3.2双曲线常考易错检测卷（含解析）-高二数学上学期人教A版（2019）

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3.2双曲线常考易错检测卷-高二数学上学期人教A版（2019）
一、单选题
1．已知双曲线 与 有共同的渐近线，则它们一定有相等的（ ）
A．实轴长 B．虚轴长 C．焦距 D．离心率
2．已知双曲线的上焦点为，则（ ）
A． B． C． D．
3．双曲线的左、右焦点分别是，点在双曲线上，且，则（ ）
A．18 B．2 C．6或14 D．2或18
4．已知双曲线的左焦点为，为坐标原点，若在的右支上存在关于轴对称的两点，使得为正三角形，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知双曲线的一条渐近线的斜率，一个焦点为，则双曲线的顶点到渐近线的距离为 （ ）
A．3 B． C． D．6
6．已知方程 表示双曲线，则m的取值范围为 （ ）
A． B．或
C． D．
7．已知为坐标原点，双曲线的离心率为2，虚轴长为为圆：上一点，过点作的两条切线，切点分别为，记直线的斜率分别为，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知椭圆与双曲线共焦点，分别为左、右焦点，点为与的一个交点，且，设与的离心率分别为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知直线与双曲线交于两点，为双曲线的右焦点，且，若的面积为，则下列结论正确的有（ ）
A．双曲线的离心率为 B．双曲线的离心率为
C．双曲线的渐近线方程为 D．
10．已知双曲线与双曲线，其中，则下列说法中正确的是（ ）
A．双曲线的焦距之比为
B．双曲线的离心率相同，渐近线也相同
C．过上的任一点引的切线交于点，则点为线段的中点
D．斜率为的直线与，的右支由上到下依次交于点，则
11．已知曲线，将曲线用函数表示，则下列说法正确的是（ ）
A．在上单调递减；
B．的图象关于对称；
C．的最小值为；
D．若直线与的图象没有交点，则实数为定值.
三、填空题
12．若双曲线与椭圆的焦点相同，且过点，则该双曲线的标准方程为 .
13．已知方程所表示的曲线为双曲线，则的取值范围为 .
14．设为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为 .
四、解答题
15．已知分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线的右支上，且的最小值为16，求双曲线的标准方程.
16．已知双曲线一条渐近线方程为，且点在双曲线上.
(1)求双曲线标准方程，
(2)若双曲线的左顶点为，右焦点为为双曲线右支上任意一点，求的最小值.
17．已知双曲线的离心率为2，右焦点到渐近线的距离为，过右焦点作斜率为正的直线交双曲线的右支于两点，交两条渐近线于两点，点在第一象限，为坐标原点．
(1)求双曲线的方程；
(2)设，，的面积分别是，，，若不等式恒成立，求实数的取值范围．
18．已知双曲线的焦距为为双曲线的右焦点，且点到渐近线的距离为4．
(1)求双曲线的方程；
(2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值．
19．已知双曲线的渐近线上一点与右焦点的最短距离为．
(1)求双曲线的方程；
(2)为坐标原点，直线与双曲线的右支交于、两点，与渐近线交于、两点，与在轴的上方，与在轴的下方．
（ⅰ）求实数的取值范围．
（ⅱ）设、分别为的面积和的面积，求的最大值．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D B D B B B C BCD BCD
题号 11
答案 ACD
1．D
【分析】根据两双曲线有相同的渐近线，可得到，从而利用双曲线的离心率的平方可求得答案.
【详解】双曲线的渐近线方程为 ，
的渐近线方程为，
由题意可得， 又 ，，所以 ，
又推不出，所以推不出
故选：D
2．D
【分析】根据双曲线的焦点位置可得标准方程，即可得解.
【详解】因为知双曲线的上焦点为，
所以可化为，
故.
故选：D
3．B
【分析】应用双曲线的定义，结合已知，计算得出且符合到焦点距离范围.
【详解】由题知点在双曲线右支上，根据双曲线的定义得，
因为，所以，即，
又因为，所以满足题意.
故选：B.
4．D
【分析】根据条件，利用几何关系得到，又，得到，再结合双曲线的定义得到，即可求解.
【详解】设双曲线的焦距为，右焦点为，直线交于点，连接，
因为为正三角形，，所以为的中点，所以，
故，易知，所以，
由双曲线的定义知，
即，得.
故选：D．
5．B
【分析】由渐近线的斜率和焦点坐标，解出，进而求出顶点坐标与渐近线方程，再根据距离公式求解即可.
【详解】依题意可知，，，
因为，所以，所以，，
所以双曲线的一个顶点为，一条渐近线方程为，
由双曲线的对称性可知，双曲线的顶点到渐近线的距离为.
故选：B
6．B
【分析】根据双曲线的概念，解不等式即可.
【详解】因为方程 表示双曲线，所以，
解得或.
故选：B
7．B
【分析】根据双曲线性质先确定双曲线方程，设Q坐标及切线方程，联立双曲线方程，借助韦达定理得，计算即可.
【详解】由题意得，又，
所以，所以的方程为，
设，过点的切线方程为，
联立得，
则，即，
又，所以，所以，
又，且，所以．
故选：B
8．C
【分析】利用椭圆与双曲线的定义，结合余弦定理构造齐次式，再利用对勾函数的性质求范围即可.
【详解】设点在第一象限，由题知，
解得，，
在中，由余弦定理得，，
化简得，即，
所以，
令，因为，所以，
则，
由“对勾”函数的性质可知，函数在区间上单调递增，
所以．
故选：C
9．BCD
【分析】先根据对称性及得到；进而得到以为直径的圆过点，列方程组求出的关系；对于A、B，求出离心率即可判断；对于C，求出渐近线方程即可判断；对于D，由对称性及题意求出的坐标，进而解出斜率即可判断.
【详解】
由题意知：，不妨取，由，
即，所以，
所以，所以以为直径的圆过点，
所以圆的直径，所以圆的方程为：，
设，连接，则四边形为矩形，则，
则的面积为：，且，
联立，解得，
再由，
所以离心率，故A错误，B正确；
对于C，双曲线的渐近线方程为：，故选项C正确；
对于D，不妨设点在第一象限，由对称性可知，
，代入中，得，
所以，由对称性知：当，，
所以，故选项D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：由图象对称性可知：点为双曲线另一个焦点；由定义知，由题意解出关系，不妨设点在第一象限，且，进而求解出直线斜率即可判断答案.
10．BCD
【分析】由题意、，根据双曲线的几何意义即可判断AB；设切线方程为，分别联立、，利用韦达定理计算即可，结合中点坐标即可判断C；由选项C的分析，结合弦长公式即可判断D.
【详解】A：的焦距为，的焦距为，
所以两双曲线的焦距之比为，故A错误；
B：的渐近线方程为，离心率为，
的渐近线方程为，离心率为，
所以两双曲线的渐近线方程相等，离心率也相等，故B正确；
C：设切线方程为，联立，，
得，又直线与相切，所以；
联立，，得，
所以，所以，即为的中点，故C正确；
D：由选项C的分析知，，
所以，得，
又，所以，故D正确.
故选：BCD
11．ACD
【分析】分段讨论确定所表示的曲线方程作出图象，由图象判断A，B，D选项；求出的表达式求其最小值判断C选项；
【详解】当时， 不存在，故在第一象限内无图象；
当时， ，在第二象限内为双曲线的一部分，其渐近线为，
此时，即，
所以；
当时， ，在第三象限内为椭圆的一部分；
此时，即，
所以
当时， ，在第四象限内为双曲线的一部分，其渐近线为 ；
此时，即，
所以；
综上：的最小值为，故C正确；
图象如图所示：
对于A：由图象可得在上单调递减，故A正确；
对于B，由图象可得图象不关于直线成轴对称图形，也可以求得关于直线对称的点不在图象上， 故B错误；
对D：若直线与的图象没有交点，则直线与渐近线平行，
即为定值，否则直线与渐近线相交，则一定会与的图象相交，故D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题关键是能根据的正负去掉绝对值符号得到曲线方程，作出图象，数形结合分析.
12．
【分析】根据椭圆方程求出焦点坐标，设双曲线方程，代入点求出参数即可.
【详解】可化为，其焦点为和，
所以双曲线焦点为和，即，
故设双曲线方程为，
因其过点，代入可得，解得或（舍去），
故双曲线的方程为.
故答案为:.
13．
【分析】化为双曲线的一般形式，分焦点在与轴上分别列不等式组解答即可；
【详解】当时，显然不为双曲线；
当时，可化为，
若双曲线的焦点在轴，
则满足解得，
若双曲线的焦点在轴，
则满足解得.
综上所述，的取值范围为.
故答案为：.
14．3
【分析】设，利用双曲线定义，可得又由勾股定理得，联立求得，即得三角形的面积.
【详解】
如图，由可知，
设，由定义
，
的面积为.
故答案为：3
15．
【分析】由题可知，，，因此当时，最小，由此求出，进而得到，进行求出标准方程.
【详解】由于，则，
由双曲线的定义可知，，
则，
又的最小值为16，
且，
所以，
所以，
故双曲线的标准方程为.
16．(1);
(2).
【分析】（1）利用渐近线方程巧设双曲线方程，再由待定系数法即可求解；
（2）利用向量数量积的坐标运算，再结合二次函数性质，即可得出结果.
【详解】（1）由双曲线一条渐近线方程为，可以该双曲线方程为，
由点在双曲线上，可得，即，
所以双曲线标准方程为.
（2）由双曲线标准方程为可知：左顶点的坐标为，右焦点为的坐标，
可设双曲线右支上任意一点，且，则，
所以，
又因为满足双曲线方程，则，
所以，
由于二次函数的对称轴是，
所以当，单调递增，
即当时，二次函数有最小值，
所以的最小值是.
17．(1)；
(2).
【分析】（1）根据离心率和焦点到渐近线的距离，列出的方程组，解得结果即可.
（2）设出直线方程及相应点坐标，与双曲线方程联立，根据题目条件结合坐标参数，写出，根据的范围即可求出结果.
【详解】（1）设双曲线的右焦点，其中一条渐近线方程为，
则右焦点到渐近线的距离，
又，则，
∴双曲线的方程为 ；
（2）由上可知，双曲线的渐近线方程为，
由题意可设直线的方程为，，
联立方程得 ，
所以，
，整理得，所以，
因为即，则A到两条渐近线的距离满足
联立方程，故
同理，联立方程则
，
，
所以 .
又恒成立
即恒成立，
由可得，
∴所求的取值范围为.
【点睛】思路点睛：利用双曲线上点到两渐近线的距离之积为定值可简化面积乘积的计算，另外的面积利用铅锤高水平底计算也较方便.
18．(1)
(2)23
【分析】（1）利用点到直线的距离公式列方程得到，根据焦距得到，然后根据得到即可得到双曲线的方程；
（2）根据双曲线的定义将的最小值转化为的最小值，然后根据两点之间线段最短求最小值即可.
【详解】（1）的一条渐近线的方程为，即，
点到的距离，
又因为，所以，
所以，所以双曲线的方程为．
（2）
记双曲线的左焦点为，则，
，
当三点共线时，最小，且最小值为．
故的最小值为．
19．(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）
【分析】（1）根据焦点到渐近线距离求出，再求出即可得解；
（2）（ⅰ）直线与双曲线方程联立消元后由根与系数关系及直线与右支相交可得；
（ⅱ）根据弦长公式及点到直线的距离分别求出三角形面积，根据面积表达式换元后利用不等式性质求最值即可.
【详解】（1）设双曲线的焦距为，且，
因为到直线的距离为，故，
则，故双曲线的方程为：．
（2）如图，
（ⅰ）设，，联立直线与双曲线的方程，
消元得，则，
因为直线与双曲线右支交于两点，故，则，故的取值范围为．
（ⅱ）由（ⅰ）知，，
原点到直线的距离，
设，，联立，则，
，，，
则，
而，
令，则，
当即时取到等号．
综上所述，的最大值为．
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