第二十一章一元二次方程（典型例题与跟踪训练）-数学九年级上册人教版（含解析）

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第二十一章一元二次方程（典型例题与跟踪训练）-数学九年级上册人教版
一、单选题
1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，要使的值为2，则的值为（ ）
A．2或 B．或3
C．6或 D．或1
3．方程的一个根是（ ）
A． B．
C． D．
4．用公式法解方程，其中求得的值是（ ）
A． B． C． D．
5．下面有关一元二次方程的表述正确的是（ ）
A．若，则
B．若关于x的一元二次方程的一个根为2，则另一个根为
C．一元二次方程的两实数根之和为1
D．一元二次方程只有一个实数根
6．若关于x的方程的两根的平方和为14，则a的值为（ ）
A．3 B． C．3或 D．无法确定
7．某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件9元，则平均每次降价的百分率为（　　）
A． B． C． D．
8．某校园有一块正方形的空地，按如图所示划分区域种花，已知中间互相垂直的两条小路的宽分别，，且四个种花区域的面积相同，均为，设原正方形空地的边长为，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．一元二次方程的二次项是 ．
10．已知、、均为实数且，则方程的根为
11．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为 ．
12．已知，分别是方程的两个实数根，则 ．
13．将二次三项式进行配方，其结果是 ．
14．有一块面积为1000平方米的长方形草地，它的长比宽多30米，那么这块草地的宽为 米
15．如图，将边长为的正方形沿两边剪去宽相同的矩形，剩下的部分是一个边长为的正方形，已知剪去部分的面积为，则＝ ．
16．某企业为节约用水，自建污水净化站，月份净化污水吨，月份增加到吨，设这两个月净化污水量的平均每月增长的百分率为，根据题意可列方程为 ．
三、解答题
17．解下列方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
18．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个不相等的实数根；
(2)若是该方程的一个解，求方程的另一个根．
19．关于的一元二次方程．
(1)若方程有一个根为，求的值；
(2)若方程有两个相等的实数根，求的值．
20．商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．
(1)问商场经营该商品原来一天可获利润多少元？
(2)若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品售价应为多少元？
21．如图，在矩形中， ． 点 P 从点A 出发，沿方向向点D 匀速运动，速度是 ；同时，点Q从点B出发，沿方向向点A 匀速运动，速度是 连接，设运动时间为
(1)是否存在某一时刻t，使得 若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
(2)设 的面积为 求S与t之间的函数表达式．
(3)是否存在某一时刻t，使得 是等腰三角形？ 若存在，直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．
22．阅读与思考：小悦同学解一元二次方程的方法如下所示，请完成相应的任务．
利用均值换元法解一类一元二次方程
解方程：
第一步： 原方程可变形为：；
第二步：令
第三步： 第一步的方程可变形为；
第四步： ……；
根据t的值可以求出
方法总结：求第一步方程等号左边两个多项式的平均值，从而换元得到较为简单的一元二次方程，因此，这种方法称为均值换元法． 我们在解决形如 (其中a， b， c， d是常数， 且)的方程时可以利用均值换元法求解．
(1)利用均值换元法解方程体现的数学思想是 ；
A． 分类讨论思想 B． 数形结合思想 C． 整体代换思想 D． 类比思想
(2)完成材料中第三步以后求t值的过程；
(3)根据材料内容，利用均值换元法解方程：
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C D D B B B C
1．D
【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义“含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程”是解题的关键．根据一元二次方程的定义判定即可．
【详解】解：根据一元二次方程的定义可知：，
故一定是一元二次方程的是，
故选D．
2．C
【分析】本题考查公式法解一元二次方程，根据题意，列方程，化为一般式，计算判别式得到方程有两个不相等的实数根，代入求根公式即可得到答案，熟练掌握公式法解一元二次方程是解决问题的关键．
【详解】解：已知，要使的值为2，
，则
，
，即，
故选：C．
3．D
【分析】本题考查了解一元二次方程一公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法，利用求根公式解方程，然后对各选项进行判断．
【详解】解：∵
∴，
则，
所以，，
故选：D．
4．D
【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，将方程整理成一般形式，得到，即可求解
【详解】解：整理方程得：，
∴
∴
故选：D
5．B
【分析】此题考查解一元二次方程和判别式以及根与系数的关系，
解一元二次方程即可判断A，D选项；根据根与系数的关系可判断B选项；根据判别式可判断C选项．
【详解】A：若，则，故A错误；
B：∵关于x的一元二次方程的一个根为2，
∵两根之和为，
∴另一个根为，故B正确；
C：∵一元二次方程，
∴判别式，
∴方程无解，故C错误；
D：∵，
∴，
∴，
∴，
∴方程有两个相等的实数根，故D错误．
故选：B．
6．B
【分析】根据方程的两根的平方和为14，可以得到两根之和、两个之积和两根的平方和为14且，然后即可列出关于的方程，从而可以求得的值．本题考查根与系数的关系，解答本题的关键是明确根与系数的关系，求出的值，注意
【详解】解：设方程的两根为，，
的两根的平方和为14，
，，， ，
，或，
，
解得（舍去），，
故选：B．
7．B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，准确理解题意是解题的关键，根据题意列出方程，求解即可．
【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，由题意得
解得，
所以，平均每次降价的百分率为，
故选：B．
8．C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
设原正方形空地的边长为，则剩余的空地长为，宽为，根据长方形的面积公式可列出方程．
【详解】解：设原正方形空地的边长为，
依题意有，
即；
故选：C．
9．
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程一般形式的有关概念即可求解，解题的关键是理解一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【详解】一元二次方程的二次项是，
故答案为：．
10．，
【分析】此题主要考查根据参数的求解来求一元二次方程的根，熟练掌握，即可解题；
本题可根据“非负数相加和为时，则必满足其中的每一项都等于”解出、、的值，再把它们代入方程中，运用公式法解出的值．
【详解】解：依题意得：且且
，，，
代入方程可得：，
，
故答案为：，
11．且
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可．
【详解】解：原方程变形得：，
根据题意得且，
解得且．
即实数k的取值范围是且．
故答案为：且．
12．
【分析】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
根据根与系数的关系得到，，然后将通分代入求解即可．
【详解】解：∵，分别是方程的两个实数根，
∴，，
∴．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了配方法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据配方法整理即可得解．
【详解】解：．
故答案为：．
14．20
【分析】本题考查一元二次方程的应用．设这块草地的宽为米，长为米，根据面积为1000平方米可列方程求解．
【详解】解：设这块草地的宽为米，
解得或（舍去）．
那么这块草地的宽为20米．
故答案为：20．
15．2
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正方形的面积公式，正确的识别图形是解题的关键．根据正方形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：根据题意得，，
解得：（负值舍去），
故答案为：2．
16．
【分析】本题考查求了一元二次方程的应用，准确找到等量关系是解题的关键．等量关系为：9月份净化污水吨数月份净化污水吨数（平均每月增长的百分率），据此列出方程，即可求解．
【详解】解：月份净化污水3000吨，平均每月增长的百分率为，
月份净化污水，
月份净化污水，
可列方程为：，
故答案为：．
17．(1)
(2)，
(3)或
(4)，
【分析】本题考查解一元二次方程，灵活选用解一元二次方程的方法是解答本题的关键
（1）利用直接开平方法解方程即可；
（2）利用直接开平方法解方程即可；
（3）利用因式分解法解方程即可；
（4）利用公式法解方程即可．
【详解】（1）解：，
两边除以3得，，
直接开平方得，；
（2）解：，
开平方得，，
∴，，
∴，；
（3）解：，
因式分解得，，
∴或，
∴或；
（4）解：，
∵，
∴，
∴，．
18．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，方程的解，解一元二次方程．
（1）根据根的判别式证明即可得证结论；
（2）根据方程解的定义可求出n的值，把n的值代入方程，解该一元二次方程即可解答．
【详解】（1）证明：∵在一元二次方程中，，，，
∴，
∴方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：∵是该方程的一个解，
∴，
解得，
∴该方程为，
解得，，
∴方程的另一个根为．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程解的概念以及根的判别式，熟练掌握一元二次方程解的概念以及根的判别式是解答本题的关键．
（1）将代入方程即可解出的值；
（2）根据方程有两个相等的实数根得到，解出的值即可．
【详解】（1）解：将代入方程，得，
解得：；
（2）解；方程有两个相等的实数根，
，
解得：．
20．(1)一天可获利润2000元
(2)商店经营该商品一天要获利润2160元时，每件商品应售价应为98元或92元
【分析】本题主要考查了有理数混合运算的实际应用，一元二次方程的应用．
（1）不降价时，利润等于不降价时商品的单件利润乘以商品的件数．
（2）可根据：降价后的单件利润乘以降价后销售的商品的件数等于2160，来列出方程，求出未知数的值，进而求出商品的售价．
【详解】（1）解：若商店经营该商品不降价，则一天可获利润（元）．
（2）解：设后来该商品每件降价x元，依题意，得
，
即．
解得，．
当时，售价为（元），
当时，售价为（元）．
故商店经营该商品一天要获利润2160元时，每件商品应售价应为98元或92元．
21．(1)存在，
(2)
(3)存在，或
【分析】（1）在中，由勾股定理，得，在中，由勾股定理，得，在中，由勾股定理，得，再根据当时，，由勾股定理得，即，求解即可；
（2）根据，代入化简即可；
（3）分三种情况：当时，当时，当时，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵矩形，
∴，，，
由题意，得，，
则，，
在中，由勾股定理，得，
在中，由勾股定理，得，
在中，由勾股定理，得，
当时，，
∴
∴
解得：，（不符合题意，舍去），
∴存在，当时，使得．
（2）解：
（3）解：当时，则，
∴
解得：，（不符合题意，舍去）
∴；
当时，则，
∴
解得：（不符合题意，舍去）；
当时，则，
∴
解得：，（不符合题意，舍去），
∴；
综上，存在，当或时，使得 是等腰三角形．
【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的定义，三角形的面积，矩形的面积，求函数关系式，解一元二次方程，熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键．
22．(1)C
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程：
（1）根据题意可得体现的数学思想是整体代换思想；
（2）根据平方差公式去括号得到，解得，则或，据此可得答案；
（3）先整理原方程得到，再令，则原方程为，仿照（2）解方程即可．
【详解】（1）解：由题意得，利用均值换元法解方程体现的数学思想是整体代换思想，
故选：C；
（2）解：∵，
∴，
∴，
解得，
∴或，
解得；
（3）解：
整理得：，
令，则原方程为，
∴，
∴，
∴或，
解得．
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