湘教版（2024）数学 八年级上册 4.3.2 全等三角形的判定定理（边角边) 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2023七上·河口期末）如图，与交于点O，若，要用“SAS”证明，还需要的条件是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024八上·拱墅月考）下列命题是真命题的是（ ）
A．三角形的外角大于它的任何一个内角
B．两边及一角对应相等的两个三角形全等
C．满足的、、三条线段一定能组成三角形
D．对顶角相等
3．（2024八上·斗门期中）如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点（即跷跷板的中点）至地面的距离是，当小敏从水平位置下降时，小明离地面的高度是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，将沿AC对折，点与点重合，则全等的三角形有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
5．（2023八上·鲤城月考）如图，已知，欲用“边角边”证明≌，需补充条件（ ）
A． B． C． D．
6．（2023八上·谢家集期中）请规范书写的具体内容： ．
7．（2024八上·浙江期中）如图是边长均为的小正方形网格，，，，均在格点上，则 ．
8．（2024八上·廊坊期中）两条直角边分别相等的两个直角三角形 全等．（填“一定”“不一定”或“一定不”）
9．（2022七下·浑南期末）如图，有一座小山，现要在小山A，B的两端开一条隧道，施工队要知道A，B两端的距离，于是先在平地上取一个可以直接到达点A和点B的点C，连接并延长到D，使，连接并延长到E，使，连接．经测量，，的长度分别为，，，则A，B之间的距离为 m；
10．（2023八上·长春期中）如图所示的5个三角形中：△ABC≌ ，△DEF≌ ．
11．（2025八上·余姚期末）如图，点B，C，E，F在同一直线上，点A，D在的异侧，，，．求证：．
12．（2024八上·赤坎开学考）如图，小明自己试着制作风筝，制作了风筝的部分之后发现，可以设计成一道数学题，题目如下：点D、E在的边上，，，．求证：．
二、能力提升
13．（2025八上·西湖期末）如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均为格点，顺次连接，，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
14．（2024八上·北京市期中）如图，在中，分别延长边上的中线到．使，则下列说法：①；②；③；④四边形的面积是面积的3倍．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
15．（2024八上·拱墅月考）如图，中，，，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
16．（2024七下·金堂期末）如图，在中，，，，，P、D分别是AC、AB上的动点，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
17．（2023八上·桐乡市月考）如图，点P是平分线上的一点，，，，则的长不可能是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
18．（2025七下·揭阳月考）如图所示，，，，，，则
19．（2024七下·金堂期末）某数学兴趣小组的同学打算测量一个小口圆形容器内径时遇到了困难，小组同学们借用学习过的三角形全等的知识合作制作了特制工具测量器．如图所示，将等长的钢条和的中点焊接在一起，制作了一把“形卡钳”．根据“形卡钳”的制作原理能判断，从而测量出的长就等于内径的长．请写出的理由： ．
20．（2024七下·济南期中）如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，则 ．
21．（2024八上·花都期末）如图，为的中线，延长至D，使，连接，已知，，则与的周长差是 ．
22．（2024八上·江岸期末）中，，边上的中线，则的取值范围是 ．
23．（2025七下·成都期中）如图，已知、、、在同一条直线上，，，，与交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
三、拓展提升
24．（2024八上·柯桥月考）下面是多媒体上的一道习题：
如图是的中线，，求的取值范围．
请将下面的解题过程补充完整．
解：延长至点E，使，连接． ∵是的中线， ∴ ， 在和中， ， ∴（ ）， ∴， 在中，根据“三角形三边关系”可知：_____________________， 又∵， ∴______________________．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：A、OB=OC，∠AOB=∠DOC，OA=OD，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出，故A正确；
B、AB=DC，OA=OD，∠AOB=∠DOC，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故B错误；
C、∠A=∠D，OA=OD，∠AOB=∠DOC，符合全等三角形的判定定理ASA，不符合全等三角形的判定定理SAS，故C错误；
D、∠B=∠C，∠AOB=∠DOC，OA=OD，符合全等三角形的判定定理AAS，不符合全等三角形的判定定理SAS，故C错误；
故答案为：A.
【分析】SAS指的是“边角边”关系判定三角形全等，已知OA=OD和∠AOB=∠DOC，只需要找到组成该角的另一条相等就可以解答.
2．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-SAS；对顶角及其性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、∵三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角，而和它相邻的角大小关系不确定，故A不符合题意；
B、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS），故B不符合题意；
C、三条线段能组成三角形的关键条件是：任意两边之和大于第三边，例如，但是1，2，3中，不能构成三角形，故C不符合题意；
D、对顶角相等，故D符合题意.
故答案为：D．
【分析】利用三角形的外角性质可对A作出判断；利用SAS证全等可对B作出判断，利用三条线段能组成三角形的关键条件可对C进行判断；利用对顶角相等可对D进行判断．
3．【答案】D
【知识点】全等三角形的实际应用；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图：
∵是和的中点，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
又，
∴，
∴小明离地面的高度支点到地面的高度，故D正确．
故选：D．
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质.根据中点的定义可得：，， 再结合∠FOC=∠GOD ，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得：，利用线段的运算可得： 小明离地面的高度支点到地面的高度，代入数据进行计算可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；翻折全等-公共边模型
【解析】【解答】解：∵沿AC对折，点与点重合
∴△ABC≌△AEC
∴AB=AE，BC=EC，∠BAC=∠EAC，∠BCA=∠ECA，∠ABC=∠AEC
∵AB=AE，∠BAC=∠EAC，AD=AD
∴△ABD≌△AED
∵BC=EC，∠BCA=∠ECA，CD=CD
∴△BDC≌△EDC
∴一共有3对全等三角形
故答案为：C.
【分析】根据三角形全等的判定和性质解题即可.
5．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：添加的条件是AD=CB，
理由是：∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
在△ABC和△CDA中，
，
∴△ABC≌△CDA（SAS），
故答案为：C.
【分析】根据两直线平行，内错角相等；两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等即可证明.
6．【答案】两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
故答案为：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等．
【分析】根据全等三角形判定定理即可求出答案.
7．【答案】
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：观察得：，构造Rt△ABE和Rt△DCF，如图所示：
由网格可知，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】在网格中利用勾股定理得AB=CD，构造Rt△ABE和Rt△DCF，由网格可知，，，可得，然后根据全等三角形的性质即可求解.
8．【答案】一定
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵两个直角三角形的两条直角边相等，而且所夹的角为直角，
∴根据可知这两个直角三角形全等．
故答案为：一定．
【分析】利用三角形全等的判定方法：SAS（两边及其夹角分别相等的两个三角形全等）判断即可.
9．【答案】800
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在△ABC和△EDC中，
∴△ABC≌△EDC（SAS），
∴AB=DE=800．
故答案为：800．
【分析】利用“SAS”证明△ABC≌△EDC，再利用全等三角形的性质可得AB=DE=800。
10．【答案】△NHM；△QOP
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在△ABC和△NHM中，
∵AC=MN，∠C=∠M，BC=HM，
∴△ABC≌△NHM（SAS），
在△DEF和△QOP中，
∵EF=OP，∠F=∠P，DF=PQ，
∴△DEF≌△QOP（SAS），
故答案为：△NHM，△QOP。
【分析】根据全等三角形的判定SAS即可求解。注意一定要明确对应关系。
11．【答案】证明：∵，∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】根据题意得到，然后利用"SAS"证明，则，最后根据内错角相等，则两直线平行，据此即可求证.
12．【答案】证明：，
且，，
，
在与中，
，
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据，易得，再根据 和 ，易证，最后再根据全等三角形的性质，即可求证。
13．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如图，取格点，连接，
根据题意：，
∴，
∴，
∵，
若，则，
∵，
∴，
∴（与题干矛盾），故A选项错误；
∵，
∴，故B选项正确；
∵，故C选项错误；
∵，
∴，
∴，故D选项错误；
故答案选：B．
【分析】取格点，连接，利用网格线的性质利用证明，再利用三角形全等的性质逐一判断即可．
14．【答案】B
【知识点】平行线的判定；三角形的角平分线、中线和高；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：②是的中线，
，
在和中，
，
，
，，
∴，②正确；
①.同理，
，，
，，①正确；
④.，，
、、三点在同一条直线上，
，
设两条平行线与之间的距离为，
，
∴，
，
，④正确；
③.无法判断，③错误；
综上分析可知：正确的有①②④，故B正确．
故选：B．
【分析】本题考查三角形中线的定义，全等三角形的判定和性质，平行线的判定.根据中点的性质可得：，再结合，，利用全等三角形的判定定理“”可证明，利用全等三角形的性质可得：，，根据内错角相等，两直线平行可推出：，据此可判断说法②；同理利用全等三角形的判定定理可证明：，，利用全等三角形的性质可得：，，，利用等量代换可得：，根据内错角相等，两直线平行可推出：，据此可判断说法①；根据，，可证明、、三点在同一条直线上，据此可得，设两条平行线与之间的距离为，则，利用三角形的面积计算公式和四边形的面积计算公式可证明，据此可判断说法④正，无法判断，据此可判断说法③．
15．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在△BDE和△CFD中，
，
∴，
∴∠BED=∠CDF，
∵∠A+∠B+∠C=180°， ∠B=∠C，
∴∠A+2∠B=180°，∵∠BDE+∠EDF+∠CDF=180°，∠BDE=180°-∠B-∠BED，∠EDF=a，
∴180°-∠B-∠BED+a+∠CDF=180°，
∴∠B=a，
即2a+∠A=180°．
故答案为：A ．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理的运用，根据两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等可得，根据全等三角形的对应角相等得出∠BED=∠CDF，根据三角形内角和是180°得出∠A+2∠B=180°，∠BDE=180°-∠B-∠BED，结合平角的定义即可求得∠B=a，即可求解.
16．【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形三边关系；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：延长到E使CE=BC，连接，过点E作ED'⊥AB与点D'，如图所示，
∵，
∴，
又∵，
∴（SAS），
∴，
∴，
即当三点共线且时，的值最小，最小值为ED'，
∵，
∴，
故答案为：D．
【分析】延长到E使CE=BC，连接，过点E作ED'⊥AB与点D'，证明得到，于是有，则当三点共线且时，的值最小，最小值为ED'长，再利用等面积法求出E'D的长，即可得到答案．
17．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，在AC上截取AE，使AE=AB，连接PE，
∵AB=3，
∴AE=AB=3，
，
，
∵点是平分线上的一点，
，
在和中，
，
，
，
∵PB=2，
∴PE=PB=2，
在中，根据三角形的三边关系得：，
∴
故答案为：A.
【分析】在AC上截取AE，使AE=AB，连接PE，从而求出CE=4，然后根据角平分线的定义得∠EAP=∠BAP，接下来根据全等三角形的判定定理“SAS”证明，从而根据全等三角形对应边相等得到，再根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，得关于PC的范围，即可求解.
18．【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】
先由通过角度的和差运算得到，即可利用SAS证明，得到，再由三角形外角的性质计算即可解答．
19．【答案】
【知识点】全等三角形的实际应用；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵，O是AD和BC的中点，
∴，
在和中，
，
，
故选：．
【分析】根据题意得，于是可利用SAS证明两个三角形全等，即可得判定方法．
20．【答案】225°
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图所示：
，
在和中，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，在和中，利用“变角边”，证得，得到，结合，即可求解.
21．【答案】8
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形的中线
【解析】【解答】解：∵为的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
的周长为：，
的周长为：，
∴与的周长差是∶
故答案为：8．
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质；通过中线性质得到，再利用对顶角相等这一条件，根据 SAS 判定定理证明，最后根据依据周长相减得出结果.
22．【答案】
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形三边关系；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：延长AD到点E，使得ED=AD，连接BE，如图，
∵
∴
∵AD为的中线，
∴
在和中
∴
∴
∵
∴，
故答案为：.
【分析】延长AD到点E，使得ED=AD，连接BE，根据题意和三角形中线的性质得到：然后利用"SAS"证明得到最后根据三角形三边关系定理即可求解.
23．【答案】（1）证明：∵，
∴，
即，
∵，
∴，
在和中，
∴；
（2）解：由（1）知，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）先得到，再根据平行线得到，然后利用即可得到三角形的全等；
（2）根据全等三角形的对应角相等得到，根据三角形内角和定理求出∠A的度数，然后根据两直线平行，同位角相等解答即可．
（1）证明：∵，
∴，
即，
∵，
∴，
在和中，
∴；
（2）解：由（1）知，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
24．【答案】；；1；7；0.5；3.5
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型
【解析】【解答】解：延长至点E，使，连接．
∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，根据“三角形三边关系”可知：，
又∵，
∴．
故答案为：，，1，7，0.5，3.5.
【分析】延长到E，使，连接，利用中线的性质可得，再利用SAS判定定理证，可得，再在△ABD中利用三角形三边关系即可求AE得范围，即可求出AD的范围．
1 / 1湘教版（2024）数学 八年级上册 4.3.2 全等三角形的判定定理（边角边) 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2023七上·河口期末）如图，与交于点O，若，要用“SAS”证明，还需要的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：A、OB=OC，∠AOB=∠DOC，OA=OD，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出，故A正确；
B、AB=DC，OA=OD，∠AOB=∠DOC，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故B错误；
C、∠A=∠D，OA=OD，∠AOB=∠DOC，符合全等三角形的判定定理ASA，不符合全等三角形的判定定理SAS，故C错误；
D、∠B=∠C，∠AOB=∠DOC，OA=OD，符合全等三角形的判定定理AAS，不符合全等三角形的判定定理SAS，故C错误；
故答案为：A.
【分析】SAS指的是“边角边”关系判定三角形全等，已知OA=OD和∠AOB=∠DOC，只需要找到组成该角的另一条相等就可以解答.
2．（2024八上·拱墅月考）下列命题是真命题的是（ ）
A．三角形的外角大于它的任何一个内角
B．两边及一角对应相等的两个三角形全等
C．满足的、、三条线段一定能组成三角形
D．对顶角相等
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-SAS；对顶角及其性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、∵三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角，而和它相邻的角大小关系不确定，故A不符合题意；
B、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS），故B不符合题意；
C、三条线段能组成三角形的关键条件是：任意两边之和大于第三边，例如，但是1，2，3中，不能构成三角形，故C不符合题意；
D、对顶角相等，故D符合题意.
故答案为：D．
【分析】利用三角形的外角性质可对A作出判断；利用SAS证全等可对B作出判断，利用三条线段能组成三角形的关键条件可对C进行判断；利用对顶角相等可对D进行判断．
3．（2024八上·斗门期中）如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点（即跷跷板的中点）至地面的距离是，当小敏从水平位置下降时，小明离地面的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】全等三角形的实际应用；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图：
∵是和的中点，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
又，
∴，
∴小明离地面的高度支点到地面的高度，故D正确．
故选：D．
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质.根据中点的定义可得：，， 再结合∠FOC=∠GOD ，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得：，利用线段的运算可得： 小明离地面的高度支点到地面的高度，代入数据进行计算可求出答案.
4．如图，将沿AC对折，点与点重合，则全等的三角形有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；翻折全等-公共边模型
【解析】【解答】解：∵沿AC对折，点与点重合
∴△ABC≌△AEC
∴AB=AE，BC=EC，∠BAC=∠EAC，∠BCA=∠ECA，∠ABC=∠AEC
∵AB=AE，∠BAC=∠EAC，AD=AD
∴△ABD≌△AED
∵BC=EC，∠BCA=∠ECA，CD=CD
∴△BDC≌△EDC
∴一共有3对全等三角形
故答案为：C.
【分析】根据三角形全等的判定和性质解题即可.
5．（2023八上·鲤城月考）如图，已知，欲用“边角边”证明≌，需补充条件（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：添加的条件是AD=CB，
理由是：∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
在△ABC和△CDA中，
，
∴△ABC≌△CDA（SAS），
故答案为：C.
【分析】根据两直线平行，内错角相等；两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等即可证明.
6．（2023八上·谢家集期中）请规范书写的具体内容： ．
【答案】两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
故答案为：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等．
【分析】根据全等三角形判定定理即可求出答案.
7．（2024八上·浙江期中）如图是边长均为的小正方形网格，，，，均在格点上，则 ．
【答案】
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：观察得：，构造Rt△ABE和Rt△DCF，如图所示：
由网格可知，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】在网格中利用勾股定理得AB=CD，构造Rt△ABE和Rt△DCF，由网格可知，，，可得，然后根据全等三角形的性质即可求解.
8．（2024八上·廊坊期中）两条直角边分别相等的两个直角三角形 全等．（填“一定”“不一定”或“一定不”）
【答案】一定
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵两个直角三角形的两条直角边相等，而且所夹的角为直角，
∴根据可知这两个直角三角形全等．
故答案为：一定．
【分析】利用三角形全等的判定方法：SAS（两边及其夹角分别相等的两个三角形全等）判断即可.
9．（2022七下·浑南期末）如图，有一座小山，现要在小山A，B的两端开一条隧道，施工队要知道A，B两端的距离，于是先在平地上取一个可以直接到达点A和点B的点C，连接并延长到D，使，连接并延长到E，使，连接．经测量，，的长度分别为，，，则A，B之间的距离为 m；
【答案】800
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在△ABC和△EDC中，
∴△ABC≌△EDC（SAS），
∴AB=DE=800．
故答案为：800．
【分析】利用“SAS”证明△ABC≌△EDC，再利用全等三角形的性质可得AB=DE=800。
10．（2023八上·长春期中）如图所示的5个三角形中：△ABC≌ ，△DEF≌ ．
【答案】△NHM；△QOP
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在△ABC和△NHM中，
∵AC=MN，∠C=∠M，BC=HM，
∴△ABC≌△NHM（SAS），
在△DEF和△QOP中，
∵EF=OP，∠F=∠P，DF=PQ，
∴△DEF≌△QOP（SAS），
故答案为：△NHM，△QOP。
【分析】根据全等三角形的判定SAS即可求解。注意一定要明确对应关系。
11．（2025八上·余姚期末）如图，点B，C，E，F在同一直线上，点A，D在的异侧，，，．求证：．
【答案】证明：∵，∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】根据题意得到，然后利用"SAS"证明，则，最后根据内错角相等，则两直线平行，据此即可求证.
12．（2024八上·赤坎开学考）如图，小明自己试着制作风筝，制作了风筝的部分之后发现，可以设计成一道数学题，题目如下：点D、E在的边上，，，．求证：．
【答案】证明：，
且，，
，
在与中，
，
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据，易得，再根据 和 ，易证，最后再根据全等三角形的性质，即可求证。
二、能力提升
13．（2025八上·西湖期末）如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均为格点，顺次连接，，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如图，取格点，连接，
根据题意：，
∴，
∴，
∵，
若，则，
∵，
∴，
∴（与题干矛盾），故A选项错误；
∵，
∴，故B选项正确；
∵，故C选项错误；
∵，
∴，
∴，故D选项错误；
故答案选：B．
【分析】取格点，连接，利用网格线的性质利用证明，再利用三角形全等的性质逐一判断即可．
14．（2024八上·北京市期中）如图，在中，分别延长边上的中线到．使，则下列说法：①；②；③；④四边形的面积是面积的3倍．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【知识点】平行线的判定；三角形的角平分线、中线和高；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：②是的中线，
，
在和中，
，
，
，，
∴，②正确；
①.同理，
，，
，，①正确；
④.，，
、、三点在同一条直线上，
，
设两条平行线与之间的距离为，
，
∴，
，
，④正确；
③.无法判断，③错误；
综上分析可知：正确的有①②④，故B正确．
故选：B．
【分析】本题考查三角形中线的定义，全等三角形的判定和性质，平行线的判定.根据中点的性质可得：，再结合，，利用全等三角形的判定定理“”可证明，利用全等三角形的性质可得：，，根据内错角相等，两直线平行可推出：，据此可判断说法②；同理利用全等三角形的判定定理可证明：，，利用全等三角形的性质可得：，，，利用等量代换可得：，根据内错角相等，两直线平行可推出：，据此可判断说法①；根据，，可证明、、三点在同一条直线上，据此可得，设两条平行线与之间的距离为，则，利用三角形的面积计算公式和四边形的面积计算公式可证明，据此可判断说法④正，无法判断，据此可判断说法③．
15．（2024八上·拱墅月考）如图，中，，，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在△BDE和△CFD中，
，
∴，
∴∠BED=∠CDF，
∵∠A+∠B+∠C=180°， ∠B=∠C，
∴∠A+2∠B=180°，∵∠BDE+∠EDF+∠CDF=180°，∠BDE=180°-∠B-∠BED，∠EDF=a，
∴180°-∠B-∠BED+a+∠CDF=180°，
∴∠B=a，
即2a+∠A=180°．
故答案为：A ．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理的运用，根据两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等可得，根据全等三角形的对应角相等得出∠BED=∠CDF，根据三角形内角和是180°得出∠A+2∠B=180°，∠BDE=180°-∠B-∠BED，结合平角的定义即可求得∠B=a，即可求解.
16．（2024七下·金堂期末）如图，在中，，，，，P、D分别是AC、AB上的动点，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形三边关系；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：延长到E使CE=BC，连接，过点E作ED'⊥AB与点D'，如图所示，
∵，
∴，
又∵，
∴（SAS），
∴，
∴，
即当三点共线且时，的值最小，最小值为ED'，
∵，
∴，
故答案为：D．
【分析】延长到E使CE=BC，连接，过点E作ED'⊥AB与点D'，证明得到，于是有，则当三点共线且时，的值最小，最小值为ED'长，再利用等面积法求出E'D的长，即可得到答案．
17．（2023八上·桐乡市月考）如图，点P是平分线上的一点，，，，则的长不可能是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，在AC上截取AE，使AE=AB，连接PE，
∵AB=3，
∴AE=AB=3，
，
，
∵点是平分线上的一点，
，
在和中，
，
，
，
∵PB=2，
∴PE=PB=2，
在中，根据三角形的三边关系得：，
∴
故答案为：A.
【分析】在AC上截取AE，使AE=AB，连接PE，从而求出CE=4，然后根据角平分线的定义得∠EAP=∠BAP，接下来根据全等三角形的判定定理“SAS”证明，从而根据全等三角形对应边相等得到，再根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，得关于PC的范围，即可求解.
18．（2025七下·揭阳月考）如图所示，，，，，，则
【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】
先由通过角度的和差运算得到，即可利用SAS证明，得到，再由三角形外角的性质计算即可解答．
19．（2024七下·金堂期末）某数学兴趣小组的同学打算测量一个小口圆形容器内径时遇到了困难，小组同学们借用学习过的三角形全等的知识合作制作了特制工具测量器．如图所示，将等长的钢条和的中点焊接在一起，制作了一把“形卡钳”．根据“形卡钳”的制作原理能判断，从而测量出的长就等于内径的长．请写出的理由： ．
【答案】
【知识点】全等三角形的实际应用；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵，O是AD和BC的中点，
∴，
在和中，
，
，
故选：．
【分析】根据题意得，于是可利用SAS证明两个三角形全等，即可得判定方法．
20．（2024七下·济南期中）如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，则 ．
【答案】225°
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图所示：
，
在和中，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，在和中，利用“变角边”，证得，得到，结合，即可求解.
21．（2024八上·花都期末）如图，为的中线，延长至D，使，连接，已知，，则与的周长差是 ．
【答案】8
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形的中线
【解析】【解答】解：∵为的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
的周长为：，
的周长为：，
∴与的周长差是∶
故答案为：8．
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质；通过中线性质得到，再利用对顶角相等这一条件，根据 SAS 判定定理证明，最后根据依据周长相减得出结果.
22．（2024八上·江岸期末）中，，边上的中线，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形三边关系；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：延长AD到点E，使得ED=AD，连接BE，如图，
∵
∴
∵AD为的中线，
∴
在和中
∴
∴
∵
∴，
故答案为：.
【分析】延长AD到点E，使得ED=AD，连接BE，根据题意和三角形中线的性质得到：然后利用"SAS"证明得到最后根据三角形三边关系定理即可求解.
23．（2025七下·成都期中）如图，已知、、、在同一条直线上，，，，与交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
即，
∵，
∴，
在和中，
∴；
（2）解：由（1）知，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）先得到，再根据平行线得到，然后利用即可得到三角形的全等；
（2）根据全等三角形的对应角相等得到，根据三角形内角和定理求出∠A的度数，然后根据两直线平行，同位角相等解答即可．
（1）证明：∵，
∴，
即，
∵，
∴，
在和中，
∴；
（2）解：由（1）知，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
三、拓展提升
24．（2024八上·柯桥月考）下面是多媒体上的一道习题：
如图是的中线，，求的取值范围．
请将下面的解题过程补充完整．
解：延长至点E，使，连接． ∵是的中线， ∴ ， 在和中， ， ∴（ ）， ∴， 在中，根据“三角形三边关系”可知：_____________________， 又∵， ∴______________________．
【答案】；；1；7；0.5；3.5
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型
【解析】【解答】解：延长至点E，使，连接．
∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，根据“三角形三边关系”可知：，
又∵，
∴．
故答案为：，，1，7，0.5，3.5.
【分析】延长到E，使，连接，利用中线的性质可得，再利用SAS判定定理证，可得，再在△ABD中利用三角形三边关系即可求AE得范围，即可求出AD的范围．
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