答案不唯一，与
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：∵与的和是0，0是有理数，
∴“两个无理数的和一定是无理数”是假命题
故答案为：答案不唯一，例如与.
【分析】根据命题举出一个反例判断即可.
7．【答案】假
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】例如a=3，b=4，c=3，满足a≠b，b≠c，但是a=c.所以命题是假命题.
故答案为：假.
【分析】判断假命题举出反例即可.
8．【答案】（1）解：一个三角形最多有一个直角，理由：
假设一个三角形有两个直角（每个直角为 90 ），则第三个角的度数为 180 90 90 = 0 ，显然不成立；因此，一个三角形最多有一个直角.
（2）解：一个三角形最多有一个钝角，理由：
假设一个三角形有两个钝角（每个钝角大于 90 ），则两个钝角之和至少为 91 + 91 = 182 ，超过 180 ，与内角和定理矛盾；因此，一个三角形最多有一个钝角.
（3）解：直角三角形的外角不可以是锐角，理由：
假设存在一个锐角的外角，则其相邻内角为 180 锐角结果为钝角，此时三角形存在两个角（原直角和新钝角），与内角和定理矛盾；因此，直角三角形的外角不可能是锐角.
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；反证法；命题的概念与组成
【解析】【分析】 (1) 利用反证法举例子，结合三角形内角和为 180 的定理进行推导，即可解答；
(2) 利用反证法举例子，结合三角形内角和为 180 的定理进行推导，即可解答；
(3) 利用反证，结合三角形内角和为 180 的定理进行推导，即可解答；
9．【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°，即都大于60°．
故答案为：C．
【分析】假设题设不成立，再根据三角形内角和定理得到假设不成立，得到正确结论.
10．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：A、锐角三角形的三条高线都在三角形内部，不能作为假命题的反例，不符合题意；
B、直角三角形两条高线为直角边、一条高线在三角形的内部，不能作为假命题的反例，不符合题意；C、钝角三角形两条高线在三角形的外部、一条高线在三角形的内部，能作为假命题的反例，符合题意；
D、不能作为假命题的反例，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据锐角三角形三条高线在三角形的内部；直角三角形两条高线为直角边、一条高线在三角形的内部；钝角三角形两条高线在三角形的外部、一条高线在三角形的内部，即可求解.
11．【答案】A
【知识点】举反例判断命题真假；已知不等式的解（集）求参数
【解析】【解答】解：不等式组 ，解得，
∵不等式组无解，
∴k+12 ，
解得k1，但题意说命题为假命题，即k<1才符合题意，
∴A符合题意；
故选A.
【分析】分别解不等式得，由不等式组无解可得k+12 ，求出k的范围，由于原命题为假命题，即k<1，据此判断即可.
12．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；反证法
【解析】【解答】解：求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°
证明：假设三角形没有一个内角小于或等于60°，即三个内角都大于60°
则三角形的三个内角的和大于180°
这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾
所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°
故答案为：C
【分析】根据反证法的步骤，三角形内角和定理即可求出答案.
13．【答案】1
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：如果没有平局，则每个人的得分都是偶数，又由于没有人全胜，故各人的得分只能是0、2或4分，从而，必有两个人得分相同，矛盾，
下面的例子说明恰有一局为平局是可能的.如下图所示：
所以至少有一局为平局.
故答案为：1.
【分析】单循环赛共有6局比赛，总得分固定为12分，得分不同、无人全胜，需构造满足条件的得分组合，并找到平后数的最小值.
14．【答案】；；
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：当时，，
∵，
∴，
∴这是一个假命题.
故答案为：、、.
【分析】举例说明一个命题是假命题的反例，需要满足命题的题设，不满足命题的结论，据此解答即可.
15．【答案】解：是真命题.
证明：原式.
是自然数，则代数式是自然数.
代数式的值是5的倍数.
【知识点】因式分解-分组分解法；真命题与假命题；证明的含义与一般步骤
【解析】【分析】根据自然数的性质，可知由自然数构成的多项式也是自然数；根据因式分解的原理，将代数式因式分解得到的多项式是5的倍数.
16．【答案】已知：如图所示，
分别为三个外角，
求证：．
证明：∵，，，
∴
∵，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；证明的含义与一般步骤
【解析】【分析】根据命题证明的解题方法，写出已知、求证，再证明，结合邻补角性质及三角形内角和定理即可求出答案.
17．【答案】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠DCA=180°.
∵∠EAC+∠AEC+∠ECA=180°，
∴∠BAE+∠ECD+∠AEC=∠BAC+∠EAC+∠ECA+∠ACD+∠AEC=(∠BAC+∠ACD)+(∠EAC+∠ECA+∠AEC)=360°.
（2）解：不满足原结论，正确的结论是∠BAE+∠ECD=∠AEC，证明如下：
如图，连接AE，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠DCA=180°.
∵∠EAC+∠AEC+∠ECA=180°，
∴∠BAE+∠ECD=∠BAC－∠EAC+∠DCA－∠ECA=(∠BAC+∠DCA)－(180°－∠AEC)=∠AEC.
即∠BAE+∠ECD=∠AEC.
（3）解：当点E移动到直线AB上方时，如图：
有∠BAE+∠AEC=∠ECD，
当点E移动到直线CD下方时，如图：
有∠BAE=∠AEC+∠ECD.
【知识点】三角形内角和定理；证明的含义与一般步骤；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】（1）由AB∥CD，得∠BAC+∠DCA=180°.而∠EAC+∠AEC+∠ECA=180°，即可得∠BAE+∠ECD+∠AEC=360°.
（2）由AB∥CD，得∠BAC+∠DCA=180°.而∠EAC+∠AEC+∠ECA=180°，即可得∠BAE+∠ECD=∠AEC.
（3）分别移动点E的位置到直线AB上方和直线CB下方，观察结论即可.
1 / 1湘教版（2024）数学 八年级上册 4.2.2 证明，举反例 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2020八上·淅川期末）用反证法证明：“直角三角形至少有一个锐角不小于45°”时，应先假设（ ）
A．直角三角形的每个锐角都小于45°
B．直角三角形有一个锐角大于45°
C．直角三角形的每个锐角都大于45°
D．直角三角形有一个锐角小于45°
【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：有一个锐角不小于45°的反面就是：每个锐角都小于45°，故答案为：A.
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，结论的反面成立，即可得出答案。
2．（2022八上·邢台期中）对于命题“如果，那么和中必定有一个是钝角”，能说明它是假命题的是 （ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：．，
∴此选项不符合题意；
．，不能证明题设为假，
∴此选项不符合题意；
．，且和都不是钝角，能证明题设是假命题，
∴此选项符合题意；
．，不能证明题设为假，
∴此选项不符合题意.
故答案为：．
、【分析】根据角的大小关系并结合题意即可求解．
3．（2024八上·瑞安期中）下面四个k值，能说明命题“对于任意偶数k，都是4的倍数”是假命题的反例是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：A、不是偶数，不符合命题条件，故不是举反例；
B、是偶数，符合命题条件，但2不是4的倍数，不符合命题结论，故是反例；
选项C与D，k的值既符合命题条件，也符合命题结论，故不是反例；
故选：B．
【分析】直接选取不能被4整除的一个偶数再逐项比较即可．
4．（2023八上·慈溪期中）若用反证法证明命题“在中，若，则”，则应假设 ．
【答案】
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：在中，若，则，则应假设.
故答案为：．
【分析】反证法（又称归谬法、背理法），是一种论证方式，首先假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出与定义、已有定理或已知条件明显矛盾的结果，从而可得原假设不成立，原命题得证；根据反证法的意义假设结论的相反意义成立即可．
5．有下列命题：
①若则a=b；
②若则a=b；
③若ab=0，则a=b=0；
④若a=0，则ab=0.
其中假命题有( ).
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【答案】B
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：①当a=2，b=-2时，有，此时a≠b，故①是假命题；
② 当时，有a=b，故②是真命题；
③当a=0，b=1时，有ab=0，故③是假命题；
④当a=0时，有ab=0，故④是真命题；
故答案为：B.
【分析】根据真假命题的定义，即可举反例验证①③是假命题.
6．证明命题“两个无理数的和一定是无理数”是假命题的反例是 .
【答案】答案不唯一，与
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：∵与的和是0，0是有理数，
∴“两个无理数的和一定是无理数”是假命题
故答案为：答案不唯一，例如与.
【分析】根据命题举出一个反例判断即可.
7．（2024八上·盐田期末）命题“若，，则”是 命题．（填“真”“假”）
【答案】假
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】例如a=3，b=4，c=3，满足a≠b，b≠c，但是a=c.所以命题是假命题.
故答案为：假.
【分析】判断假命题举出反例即可.
8．
（1）一个三角形最多有几个直角 为什么
（2）一个三角形最多有几个钝角 为什么
（3）直角三角形的外角可以是锐角吗 为什么
【答案】（1）解：一个三角形最多有一个直角，理由：
假设一个三角形有两个直角（每个直角为 90 ），则第三个角的度数为 180 90 90 = 0 ，显然不成立；因此，一个三角形最多有一个直角.
（2）解：一个三角形最多有一个钝角，理由：
假设一个三角形有两个钝角（每个钝角大于 90 ），则两个钝角之和至少为 91 + 91 = 182 ，超过 180 ，与内角和定理矛盾；因此，一个三角形最多有一个钝角.
（3）解：直角三角形的外角不可以是锐角，理由：
假设存在一个锐角的外角，则其相邻内角为 180 锐角结果为钝角，此时三角形存在两个角（原直角和新钝角），与内角和定理矛盾；因此，直角三角形的外角不可能是锐角.
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；反证法；命题的概念与组成
【解析】【分析】 (1) 利用反证法举例子，结合三角形内角和为 180 的定理进行推导，即可解答；
(2) 利用反证法举例子，结合三角形内角和为 180 的定理进行推导，即可解答；
(3) 利用反证，结合三角形内角和为 180 的定理进行推导，即可解答；
二、能力提升
9．（2017八上·义乌期中）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（ ）
A．有一个内角大于60° B．有一个内角小于60°
C．每一个内角都大于60° D．每一个内角都小于60°
【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°，即都大于60°．
故答案为：C．
【分析】假设题设不成立，再根据三角形内角和定理得到假设不成立，得到正确结论.
10．（2023八上·鄞州期中）能说明“三角形的高线一定在三角形的内部含边界”是假命题的反例是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：A、锐角三角形的三条高线都在三角形内部，不能作为假命题的反例，不符合题意；
B、直角三角形两条高线为直角边、一条高线在三角形的内部，不能作为假命题的反例，不符合题意；C、钝角三角形两条高线在三角形的外部、一条高线在三角形的内部，能作为假命题的反例，符合题意；
D、不能作为假命题的反例，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据锐角三角形三条高线在三角形的内部；直角三角形两条高线为直角边、一条高线在三角形的内部；钝角三角形两条高线在三角形的外部、一条高线在三角形的内部，即可求解.
11．（2024七下·汕头期末）已知命题“关于的不等式无解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】举反例判断命题真假；已知不等式的解（集）求参数
【解析】【解答】解：不等式组 ，解得，
∵不等式组无解，
∴k+12 ，
解得k1，但题意说命题为假命题，即k<1才符合题意，
∴A符合题意；
故选A.
【分析】分别解不等式得，由不等式组无解可得k+12 ，求出k的范围，由于原命题为假命题，即k<1，据此判断即可.
12．（2024八上·邯郸经济技术开发期末）我们可以用反证法来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”．下面写出了证明该问题过程中的四个步骤：①这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．②所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．③假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．④则三角形的三个内角的和大于．这四个步骤正确的顺序是（ ）
A．①②③④） B．③④②① C．③④①② D．④③②①
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；反证法
【解析】【解答】解：求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°
证明：假设三角形没有一个内角小于或等于60°，即三个内角都大于60°
则三角形的三个内角的和大于180°
这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾
所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°
故答案为：C
【分析】根据反证法的步骤，三角形内角和定理即可求出答案.
13．（2024八上·广州竞赛）4名棋手进行象棋单循环赛，规定胜一局得2分，平一局各得1分，负一局得0分．比赛结果是没有人全胜，并且各人的得分均不相同．则至少有 局为平局.
【答案】1
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：如果没有平局，则每个人的得分都是偶数，又由于没有人全胜，故各人的得分只能是0、2或4分，从而，必有两个人得分相同，矛盾，
下面的例子说明恰有一局为平局是可能的.如下图所示：
所以至少有一局为平局.
故答案为：1.
【分析】单循环赛共有6局比赛，总得分固定为12分，得分不同、无人全胜，需构造满足条件的得分组合，并找到平后数的最小值.
14．（2024七下·路桥期中） 要说明命题“一个正数的算术平方根一定小于这个数”是假命题，可以按以下举反例说明：当 时， ，得 a，所以这是一个假命题．
【答案】；；
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：当时，，
∵，
∴，
∴这是一个假命题.
故答案为：、、.
【分析】举例说明一个命题是假命题的反例，需要满足命题的题设，不满足命题的结论，据此解答即可.
15．命题“若是自然数，则代数式+3的值是5的倍数”是真命题还是假命题 如果认为是假命题，请说明理由；如果认为是真命题，给出证明.
【答案】解：是真命题.
证明：原式.
是自然数，则代数式是自然数.
代数式的值是5的倍数.
【知识点】因式分解-分组分解法；真命题与假命题；证明的含义与一般步骤
【解析】【分析】根据自然数的性质，可知由自然数构成的多项式也是自然数；根据因式分解的原理，将代数式因式分解得到的多项式是5的倍数.
三、拓展提升
16．（2023八上·永兴月考）证明命题“三角形的外角和等于”是真命题．
已知：
求证：
证明：
【答案】已知：如图所示，
分别为三个外角，
求证：．
证明：∵，，，
∴
∵，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；证明的含义与一般步骤
【解析】【分析】根据命题证明的解题方法，写出已知、求证，再证明，结合邻补角性质及三角形内角和定理即可求出答案.
17．如图，点E在平行线AB，CD之间，且在线段AC的左侧.
（1）求证：∠BAE+∠ECD+∠AEC=360°.
（2）若点E向右移动到线段AC的右侧，此时∠BAE，∠AEC，∠ECD之间的关系仍然满足(1)中的结论吗 若满足，给出证明；若不满足，请你写出正确的结论并证明.(要求：画出相应的图形)
（3）继续移动点E的位置，还能得到哪些新论断 写出你的论断.
【答案】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠DCA=180°.
∵∠EAC+∠AEC+∠ECA=180°，
∴∠BAE+∠ECD+∠AEC=∠BAC+∠EAC+∠ECA+∠ACD+∠AEC=(∠BAC+∠ACD)+(∠EAC+∠ECA+∠AEC)=360°.
（2）解：不满足原结论，正确的结论是∠BAE+∠ECD=∠AEC，证明如下：
如图，连接AE，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠DCA=180°.
∵∠EAC+∠AEC+∠ECA=180°，
∴∠BAE+∠ECD=∠BAC－∠EAC+∠DCA－∠ECA=(∠BAC+∠DCA)－(180°－∠AEC)=∠AEC.
即∠BAE+∠ECD=∠AEC.
（3）解：当点E移动到直线AB上方时，如图：
有∠BAE+∠AEC=∠ECD，
当点E移动到直线CD下方时，如图：
有∠BAE=∠AEC+∠ECD.
【知识点】三角形内角和定理；证明的含义与一般步骤；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】（1）由AB∥CD，得∠BAC+∠DCA=180°.而∠EAC+∠AEC+∠ECA=180°，即可得∠BAE+∠ECD+∠AEC=360°.
（2）由AB∥CD，得∠BAC+∠DCA=180°.而∠EAC+∠AEC+∠ECA=180°，即可得∠BAE+∠ECD=∠AEC.
（3）分别移动点E的位置到直线AB上方和直线CB下方，观察结论即可.
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