湘教版（2024）数学 八年级上册 4.2.3 定理，推论 同步分层练习
一、夯实基础
1．命题“三角形三个内角的和等于180°”是 （ ）
A．假命题 B．定义 C．定理 D．基本事实
2．（2024八上·萧山期中）定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是（ ）
A．有两个角相等的三角形是等腰三角形
B．有两个底角相等的三角形是等腰三角形
C．有两个角不相等的三角形不是腰三角形
D．不是等腰三角形的两个角不相等
3．（2024八上·金东期末）下列说法正确的是（ ）
A．命题一定是正确的； B．不正确的判断就不是命题；
C．定理一定是真命题； D．基本事实不一定是真命题.
4．（2024七下·大冶月考）“同位角相等，两直线平行”是（ ）
A．公理 B．定理 C．定义 D．待证的命题
5．（2021八上·德惠期末）定理“等角对等边”改为“如果···，那么···”的是 ．
6．有下列命题：①对顶角相等；②两点之间线段最短；③同位角相等，两直线平行；④锐角都相等；⑤两直线平行，内错角相等．其中，基本事实的序号是 ，定理的序号是 .
7．有下列语句：
①两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等．②三角形任意两边的和大于第三边．③用圆和扇形分别表示关于总体和各个组成部分数据的统计图叫做扇形统计图．
其中属于定义的是 ，属于定理的是
8．（浙教版(2024)数学八年级上册教材习题 2.5逆命题和逆定理）说出两对互逆的定理。
二、能力提升
9．（2023八上·遵化期中）下列有逆定理的是（ ）.
A．直角都相等 B．两直线平行，同旁内角互补
C．对顶角相等 D．全等三角形的对应角相等
10．下列说法中不正确的是（ ）
A．真命题的逆命题不一定是真命题
B．假命题的逆命题可能是真命题
C．每个定理都有逆定理
D．把一个命题的条件与结论互换即可得到逆命题
11．如图所示，用两个相同的三角板可以过点P作出直线m的平行线n，能解释其中道理的定理是（ ）
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行 D．对顶角相等，两直线平行
12．下列各命题中，是假命题的是（ ）
A．推论都是定理 B．定理都是命题
C．命题都是基本事实 D．基本事实都是命题
13．有下列说法：
①“三角形的内角和等于”是命题，也是定理.
②“两点之间线段最短”是命题，也是基本事实.
③“相等的角是对顶角”是假命题.
④“两条直线相交成直角，就叫做这两条直线互相垂直”是定义.
其中正确的说法是 （填写序号）.
14．（浙教版(2024)数学八年级上册教材习题 2.5逆命题和逆定理）下列定理中，哪些有逆定理 如果有，写出它的逆定理。
（1）同旁内角互补，两直线平行；
（2）三角形的两边之和大于第三边。
三、拓展提升
15．（浙教版(2024)数学八年级上册教材习题 2.5逆命题和逆定理）下列定理中，哪些有逆定理 如果有，说出它的逆定理。
（1）等腰三角形的两个底角相等；
（2）内错角相等，两直线平行；
（3）等边三角形的三个角都是60°；
（4）对顶角相等。
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：命题“三角形三个内角的和等于180°”是定理.
故答案为：C.
【分析】根据三角形形内角和定理解答即可.
2．【答案】A
【知识点】逆定理
【解析】【解答】解：∵等腰三角形的两个底角相等这个定理的题设为：如果一个三角形是等腰三角形，结论是：那么这个三角形的两个底角相等，
∴该定理的逆定理为：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，即有两个角相等的三角形是等腰三角形 .
故答案为：A.
【分析】将一个命题的题设与结论互换位置即可得出该命题的逆命题，如果一个定理的逆定理是真命题，则该命题就是原定理的逆定理，据此求解即可.
3．【答案】C
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、命题有真命题和假命题，则本项不符合题意；
B、不正确的判断为假命题，则本项不符合题意；
C、定理一定为真命题，则本项符合题意；
D、基本事实为真命题，则本项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据真命题、假命题的定义对A、B和D项进行判断；根据定理的定义对C项进行分析进而即可求解.
4．【答案】A
【知识点】平行公理及推论；定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：“同位角相等，两直线平行”是基本事实，是公理.
故答案为：A.
【分析】公理是大家都认同的道理，是在人类生产、生活中过程中，经过人类长期反复实践及验证的不证自明的基本事实；定理是经过证明肯定对的道理，是通过合理的逻辑推理及证明等方法得到的真命题；定义是对于一种事物的本质特征或一个概念的内涵和外延的确切而简要的说明；它旨在明确一个词语或术语的含义，以便人们能够准确理解和使用这些词语或术语；定义通常是具体、精确且明确的，用于消除歧义和混淆；一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，据此即可判断得出答案.
5．【答案】如果在同一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：因为条件是：在同一个三角形中有两个角相等，结论为：这两个角所对的边也相等．
所以改写后为：如果在同一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．
故答案为：如果在同一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．
【分析】根据命题的定义及要求求解即可。
6．【答案】②③；①⑤
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：①对顶角相等，属于定理；
②两点之间线段最短，属于基本事实；
③同位角相等，两直线平行，属于基本事实﹔
④锐角都相等，是命题；
⑤两直线平行，内错角相等，属于定理.
则基本事实的序号是②③，定理的序号是①⑤.
故答案为：②③；①⑤.
【分析】定理就是经过推理得到的一个正确命题；基本事实就是公认的真命题，数学公理也叫数学基本事实，都是人们在实践经验中得到的结论，没有经过证明得出的，据此逐个判断得出答案.
7．【答案】③；①②
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：①两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等——这是平行线的性质定理；②三角形任意两边的和大于第三边——这是三角形的三边的性质定理；③用圆和扇形分别表示关于总体和各个组成部分数据的统计图叫做扇形统计图——这是定义．
故答案为： ③ ； ①② .
【分析】定义：一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义.
定理：用推理的方法判断为正确的命题叫定理。定理也可以作为判断其他命题真假的依据.
8．【答案】解：①同位角相等，两直线平行. 逆定理：两直线平行，同位角相等.
②等腰三角形两个底角相等. 逆定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.
【知识点】逆定理
【解析】【分析】理解定理与逆定理，交换定理的条件和结论后即可写出该定理的逆命题，逆命题为真命题，即存在逆定理．
9．【答案】B
【知识点】逆定理
【解析】【解答】解：根据题意
A：直角都相等，相等的角不一定都是直角，逆命题是假命题，不符合题意
B：两直线平行，同旁内角互补，逆定理是平行线的判定定理，符合题意
C：对顶角相等，相等的角不一定都是对顶角，逆命题是假命题，不符合题意
D：全等三角形的对应角相等，对应角相等的三角形不一定就是全等三角形，逆命题是假命题，不符合题意。
故答案为：B
【分析】先找到各命题的逆命题，再判定真假，真命题符合题意。
10．【答案】C
【知识点】真命题与假命题；逆命题；逆定理
【解析】【解答】解：A、如“对顶角相等”这个命题是真命题，其逆命题为：相等的角是对顶角，是假命题，故“ 真命题的逆命题不一定是真命题 ”说法正确，不符合题意；
B、如“相等的角是对顶角”这个命题是假命题，其逆命题为：对顶角相等，是真命题，故“ 假命题的逆命题可能是真命题 ”说法正确，不符合题意；
C、定理一定是真命题，每一个命题都有逆命题，但每一个命题的逆命题不一定是真命题，故“ 每个定理都有逆定理 ”说法错误，符合题意；
D、一个命题包括题设与结论两部分，将一个命题的题设与结论互换位置即可得出该命题的逆命题，故“ 把一个命题的条件与结论互换即可得到逆命题 ”说法正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】一般的，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的可以判断真假的陈述句叫做命题；根据已有的知识、经验判断为正确的命题就是真命题，判断为错误的命题就是假命题；一个命题包括题设与结论两部分，将一个命题的题设与结论互换位置即可得出该命题的逆命题；定理是经过逻辑推理限制的证明为真的叙述，一般来说，在数学中，只有重要或有趣的陈述才叫定理，据此逐项判断得出答案.
11．【答案】B
【知识点】平行线的判定；定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：如图.
根据两个三角板相同可知，∠ABD=∠BAC.
∴m∥n.
故答案为：B.
【分析】根据平行线的判定定理“ 内错角相等，两直线平行 ”判断即可.
12．【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、推论都是命题，正确，是真命题；
B、定理都是命题，正确，是真命题；
C、命题不一定是基本事实，故错误，是假命题；
D、基本事实都是真命题，正确，是真命题.
故答案为：C.
【分析】根据命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题；经过推理、论证得到的真命题称为定理.
13．【答案】①②③④
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念；真命题与假命题
【解析】【解答】解：①“三角形的内角和等于180°”是命题，也是定理，正确；
②“两点之间线段最短”是命题，也是基本事实，正确；
③“相等的角是对顶角”是假命题，正确；
④“两条直线相交成直角，就叫做这两条直线互相垂直”是定义，正确.
故答案为：①②③④.
【分析】根据相关的性质、定理及定义进行判断即可.
14．【答案】（1）解：逆命题是：两直线平行，同旁内角互补，是真命题，
故原定理有逆定理：两直线平行，同旁内角互补
（2）解：逆命题为：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形，是真命题，
故原定理有逆定理：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形
【知识点】真命题与假命题；逆定理
【解析】【分析】理解命题与逆命题，定理与逆定理的关系，交换命题的条件和结论后即可写出该命题的逆命题，一个定理的逆命题是真命题，则该定理存在逆定理．
15．【答案】（1）解：等腰三角形的两个底角相等的逆命题是“两个角相等的三角形是等腰三角形“，逆命题是真命题，有逆定理
（2）解：内错角相等，两直线平行的逆命题是“两直线平行，内错角相等”，逆命题是真命题，有逆定理
（3）解： 等边三角形的三个角都是60° 的逆命题是“如果一个三角形的三个角都是 60°，那么这个三角形是等边三角形“，逆命题是真命题，有逆定理
（4）解：对顶角相等的逆命题是“相等的角是对顶角”，逆命题是假命题，没有逆定理
【知识点】真命题与假命题；逆命题；逆定理
【解析】【分析】理解命题与逆命题，定理与逆定理的关系，交换命题的条件和结论后即可写出该命题的逆命题，一个定理的逆命题是真命题，则该定理存在逆定理．
1 / 1湘教版（2024）数学 八年级上册 4.2.3 定理，推论 同步分层练习
一、夯实基础
1．命题“三角形三个内角的和等于180°”是 （ ）
A．假命题 B．定义 C．定理 D．基本事实
【答案】C
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：命题“三角形三个内角的和等于180°”是定理.
故答案为：C.
【分析】根据三角形形内角和定理解答即可.
2．（2024八上·萧山期中）定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是（ ）
A．有两个角相等的三角形是等腰三角形
B．有两个底角相等的三角形是等腰三角形
C．有两个角不相等的三角形不是腰三角形
D．不是等腰三角形的两个角不相等
【答案】A
【知识点】逆定理
【解析】【解答】解：∵等腰三角形的两个底角相等这个定理的题设为：如果一个三角形是等腰三角形，结论是：那么这个三角形的两个底角相等，
∴该定理的逆定理为：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，即有两个角相等的三角形是等腰三角形 .
故答案为：A.
【分析】将一个命题的题设与结论互换位置即可得出该命题的逆命题，如果一个定理的逆定理是真命题，则该命题就是原定理的逆定理，据此求解即可.
3．（2024八上·金东期末）下列说法正确的是（ ）
A．命题一定是正确的； B．不正确的判断就不是命题；
C．定理一定是真命题； D．基本事实不一定是真命题.
【答案】C
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、命题有真命题和假命题，则本项不符合题意；
B、不正确的判断为假命题，则本项不符合题意；
C、定理一定为真命题，则本项符合题意；
D、基本事实为真命题，则本项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据真命题、假命题的定义对A、B和D项进行判断；根据定理的定义对C项进行分析进而即可求解.
4．（2024七下·大冶月考）“同位角相等，两直线平行”是（ ）
A．公理 B．定理 C．定义 D．待证的命题
【答案】A
【知识点】平行公理及推论；定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：“同位角相等，两直线平行”是基本事实，是公理.
故答案为：A.
【分析】公理是大家都认同的道理，是在人类生产、生活中过程中，经过人类长期反复实践及验证的不证自明的基本事实；定理是经过证明肯定对的道理，是通过合理的逻辑推理及证明等方法得到的真命题；定义是对于一种事物的本质特征或一个概念的内涵和外延的确切而简要的说明；它旨在明确一个词语或术语的含义，以便人们能够准确理解和使用这些词语或术语；定义通常是具体、精确且明确的，用于消除歧义和混淆；一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，据此即可判断得出答案.
5．（2021八上·德惠期末）定理“等角对等边”改为“如果···，那么···”的是 ．
【答案】如果在同一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：因为条件是：在同一个三角形中有两个角相等，结论为：这两个角所对的边也相等．
所以改写后为：如果在同一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．
故答案为：如果在同一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．
【分析】根据命题的定义及要求求解即可。
6．有下列命题：①对顶角相等；②两点之间线段最短；③同位角相等，两直线平行；④锐角都相等；⑤两直线平行，内错角相等．其中，基本事实的序号是 ，定理的序号是 .
【答案】②③；①⑤
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：①对顶角相等，属于定理；
②两点之间线段最短，属于基本事实；
③同位角相等，两直线平行，属于基本事实﹔
④锐角都相等，是命题；
⑤两直线平行，内错角相等，属于定理.
则基本事实的序号是②③，定理的序号是①⑤.
故答案为：②③；①⑤.
【分析】定理就是经过推理得到的一个正确命题；基本事实就是公认的真命题，数学公理也叫数学基本事实，都是人们在实践经验中得到的结论，没有经过证明得出的，据此逐个判断得出答案.
7．有下列语句：
①两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等．②三角形任意两边的和大于第三边．③用圆和扇形分别表示关于总体和各个组成部分数据的统计图叫做扇形统计图．
其中属于定义的是 ，属于定理的是
【答案】③；①②
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：①两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等——这是平行线的性质定理；②三角形任意两边的和大于第三边——这是三角形的三边的性质定理；③用圆和扇形分别表示关于总体和各个组成部分数据的统计图叫做扇形统计图——这是定义．
故答案为： ③ ； ①② .
【分析】定义：一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义.
定理：用推理的方法判断为正确的命题叫定理。定理也可以作为判断其他命题真假的依据.
8．（浙教版(2024)数学八年级上册教材习题 2.5逆命题和逆定理）说出两对互逆的定理。
【答案】解：①同位角相等，两直线平行. 逆定理：两直线平行，同位角相等.
②等腰三角形两个底角相等. 逆定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.
【知识点】逆定理
【解析】【分析】理解定理与逆定理，交换定理的条件和结论后即可写出该定理的逆命题，逆命题为真命题，即存在逆定理．
二、能力提升
9．（2023八上·遵化期中）下列有逆定理的是（ ）.
A．直角都相等 B．两直线平行，同旁内角互补
C．对顶角相等 D．全等三角形的对应角相等
【答案】B
【知识点】逆定理
【解析】【解答】解：根据题意
A：直角都相等，相等的角不一定都是直角，逆命题是假命题，不符合题意
B：两直线平行，同旁内角互补，逆定理是平行线的判定定理，符合题意
C：对顶角相等，相等的角不一定都是对顶角，逆命题是假命题，不符合题意
D：全等三角形的对应角相等，对应角相等的三角形不一定就是全等三角形，逆命题是假命题，不符合题意。
故答案为：B
【分析】先找到各命题的逆命题，再判定真假，真命题符合题意。
10．下列说法中不正确的是（ ）
A．真命题的逆命题不一定是真命题
B．假命题的逆命题可能是真命题
C．每个定理都有逆定理
D．把一个命题的条件与结论互换即可得到逆命题
【答案】C
【知识点】真命题与假命题；逆命题；逆定理
【解析】【解答】解：A、如“对顶角相等”这个命题是真命题，其逆命题为：相等的角是对顶角，是假命题，故“ 真命题的逆命题不一定是真命题 ”说法正确，不符合题意；
B、如“相等的角是对顶角”这个命题是假命题，其逆命题为：对顶角相等，是真命题，故“ 假命题的逆命题可能是真命题 ”说法正确，不符合题意；
C、定理一定是真命题，每一个命题都有逆命题，但每一个命题的逆命题不一定是真命题，故“ 每个定理都有逆定理 ”说法错误，符合题意；
D、一个命题包括题设与结论两部分，将一个命题的题设与结论互换位置即可得出该命题的逆命题，故“ 把一个命题的条件与结论互换即可得到逆命题 ”说法正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】一般的，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的可以判断真假的陈述句叫做命题；根据已有的知识、经验判断为正确的命题就是真命题，判断为错误的命题就是假命题；一个命题包括题设与结论两部分，将一个命题的题设与结论互换位置即可得出该命题的逆命题；定理是经过逻辑推理限制的证明为真的叙述，一般来说，在数学中，只有重要或有趣的陈述才叫定理，据此逐项判断得出答案.
11．如图所示，用两个相同的三角板可以过点P作出直线m的平行线n，能解释其中道理的定理是（ ）
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行 D．对顶角相等，两直线平行
【答案】B
【知识点】平行线的判定；定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：如图.
根据两个三角板相同可知，∠ABD=∠BAC.
∴m∥n.
故答案为：B.
【分析】根据平行线的判定定理“ 内错角相等，两直线平行 ”判断即可.
12．下列各命题中，是假命题的是（ ）
A．推论都是定理 B．定理都是命题
C．命题都是基本事实 D．基本事实都是命题
【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、推论都是命题，正确，是真命题；
B、定理都是命题，正确，是真命题；
C、命题不一定是基本事实，故错误，是假命题；
D、基本事实都是真命题，正确，是真命题.
故答案为：C.
【分析】根据命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题；经过推理、论证得到的真命题称为定理.
13．有下列说法：
①“三角形的内角和等于”是命题，也是定理.
②“两点之间线段最短”是命题，也是基本事实.
③“相等的角是对顶角”是假命题.
④“两条直线相交成直角，就叫做这两条直线互相垂直”是定义.
其中正确的说法是 （填写序号）.
【答案】①②③④
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念；真命题与假命题
【解析】【解答】解：①“三角形的内角和等于180°”是命题，也是定理，正确；
②“两点之间线段最短”是命题，也是基本事实，正确；
③“相等的角是对顶角”是假命题，正确；
④“两条直线相交成直角，就叫做这两条直线互相垂直”是定义，正确.
故答案为：①②③④.
【分析】根据相关的性质、定理及定义进行判断即可.
14．（浙教版(2024)数学八年级上册教材习题 2.5逆命题和逆定理）下列定理中，哪些有逆定理 如果有，写出它的逆定理。
（1）同旁内角互补，两直线平行；
（2）三角形的两边之和大于第三边。
【答案】（1）解：逆命题是：两直线平行，同旁内角互补，是真命题，
故原定理有逆定理：两直线平行，同旁内角互补
（2）解：逆命题为：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形，是真命题，
故原定理有逆定理：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形
【知识点】真命题与假命题；逆定理
【解析】【分析】理解命题与逆命题，定理与逆定理的关系，交换命题的条件和结论后即可写出该命题的逆命题，一个定理的逆命题是真命题，则该定理存在逆定理．
三、拓展提升
15．（浙教版(2024)数学八年级上册教材习题 2.5逆命题和逆定理）下列定理中，哪些有逆定理 如果有，说出它的逆定理。
（1）等腰三角形的两个底角相等；
（2）内错角相等，两直线平行；
（3）等边三角形的三个角都是60°；
（4）对顶角相等。
【答案】（1）解：等腰三角形的两个底角相等的逆命题是“两个角相等的三角形是等腰三角形“，逆命题是真命题，有逆定理
（2）解：内错角相等，两直线平行的逆命题是“两直线平行，内错角相等”，逆命题是真命题，有逆定理
（3）解： 等边三角形的三个角都是60° 的逆命题是“如果一个三角形的三个角都是 60°，那么这个三角形是等边三角形“，逆命题是真命题，有逆定理
（4）解：对顶角相等的逆命题是“相等的角是对顶角”，逆命题是假命题，没有逆定理
【知识点】真命题与假命题；逆命题；逆定理
【解析】【分析】理解命题与逆命题，定理与逆定理的关系，交换命题的条件和结论后即可写出该命题的逆命题，一个定理的逆命题是真命题，则该定理存在逆定理．
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