第二十二章二次函数（典型例题与跟踪训练）-数学九年级上册人教版

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第二十二章二次函数（典型例题与跟踪训练）-数学九年级上册人教版
一、单选题
1．抛物线与轴交点的纵坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各点，在二次函数的图象上的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知二次函数的图象经过点，点的横坐标为，当时，总有，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．抛物线与y轴交于点，过点作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形，点，为图形上两点，若，则的取值范围是（ ）
A．或 B． C． D．
5．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，其中．将此抛物线向上平移，与轴交于，两点，其中，下面结论正确的是（ ）
A．当时，，
B．当时，，
C．当时，，
D．当时，，
6．要得到抛物线，可以将抛物线（ ）
A．向左平移个单位，再向上平移个单位
B．向左平移个单位，再向下平移个单位
C．向右平移个单位，再向上平移个单位
D．向右平移个单位，再向下平移个单位
7．已知y关于x的二次函数，下列结论中正确的序号是（ ）
①当时，函数图象的顶点坐标为；
②当时，函数图象总过定点；
③当时，函数图象在x 轴上截得的线段的长度大于；
④当时，函数在时，y随x的增大而减小．
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
8．如图，若二次函数图象的对称轴为，与y轴交于点C，与x轴交于点A，点，则①二次函数的最大值为；②；③当时，．其中正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
二、填空题
9．已知二次函数，当时，函数值y的取值范围是 ．
10．若抛物线（m是常数）的图象经过第一、二、三象限，则m的取值范围是 ．
11．写出一个经过原点且开口向下的抛物线的解析式 ．
12．抛物线 与x轴的交点坐标为 ，与y轴交点的坐标为 ．
13．如图，线段，C是线段上的动点，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，在的上方作，使，，F为的中点，连接，当最小时，的面积为 ．
14．如图为一座拱桥的部分示意图，中间桥洞的边界线是抛物线形，涝季的最高水位线在处，此时桥洞中水面宽度仅为4米，桥洞顶部点O到水面的距离仅为1米；旱季最低水位线在处，此时桥洞中水面宽度达12米，那么最低水位与最高水位之间的距离为 米．
15．二次函数的图象是一条抛物线，自变量x与函数y的部分对应值如表：
x … 0 1 2 3 …
y … 0 0 …
有如下结论：
①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴是直线；③抛物线与y轴的交点坐标为；④由抛物线可知的解集是．其中正确的是 ．
16．如图，坐标平面上有一透明片，透明片上有一抛物线及一点，的坐标．若将此透明片向右、向上移动后，得抛物线的顶点坐标为，则此时的坐标为 ．
三、解答题
17．已知二次函数．
(1)将写成的形式，并写出它的顶点坐标；
(2)当时，直接写出函数值的取值范围；
18．在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过不重合的三点，其对称轴为直线．
(1)若，则a______0（填“>”或“<”）；
(2)若，求此时二次函数的解析式；
(3)当时，对于某个n，若存在，使得成立，结合图象，直接写出n的取值范围．
19．如图，已知抛物线与轴交于点两点，过点作轴的平行线交抛物线于两点．
(1)求的长；
(2)结合图像，直接写出当时，的取值范围是 ．
20．2023年12月18日，第二十五届哈尔滨冰雪大世界正式开园，吸引大量游客前去游玩，带火了东北美食“万物皆可冰糖”．冰糖皮皮虾的进价比冰糖青椒的进价每根贵9元，容融用576元购进的冰糖皮皮虾和144元购进的冰糖青椒根数相同．
(1)求冰糖皮皮虾和冰糖青椒每根的进价；
(2)容融在销售中发现冰糖皮皮虾每根售价15元时，每天可售出40根，每根售价提高1元时，每天少售出3根．当售价为多少时，容融获得的利润最大，利润最大为多少？（冰糖皮皮虾售价为整数）
21．如图，已知抛物线与轴交于点，（在的左侧），与轴交于点，顶点为．
(1)求出抛物线的表达式；
(2)若的角平分线与在第一象限的抛物线交于点，求点的横坐标；
(3)若点是抛物线对称轴上的一点，是否存在点．使得以点，，为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
22．如图，已知抛物线的顶点为，与y轴的交点为，点M为该抛物线上一动点．
(1)求该抛物线的表达式．
(2)将此抛物线绕点顺时针旋转得图形G，其中点A的对应点为点，点M的对应点为点．
①求点的坐标，并求出点的横坐标m与纵坐标n之间的数量关系．
②请直接写出时，m的取值范围．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D D D A D A B
1．A
【分析】本题考查了二次函数图象上点坐标特征以及抛物线与坐标轴交点的点的特征．
把代入抛物线解析式即可求出与y轴交点的纵坐标．
【详解】解：当时，，
即与y轴交点的纵坐标为，
故选：A．
2．D
【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图像上的点满足函数解析式成为解题的关键．
直接把各选项的坐标代入二次函数看是否满足即可解答．
【详解】解：A．时；，不符合题意；
B．时；，不符合题意；
C．时；，不符合题意；
D．时；，符合题意．
故选：D．
3．D
【分析】本题考查二次函数的图象及性质．
将二次函数的解析式配方成顶点式，可得出抛物线的开口向上，顶点坐标为，对称轴是直线，当时，y取得最小值，由已知“当时，总有”根据抛物线的对称性和增减性分类讨论∶若时，若时，分别求出m的值，即可求出答案．
【详解】解：∵，
，
∴抛物线的开口向上，顶点坐标为，对称轴是直线，
∴当时，取得最小值，
∵当时，总有，
∴，
若，则当时，，
即有，
解得：；
若，则当时，，
即有
解得：，不合题意，
∴这种情况不存在，
综上所述，当时，总有，则．
故选：D
4．D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、轴对称变换，通过计算可得，是关于抛物线对称轴对称的点，再分三种情况：若，即和在轴右侧（包括在轴上）；当时，即和在轴左侧（包括在轴上）；当，即在轴左侧，在轴右侧时；分别求解即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：在中，令，得，
令，，
∴，是关于抛物线对称轴对称的点，
若，即和在轴右侧（包括在轴上），则点经过翻折得，点经过翻折得，如图：
由对称性可得：，此时不满足；
当时，即和在轴左侧（包括在轴上），则点即为，点即为，
∴，此时不满足；
当，即在轴左侧，在轴右侧时，如图：
此时，翻折后得，满足，
由得：，
故选：D．
5．A
【分析】本题主要考查二次函数的性质和平移的性质，根据对称轴和抛物线与x轴交点的坐标位置，结合图象向上平移的特点，分和讨论即可．
【详解】解：当时，如图所示：
抛物线的对称轴为直线，
，且；
当时，如图所示：
抛物线的对称轴为直线，
，且．
故选：．
6．D
【分析】根据“上加下减，左加右减”的法则求得新的抛物线解析式．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．
【详解】解：将抛物线的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到新的抛物线解析式为：．
故选：D．
7．A
【分析】①把代入，再化为顶点式即可；②求得与轴的交点，进而求得的值，即可判断；③由，可知当时，的值与无关，然后求出，的对应值即可；依据题意，由抛物线与轴交点为，，结合对称轴是直线，又，故，抛物线开口向下，进而可得当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，从而可以判断④．本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查二次函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
【详解】解：①当时，，
顶点坐标为，
故①正确；
②当时，，
当时，的值与无关，
此时，，
当，；当时，，
函数图象总经过两个定点，，
故②正确；
③当时，由得： ，
，
，，
，
函数图象截轴所得的线段长度大于，
故③正确；
由题意，抛物线与轴交点为，，
对称轴是直线．
，
，抛物线开口向下．
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小．
当，时，随的增大而减小，这个说法不正确，故④错误．
故选：A
8．B
【分析】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数最值等知识．直接利用二次函数图象的开口方向以及图象与x轴的交点，进而分别分析得出答案．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为，
∴当时，，即为最高点，故①正确；
∵
∴，故②不正确；
∵抛物线的对称轴为，过，
∴抛物线与x轴的另一个交点为，
由图象可知，当时，，故③正确；
故选：B．
9．
【分析】把二次函数的一般式转化成顶点式即可求得顶点坐标，结合，把分别代入，分别得出对应的值，再进行比较，即可作答．本题考查了二次函数的图象性质以及函数值的取值范围
【详解】解：
∴顶点坐标
∵
∴把分别代入
得，
∴当时，函数值y的取值范围是
故答案为：
10．
【分析】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，二次函数的性质，根据题意得到关于的不等式组是解题的关键．
由可知抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点为，根据题意得到，然后求出不等式组的解集即可．
【详解】解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点为，
抛物线是常数）的图象只经过第一、二、三象限，
，
解得，
故答案为：
11．（答案不唯一）
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，设，顶点为原点，然后根据顶点式可写出此抛物线解析式．
【详解】解：开口向下且经过原点的抛物线解析式可为．
故答案为：（答案不唯一）．
12．
【分析】主要考查了二次函数图象与（x轴）y轴的交点坐标特点：（x轴）y轴上的点的（纵坐标）横坐标为0．求此类问题可令函数的，求出（x值）y值即是与y轴的交点（横坐标）纵坐标．令，可求抛物线与x轴的交点坐标；令，可求抛物线与y轴的交点坐标．
【详解】解：当时，，解得或，
即与x轴的交点坐标为；
当时，，
即与y轴交点的坐标为．
故答案为：①，②
13．
【分析】本题考查了旋转背景下的二次函数最值问题，连接，证明为直角三角形，根据勾股定理列出 设则建立关于的二次函数关系式，求出时，最小，再求出顶角是的三角形的面积即可.
【详解】解：连接, 则
，
，
，
，
是直角三角形，
设则，
由勾股定理得：，
当 时，有最小值．
，
∴，
过点B作于点H，则，
，
故答案为：
14．8
【分析】本题主要考查二次函数的应用，结合图形弄清实际意义是解题的关键．以顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系，先求出函数关系式，再求出点D的坐标，最后求解即可．
【详解】解：如图，以顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系，
设抛物线的函数关系式为，
由题意可得，
代入函数关系式得：，
解得，
∴抛物线的解析式为，
可设，
代入抛物线的解析式，得：，
∴，
∴，
∴，
∴最低水位与最高水位之间的距离为8米．
故答案为：8
15．①②④
【分析】本题考查了二次函数的性质：熟练掌握二次函数 的性质是解决问题的关键.也考查了待定系数法求抛物线解析式.
利用交点式求出抛物线的解析式为则根据二次函数的性质可对①②进行判断；利用 时， 可对③进行判断；利用抛物线与轴的交点坐标为，则写出抛物线在轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断.
【详解】∵抛物线经过点，
∴设抛物线的解析式为
把代入得 解得
∴抛物线解析式为即
，
∴抛物线开口向上，所以①正确；
抛物线的对称轴是直线 所以②正确；
抛物线与轴的交点坐标为所以③错误；
∵抛物线与轴交于点， 且抛物线开口向上，
∴当时， ，
的解集是所以④正确.
故答案为： ①②④.
16．
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，二次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握点的坐标平移规律为“左减右加，上加下减”是解题的关键．
根据抛物线平移前后的顶点坐标即可判断出其平移方式，从而可得出平移后的点坐标．
【详解】解：抛物线平移前的顶点坐标为，平移后的顶点坐标为，
抛物线是向右平移了个单位，向上平移了个单位，
平移后的点坐标为，即，
故答案为：．
17．(1)，
(2)
【分析】（1）利用完全平方差公式转化为顶点式，由顶点式写出顶点坐标；
（2）利用二次函数的增减性求出的取值范围；
本题考查了二次函数的顶点式、二次函数的性质，解题的关键是会由二次函数的顶点式得知二次函数的性质．
【详解】（1）解： ，
则得顶点坐标为：；
（2）解：
∴对称轴为直线，开口向上，
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，
又，
当时，，
当时，，
当时，函数的取值范围为．
18．(1)<
(2)
(3)或
【分析】该题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数的解析式求解等知识点，解题的关键是数形结合．
（1）根据题意得出抛物线过点，根据增减性即可解答；
（2）根据题意得出二次函数图象的顶点为点，且过点，即可求解；
（3）根据题意得出抛物线解析式为，将代入，解得，根据，即可求得，根据存在，使得成立，即可求出的范围，结合图象即可求解；
【详解】（1）解：∵，
抛物线过点，
则随着x的增大，y的值先增大后减小，
故．
（2）解：当时，依题意，点，
二次函数图象的对称轴为．
∵图象还过点，
∴二次函数图象的顶点即为点．
设二次函数的解析式为，
将点代入，得，解得：．
∴二次函数的解析式为．
（3）解：∵抛物线对称轴为直线，且抛物线过点，
关于对称轴对称点为．
设抛物线解析式为，
将代入，得，即，
，
，
∵，
，
∵存在，使得成立，
∴，即．
∵越小，抛物线开口越大，则有最大值，
∴当时，
∴，
同理，
如图，当确定时，由图象知，（对称轴右侧）随增大而减小，
如图，当m确定时，由图象知，n（对称轴右侧）随t增大而减小．
综上所述，或．
19．(1)3
(2)或
【分析】本题主要考查了二次函数图像上点的特征、二次函数与不等式等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题．
（1）根据题意可知，对于抛物线，令，并解得的值，即可确定点的坐标，然后计算的长；
（2）结合函数图像以及点的坐标，即可获得答案．
【详解】（1）解：∵轴，且经过点，
∴，
对于抛物线，令，
可得，解得，，
∴，，
∴；
（2）由（1）可知，，，
∴结合图像可知，当时，的取值范围是或．
故答案为：或．
20．(1)冰糖皮皮虾和冰糖青椒每根的进价分别为元和元
(2)当售价为20元时，获得的利润最大，最大为200元
【分析】本题考查分式方程的实际应用，二次函数的实际应用：
（1）设冰糖青椒每根的进价为元，根据冰糖皮皮虾的进价比冰糖青椒的进价每根贵9元，容融用576元购进的冰糖皮皮虾和144元购进的冰糖青椒根数相同，列出分式方程进行求解即可；
（2）设售价为元，利润为，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，求最值即可．
【详解】（1）解：设冰糖青椒每根的进价为元，由题意，得：
，
解得：；
经检验是原方程的解，
∴，
答：冰糖皮皮虾和冰糖青椒每根的进价分别为元和元；
（2）设售价为元，利润为，由题意，得：
，
∴当时，取得最大值，
∵为整数，
∴当时，，
当时，，
∵，
∴当售价为20元时，获得的利润最大，最大为200元．
21．(1)抛物线的表达式为
(2)点的横坐标为
(3)点坐标为或或或
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，勾股定理，等腰三角形的定义，分类讨论是解本题的关键．
（1）直接利用待定系数法求解解析式即可；
（2）作的角平分线交轴于点，交抛物线于点，过点作于点，得到，先求出点的坐标，推出，进而得到，设，则，由勾股定理可得，结合，可求出，进而得到，然后利用待定系数法求出直线的解析式为，最后联立直线的解析式和抛物线的解析式即可求解；
（3）求解抛物线的对称轴为直线，设，求解，可得，，，再分类讨论即可．
【详解】（1）解：将，代入抛物线可得：
，
解得：，
抛物线的表达式为；
（2）如图，作的角平分线交轴于点，交抛物线于点，过点作于点，
，
令，则，
解得：，，
，
，
，
，
又，
，
设，则，
，
又，
，
解得：，
，
设直线的解析式为，将，代入可得：
，
解得：，
直线的解析式为，
联立：，
解得：，
点在第一象限，
，
即点的横坐标为；
（3）解：抛物线的表达式为，
抛物线的对称轴为直线，
设，
，，，
如图，
当时，
，
解得：，
或；
当时，
即，
解得：，
或，
综上：点坐标为或或或．
22．(1)
(2)①，；②
【分析】本题主要考查了待定系数法、旋转变换、三角形全等的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形解决问题成为解题的关键．
（1）设抛物线的表达式为，把代入可得，然后写出解析式即可；
（2）①如图：过C作轴，过A作于P，过作于Q，证明可得，即；过C作轴，过M作于G，过作于H，同理可得，可得，设，则，消掉p即可解答；②由，即可得当时，m取最小值1，当时，m取最大值，从而m的取值范围即可．
【详解】（1）解：设抛物线的表达式为，
把代入得：，解得，
∴该抛物线的表达式为．
（2）解：①如图：过C作轴，过A作于P，过作于Q，
∵是由A顺时针旋转得到，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
如图：过C作轴，过M作于G，过作于H，
同理可得，
∴，
设，
∵，
∴消掉p得：，整理得：．
②由①可得：，
∵，
∴当时，m取最小值1，
当时，m取最大值，
∴m的取值范围是．
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