2.2圆的对称性（例题精讲与针对性训练）-数学九年级上册苏科版（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2.2圆的对称性（例题精讲与针对性训练）-数学九年级上册苏科版
一、单选题
1．有下列结论，①弦比直径短．②过圆心的线段是直径．③半圆是弧．④长度相等的两条弧为等弧．⑤平分弦的直径垂直于弦．⑥相等的圆心角所对的弦相等．其中正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图在中，于C，若，，则半径长度为（ ）
A．5 B．8 C．10 D．4
3．如图，在中，，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知是的直径，D，C是劣弧 的三等分点，，那么（ ）
A． B． C． D．
5．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（一种水利灌溉工具）的工作原理．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为米，半径长为米，若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
6．下列命题是真命题的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．若是完全平方式，则
C．若两个圆周角相等，则它们所对的弧也相等 D．若则
7．如图，在中，点，，在圆上，且，垂足为．若，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，分别是以为直径的两个半圆，其中是半圆O的一条弦，E是中点，D是半圆中点．若，，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．已知是的直径，弦，垂足为P．若，，则的长为 ．
10．如图，为的直径，为的弦，于M，若，则 ．
11．如图，是的直径，弦垂足为P．若，则的长为 ．
12．如图，破残的轮子上，弓形的弦为，高为．这个轮子在没有损坏前，其圆面的面积为 ．
13．如图，为的直径，为的弦，，垂足为，，， ．
14．如图，我国古代建造的闻名中外的赵州石拱桥，若桥拱圆弧的半径长为，拱高为，则桥跨度为 （用含r、h的代数式表示）
15．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，如图，锯口深寸，锯道长尺（1尺=10寸）．问这根圆形木材直径是 寸．
16．如图平面直角坐标系中，的半径为，弦的长为4，内一点D的坐标为，当弦绕点O顺时针旋转时，点D到的距离的最小值是 ．
三、解答题
17．如图，已知在中弦，且，垂足为H，于E，于F．

(1)证明：四边形为正方形；
(2)若，，则半径等于________．
18．如图所示的是一个半圆形拱桥的截面示意图，圆心为O，直径是河底线，弦是水位线，已知拱桥的跨度，若测得某时水面宽度，求水深．
19．如图，在直径为20的中，与是互相垂直的两条弦，垂足为点F．已知，求OF的长．
20．如图，在中，直径，弦，弦，垂足分别为．

(1)求弦的长；
(2)如果，求的度数．
21．如图，内接于，于点，于点，求证：．
22．如图，在中，，是的外接圆，过点O作的垂线，垂足为D，分别交的延长线，于点E，F；，的延长线交于点G．
(1)求证
(2)若求的度数．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A D B C D D D
1．A
【分析】本题主要考查了圆的基本概率，垂径定理，弧、弦，圆周角之间的关系，熟知圆的相关知识是解题的关键．
【详解】解：①弦（非直径）比直径短，原说法错误；
②过圆心且两个端点都在圆上的线段是直径，原说法错误；
③半圆是弧，原说法正确；
④同圆或等圆中长度相等的两条弧为等弧，原说法错误；
⑤平分弦（非直径）的直径垂直于弦，原说法错误；
⑥同圆或等圆中相等的圆心角所对的弦相等，原说法错误；
∴说法正确的有1个，
故选：A．
2．A
【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．先根据垂径定理求出的长，设的半径为r，再连接，在中利用勾股定理求出r的值即可．
【详解】解：连接，
∵于C，
∴，
设的半径为r，
则，，
∴，解得，
故选：A．
3．D
【分析】本题考查的是弧，弦，圆心角之间的关系，由逐一分析各选项即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，故A不符合题意；
∴，
∴，故B不符合题意；
∴，故C不符合题意；
∵不一定为的中点，
∴不一定成立，故D符合题意；
故选D
4．B
【分析】本题考查的是弧与圆心角的关系，根据题意先求出，再利用邻补角即可求出即可．
【详解】解：∵D，C是劣弧 的三等分点，，
∴，
∴，
故选B．
5．C
【分析】本题考查的知识点是垂径定理、勾股定理，解题关键是熟练掌握垂径定理．
连接交于点，根据垂径定理得到米，，再根据勾股定理得到即可得解．
【详解】解：连接交于点，
依题得：米，，米，
设，即，
中，，
即，
解得，
即米，
米，
即点到弦所在直线的距离是米．
故选：．
6．D
【分析】本题考查判断命题的真假，根据垂直的性质，完全平方式的特点，圆周角定理，不等式的性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题为假命题；
B、若是完全平方式，则，原命题为假命题；
C、同圆或等圆中，若两个圆周角相等，则它们所对的弧也相等，原命题为假命题；
D、若则，原命题是真命题；
故选D．
7．D
【分析】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，掌握垂径定理是解题关键．
先根据勾股定理得，再根据垂径定理即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
8．D
【分析】本题考查圆的垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理，作出合理的辅助线证明D、E、F、O在同一条直线上是解题的关键．连接，是中点，推垂直平分，D是半圆中点，推垂直平分在同一条直线上，F是的中点，O是中点，推是的中位线，在中，根据勾股定理得长．
【详解】解：连接交于点F，
是中点，
垂直平分，
是的中点．
为的直径，
，
是半圆中点，
垂直平分，
、E、F、O在同一条直线上，，，
，
，
设，，，
，
是的中点，O是中点，
是的中位线，
，
为直径，
，
在中，根据勾股定理得，，
，
，
，
，
．
故选：D．
9．或/或
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，分类思想，根据垂径定理，分点P在圆心的两侧计算求解即可．
【详解】如图，当在圆心的右边时，连接，
∵，是的直径，弦，，
∴,
∴,
∴,
∴；
当在圆心的左边时，连接，
∵，是的直径，弦于点M，，
∴，
∴,
∴；
故答案为：或．
10．3
【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，连接，先由垂径定理得到，再利用勾股定理求出的长即可．
【详解】解：如图所示，连接，
∵为的直径，为的弦，，
∴，
∴，
故答案为：3．
11．
【分析】本题考查了垂径定理，设的半径为，在直角三角形中利用勾股定理即可求解．
【详解】解：设的半径为，
则
∵，
∴
则：
解得：
∴，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由垂径定理，勾股定理列出关于圆半径的方程．设圆的半径是，则，由垂径定理推出
由勾股定理得到，求出，即求出到圆面的面积．
【详解】解：设圆的半径是，则，
∵半径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴圆面的面积为．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，连接，由垂径定理可得，由勾股定理可得，最后根据即可得出答案，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解此题的关键．
【详解】解：如图，连接，
为的直径，为的弦，，，
，
，
，
，
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查垂径定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由垂径定理得到，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：，
，
由勾股定理得，
．
故答案为：．
15．26
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理；连接，可得，，由即可求解；能构建由半径、弦的一半、弦心距组成的直角三角形是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
，
，
，
，
，
在中：
，
，
解得：，
，
故答案：．
16．6
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，垂线段最短，过点O作于H，过点D作于G，连接，由垂径定理得到，由勾股定理可得，再由，可得，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，过点O作于H，过点D作于G，连接，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为6，
∴点D到的距离的最小值是6，
故答案为：6．
17．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，正方形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握知识点．
（1）首先证明四边形是矩形，再证明，可得结论；
（2）利用垂径定理求出，利用勾股定理求出，可得结论．
【详解】（1）解：证明：连接，．

，垂足为点于点，于点，
，，，
四边形是矩形，
，
在和中，
，
，
，
四边形是正方形；
（2），，
，
，
，
，
，
的半径为．
18．
【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理的实际应用，如图所示，连接，利用垂径定理得到，再利用勾股定理可得．
【详解】解：如图所示，连接，
由题意得，，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴水深为．
19．
【分析】本题主要考查了垂径定理以及圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
过点作于点，于点，连接，先证明四边形是正方形，然后根据垂径定理求出即可解答．
【详解】解：过点作于点，于点，连接，如图，
，，
，
，
四边形是矩形，
，
，
四边形正方形，
，
直径为20，
，
在中，，
，
在中，，
即的长为．
20．(1)8
(2)
【分析】（1）垂径定理，得到，勾股定理求出的长即可；
（2）垂径定理得到，，证明，得到，进而得到，再根据平角即可得出结果．
本题主要考查垂径定理．熟练掌握垂径定理，是解题的关键．
【详解】（1）解：∵直径，弦，
∴，
∴，
∴；
（2）∵直径，弦，弦，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
21．见解析
【分析】本题考查了垂径定理，中位线的性质；
根据垂径定理，可得分别是的中点，进而根据中位线的性质，即可得证．
【详解】解：∵内接于，于点，于点，
∴
∴是的中位线，
∴．
22．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的判定和性质，垂径定理，三角形的内角和定理，正确作出辅助线，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）连接，根据垂径定理得出，则，根据等边对等角得出，结合圆的内接四边形的性质，得出，进而得出，根据，则，得出，即可求证；
（2）连接，易得，，则，设，则，根据垂径定理和三线合一推出，则，进而得出最后根据，即可求解．
【详解】（1）解：连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，
∵，，，
∴，，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
在中，，
解得：，
∴．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)