平面向量及其应用6大考点汇总与跟踪训练-高考数学一轮复习

中小学教育资源及组卷应用平台
平面向量及其应用6大考点汇总与跟踪训练-高考数学一轮复习
一、单选题
1．下列结论中，正确的是（ ）
A．零向量的大小为0，没有方向
B．
C．起点相同的单位向量，终点必相同
D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
2．如图，在圆中，向量，，是（ ）

A．有相同起点的向量 B．相反向量
C．模相等的向量 D．相等向量
3．如图，在正方形中，与的夹角为（ ）

A．30° B．90° C．120° D．180°
4．下列叙述中正确的是（ ）
A．已知向量，，且，则与的方向相同或相反
B．若，则
C．若，，则
D．对任一非零向量，是一个单位向量
二、填空题
5．已知向量满足，则的夹角为 ．
6．已知平面向量，满足且向量，的夹角为 则 在方向上的投影数量为 .
7．设向量、满足，，且、的夹角为，若向量与向量的夹角为钝角，则实数的取值范围是 .
8．对任意两个非零的平面向量和，定义：，，若平面向量，满足，且和都在集合中，则 ， ．
三、解答题
9．已知向量，.
(1)若，求的值；
(2)若，求实数k的值；
10．在四面体中，，，E是的中点，F是上靠近A的三等分点，
(1)设，，，试用向量、、表示向量；
(2)证明：．
11．已知向量，．
(1)若，，求的值；
(2)设函数，求图像的对称中心坐标，并写出的图像经过怎样的平移变换，可以得到一个奇函数的图像（写出一种变换方式即可）．
12．已知向量，，其中，.
(1)求，；
(2)求与的夹角的余弦值.
13．记的内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)设为的中点，求的长度.
14．在内，角所对的边分别为，且.
(1)求角的值；
(2)若的面积为，求的周长.
15．已知中，三个内角的对应边分别为，且．
(1)若，求c；
(2)设点M是边AB的中点，若，求的面积．
16．已知分别为三个内角的对边，且，．
(1)求及的面积S；
(2)若为边上一点，且，求的正弦值．
17．的内角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求角；
(2)若，的面积为
①求
②求.
18．在中，．
(1)求；
(2)当的面积为，，求的值．
19．在中，角、、的对边分别是、、，且满足，，且的面积.
(1)求的值和边的值；
(2)求的值.
20．已知在中，内角，，所对的边分别为，，，．
(1)若，求出的值；
(2)若，且的面积，求的值．
21．蜚英塔俗称宝塔，地处江西省南昌市，建于明朝天启元年（1621年），为中国传统的楼阁式建筑.蜚英塔坐北朝南，砖石结构，平面呈六边形，是江西省省级重点保护文物，已被列为革命传统教育基地.如图，某学生为测量蜚英塔的高度，选取了与蜚英塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得米，，求蜚英塔的高度.
22．2021年5月，第十届中国花卉博览会将在美丽的崇明岛举办，主办方要对布展区域精心规划.如图，凸四边形ABCD是一个花卉布展区域的平面示意图，为了展示不同品种的花卉，将BD连接，经测量已知
(1)若 ，求此花卉布展区域总面积；
(2)求证： 为一个定值；
(3)在锐角中，内角A，B，C对的边分别为a，b，c.若 ，求的取值范围
23．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题. 该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小. 意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于 时，使得 的点即为费马点；当 有一个内角大于或等于 时，最大内角的顶点为费马点. 试用以上知识解决下面问题：
(1)若是边长为4的等边三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和；
(2)的内角所对的边分别为 ，且，点 为的费马点.
（ⅰ）若 ，求 ;
（ⅱ）若 ，求的最小值.
24．定义在封闭的平面区域D内任意两点的距离的最大值称为平面区域D的“直径”.如图，已知锐角三角形的三个顶点A，B，C在半径为1的圆上，角的对边分别为a，b，c，若.

(1)求角A的大小；
(2)分别以各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和构成平面区域D，求平面区域D的“直径”的取值范围.
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 B C B D
1．B
【分析】根据零向量特点即可判断A；根据向量模的定义即可判断B，根据单位向量以及向量共线的性质即可判断CD.
【详解】对A，既有大小又有方向的量叫向量，则零向量既有大小又有方向，故A错误；
对B，由于与方向相反，长度相等，故B正确；
对C，起点相同的单位向量，终点不一定相同，故C错误；
对D，若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等或相反，故D错误．
故选：B．
2．C
【分析】根据向量的几何表示，可判断出选项A和C的正误，再利用相反向量及相等向量的概念，结合图形，即可判断选项B和D的正误.
【详解】对于选项A，因为向量，的起点为，而向量的起点为，所以选项A错误，
对于选项B，因为相反向量是方向相反，长度相等的向量，而向量，，方向不同，所以选项B错误，
对于选项C，向量，，的模长均为圆的半径，所以选项C正确，
对于选项D，因为相等向量是方向相同，长度相等的向量，而向量，，方向不同，所以选项D错误，

故选：C.
3．B
【分析】根据向量夹角定义结合图形特征判断.
【详解】是正方形，所以向量夹角是.
故选：B.
4．D
【分析】对A，若，有一个为零向量即可判断；对B，向量相等定义即可判断；对C，若即可判断；对D，由单位向量的定义判断.
【详解】对A，零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，若或时，与的方向不是相同或相反，故A错误；
对B，，且，方向相同才可判断，故B错误；
对C，当时，若，，与是任意向量，故C错误；
对D，对任一非零向量，表示与方向相同且模长为1的向量，故D正确.
故选：D
5．
【分析】由题意得，根据夹角的余弦值公式结合的夹角范围即可求解.
【详解】因为，则，
又，，
可得，
，.
故答案为：.
6．
【分析】利用数量积来计算投影数量即可.
【详解】因为且向量，的夹角为
所以，
则在方向上的投影数量为：，
故答案为：.
7．
【分析】由与的数量积小于0且不共线即可求得实数的取值范围.
【详解】解：向量、满足，，且、的夹角为，
故.
因为与向量的夹角为钝角，
所以且向量与向量不共线，
所以且，
解之得：且，
故实数的取值范围为.
故答案为：.
8． /0.25 或
【分析】设与的夹角为，分析可得，进而可得，且，分析可得，即可得或1，结合向量夹角公式运算求解.
【详解】设与的夹角为，
因为和都在集合中，所以其取值可能为，
因为，则，
可得，
因为，即，可得，所以；
又因为，即，解得，
因为，
可得，即或1，
当且时，即且，
可得，所以；
当且时，即且，
可得，所以；
综上所述：或.
故答案：；或.
9．(1)
(2)
【分析】（1）由向量共线的坐标条件求，再由模的坐标公式可得；
（2）由向量的线性运算可得的坐标，再由向量垂直的坐标运算可得.
【详解】（1）因为，所以，解得，
所以，
所以；
（2），，
因为，所以，
解得.
10．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由向量的加法与减法运算；
（2）证明，得，可得．
【详解】（1），
即；
（2）
所以．
11．(1)
(2)，，答案见解析
【分析】（1）由，利用向量模的坐标运算，求得，倍角公式求的值；
（2）由向量积的坐标运算求出解析式，由降幂公式和辅助角公式化简，整体代入法求对称中心，取其中一个对称中心平移到原点，可知得到一个奇函数的图像的平移变换.
【详解】（1）由，可得，
整理得，即，
因为，所以，所以，
则．
（2），
令，，解得，．
所以图像的对称中心坐标是，，
令，可得的图像的一个对称中心坐标是，
所以将的图像向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，就可以得到一个奇函数的图像．
12．(1)，；
(2)
【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算求出，向量坐标的加法运算求出再求模长即可；
（2）求出、的坐标，再由向量夹角的坐标运算可得答案.
【详解】（1），
，
；
因为，
所以；
（2）由（1），，
因为，
所以，
所以
所以与的夹角的余弦值为.
13．(1)
(2)
【分析】（1）先利用辅助角公式将把转化为，进而即可求解；
（2）根据题意利用余弦定理求得，再利用可求的值.
【详解】（1）因为，整理得，即.
因为，所以，
所以，所以.
（2）由余弦定理，且，
则，又，故，
又为的中点，则，
，
故
14．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理结合三角恒等变换得到，求出角即可，
（2）由余弦定理和三角形面积公式得到方程，求出，进而求出周长即可.
【详解】（1）因为
由正弦定理得.
，.
又，.
又，，故，
，又，.
（2）由（1）知，
由余弦定理得记为①式，
又，故，
，记为②式，又，
由①②得，故，
∴，
由题意得，解得(负根舍去)，
故的周长为.
15．(1)8；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理列出方程求解即得.
（2）由余弦定理求得中线与边长的关系，从而求得三角形的第三边长，再由余弦定理求出一个角的余弦，转化为正弦后可得三角形面积．
【详解】（1）在中，由余弦定理，得，
整理得，而，所以.
（2）在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
又，，两式相加得，
即，解得，即，
则，，
所以的面积.
16．(1)，
(2)
【分析】（1）由余弦定理得到方程，求出，进而由三角形面积公式求出答案；
（2）先得到，故，由余弦定理求出，得到答案.
【详解】（1）由余弦定理得，即，
故，解得或（舍去），
；
（2）因为，，
所以，
故，
在中，由余弦定理得，，
故.
17．(1)
(2)①；②
【分析】（1）由正弦定理将边转化为角，利用两角和的正弦公式即可求解；
（2）①由已知根据面积公式可求得，，由余弦定理即可求；②由正弦定理可得，由同角三角函数的平方关系可得，由二倍角公式可得和，再根据两角差的余弦公式即可求解.
【详解】（1）因为，
所以，
所以
因为，所以，
因为，所以，
所以，
因为，所以；
（2）①因为，所以，
又，所以，，
所以，
所以，
②由正弦定理可得，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，
，
所以.
18．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将条件转化为角的关系，利用二倍角公式化简可得，结合角的范围可得结论；
（2）由条件结合三角形面积公式可求，结合，求，再由余弦定理求.
【详解】（1）因为，由正弦定理得，，
又，所以，得到，
又，所以，
又，所以，得到，
所以.
（2）因为，所以，
又，得到，
代入，得到，
解得，所以，
由余弦定理得，，
所以.
19．(1)，
(2)
【分析】（1）利用余弦定理化简已知条件，求得的值，进而求得的值，利用正弦定理化简已知条件，结合三角形的面积公式列方程，由此求得的值；
（2）由题意求出，再由正弦定理可得，根据二倍角公式以及两角差的正弦公式即可求解.
【详解】（1）由题意，
又因为，为内角，所以.
因为，所以得，
的面积，即，
得，所以；
（2），因为，
，解得，，
又因为，，解得，
由，角为锐角，所以，
，，
.
20．(1)
(2)
【分析】（1）由已知根据正弦定理将角转化为边可得，由余弦定理可得，再根据，结合同角三角函数的基本关系和两角和的正弦公式即可求得和，根据求解即可；
（2）由面积公式可得，由余弦定理可得，再结合正弦定理可得，根据二倍角公式求解即可.
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得：，
所以，
所以，
所以，
又，所以，
因为，
所以，
所以，
所以，
因为，
所以，所以，
所以，
所以；
（2），所以，
，所以，
由正弦定理可得，
因为，所以，
所以.
21．35米
【分析】设由图中角的关系得到，，再由余弦定理求解即可；
【详解】设米，
在中，，则米.
在中，，则米.
因为，
所以由余弦定理得，
整理得，得.
所以蜚英塔的高度为35米.
22．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）先求出 的面积，，在中用余弦定理求出 可以求出 面积，即可求出总面积；
（2）分别在 和 中，用余弦定理表示出BD，即可证明为定值；
（3）由，结合余弦定理可得，由正弦定理得，则 ，再由，即可求得的取值范围.
【详解】（1）由题意，在 中，且 ，
则 ，
又由余弦定理，得
，
解得 ，
又在 中，，
得 ，
所以 ，
所以 的面积为
，
所以花卉布展区域的总面积为
（2）在 中，因为
，所以 ，
在 中，，由余弦定理，得
，
所以 ，则 ，
得 ，所以 为一个定值1.
（3）因为在锐角中，内角A，B，C对的边分别为a，b，c，
因为 ，
所以 ，则，
所以 ，
所以 ，
所以
，
又 ，
则 ，
则 ，
故
所以的取值范围为.
23．(1)
(2)（ⅰ） ; （ⅱ）
【分析】（1）运用费马点定义，结合等边三角形性质可解；
（2）（ⅰ）由正弦定理得 ，由费马点定义可知，，结合 得，再用数量积可解；（ⅱ）设,可以推得，则 ，由余弦定理和勾股定理，得到，再结合基本不等式和二次不等式计算即可.
【详解】（1）因为 为等边三角形，三个内角均小于 ，
故费马点 在三角形内，满足，且，
如图：过作 于，则 ，故，
所以该三角形的费马点到各顶点的距离之和为 .

（2）（ⅰ）因为 ，由正弦定理 ，且 ，
所以得，所以的三个角都小于 ，
则由费马点定义可知，，
设 ，，由
得 ，整理得，
则 .

（ⅱ）由（ⅰ）知 ，所以点 在 内部，且 ，
设，
所以 ，由余弦定理得，，
，由勾股定理得，，
即，
所以 ，即，
而，当且仅当，
即时，等号成立.
设，则 ，解得 或 （舍去），
故最小值为 .
【点睛】知识点点睛：本题主要借助新定义，以三角形为载体，综合考查正余弦定理，向量数量积，基本不等式运用，一元二次不等式解法，属于难题.
24．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理化边为角，再由内角范围，即可求得角；
（2）作出经过AC，BC中点的直线,交两弧于点，任作一条直线,交两弧于点,证明PQ的长小于等于周长的一半，即得区域D的“直径”为的周长l的一半，继而只需由题意求周长的范围即得.
【详解】（1）由和正弦定理得， ，
在中，因，故，即，
因，故；
（2）

如图，F，G是AC，BC的中点，设直线分别交于点E，交 于点.
设P，Q分别为、上任意一点，于是，，
则，
即PQ的长小于等于周长的一半，当PQ与HE重合时等号成立，
同理，三个半圆上任意两点的距离最大值等于周长的一半，
因此区域D的“直径”为的周长l的一半，
因A，B，C在半径为1的圆上，由正弦定理得：，
即，，，
则，
由为锐角三角形，可得，即，
则，，于是，
故平面区域D的“直径”的取值范围是．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)