3.3抛物线常考易错检测卷（含解析）-高二数学上学期人教A版（2019）

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3.3抛物线常考易错检测卷-高二数学上学期人教A版（2019）
一、单选题
1．方程所表示的曲线为（ ）
A．抛物线 B．椭圆 C．双曲线 D．直线
2．设为抛物线的焦点，若点在上，则（ ）
A．3 B． C． D．
3．已知抛物线的焦点为，点，若点为抛物线上任意一点，当取最小值时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．设F为抛物线的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为的重心，则的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
5．已知抛物线的准线经过椭圆的一个焦点，则椭圆的长轴长为（ ）
A． B． C． D．
6．已知抛物线C：，点F为C的焦点，直线l：与x轴、y轴分别交于A，B两点，若的面积为12，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上（异于顶点），过的中点作直线的垂线交轴于点，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知抛物线与过焦点的一条直线相交于，两点，过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线于点，则下列结论正确的是（ ）
A．准线的方程是 B．以为直径的圆与轴相切
C．的最小值为 D．的面积最小值为
二、多选题
9．已知，，直线，相交于，直线，的斜率分别为，，则（ ）
A．当时，点的轨迹为除去，两点的椭圆
B．当时，点的轨迹为除去，两点的圆
C．当时，点的轨迹为除去，两点的双曲线
D．当时，点的轨迹为除去，两点的抛物线
10．抛物线的焦点为，若是抛物线上任意一点，直线的倾斜角为，点是线段的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．点的轨迹方程为
B．若，则
C．的最小值为
D．在轴上不存在点，使得
11．已知抛物线C：与圆O：交于A，B两点，且，直线过C的焦点F，且与C交于M，N两点，则下列说法中正确的是（ ）
A．若直线的斜率为，则
B．的最小值为
C．若以MF为直径的圆与y轴的公共点为，则点M的横坐标为
D．若点，则的周长最小值为
三、填空题
12．抛物线的焦点坐标为 ．
13．已知抛物线的焦点为是上一点，若，则以为直径的圆与轴的位置关系是 ．
14．已知抛物线的焦点为，若以轴正方向的射线绕焦点逆时针旋转，与抛物线交于点，过作轴，交准线于点，则的面积为 ．
四、解答题
15．已知顶点为的抛物线过点，其焦点为，若．
(1)求点的坐标以及抛物线方程；
(2)若点与关于点对称，求．
16．已知抛物线，过点的直线l交抛物线于A，B两点，抛物线在点A处的切线为，在点B处的切线为，直线与交于点M.
(1)设直线，的斜率分别为，，证明：；
(2)设线段AB的中点为N，求的取值范围.
17．已知直线与抛物线交于A，B两点，F为抛物线的焦点.
(1)若，求m的值；
(2)求线段AB中点M的轨迹方程.
18．已知抛物线Γ：，A为第一象限内Γ上的一点，设A的纵坐标为.
(1)若点A到Γ的准线的距离为3，求a的值；
(2)若，B为x轴上的一点，且线段AB的中点在Γ上，求点B的坐标及原点O到直线AB的距离；
(3)设直线l：，P是第一象限内Γ上异于A的动点，直线AP与直线l交于点Q，点H为点P在直线l上的投影，若点A满足性质“当点P变化时，恒成立”，求a的取值范围.
19．已知为抛物线的焦点，过点作抛物线的两条相互垂直的弦．
(1)求的值；
(2)过定点任意作抛物线的一条弦，均有，求的值．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D D D D A C C ABC ACD
题号 11
答案 BCD
1．A
【分析】将已知方程化简，再结合两点间距离公式和点到直线的距离公式以及抛物线的定义作答即可；
【详解】化简得，
即动点到定点的距离与到直线的距离相等，
且点不在直线上，
故方程表示的曲线为抛物线．
故选：A.
2．D
【分析】利用点在抛物线上，得到抛物线的标准方程，确定准线方程，利用抛物线的定义，.
【详解】依题意，，解得，所以的准线为，所以，
故选:D．
3．D
【分析】设点在准线上的射影为，则根据抛物线的定义把问题转化为求取得最小值，数形结合求解即可.
【详解】抛物线的焦点为，准线为，
设点在准线上的射影为，如图，

则根据抛物线的定义可知，
求的最小值，即求的最小值，
显然当，，三点共线时取得最小值，
此时点的横坐标为，则，解得，即.
故选：D.
4．D
【分析】由三角形重心坐标公式可得，再由抛物线的定义计算出长度即可.
【详解】由题意可知，点的坐标为，
设点，，的坐标分别为，，，
又为的重心，则，即，
由抛物线方程可得，
所以由抛物线的定义可知，
故选：D.
5．D
【分析】先根据抛物线的准线求出椭圆的焦点，得到的值，再根据的关系，求出的值即可.
【详解】抛物线的准线为：，所以椭圆的一个焦点为，即，
又，所以.
所以长轴长为：.
故选：D
6．A
【分析】根据直线方程求出点坐标，再由抛物线方程求出坐标，利用三角形面积求解即可.
【详解】如图，
直线l：中，令，可得，令，可得，
所以，，
由抛物线C：可得，
所以，所以，
解得.
故选：A
7．C
【分析】设，根据条件得出直线NP的方程为，从而得到，再利用抛物线定义即可求出结果.
【详解】由题意有，设，则，直线OM的斜率为，
易得直线NP的方程为,令，得，即，
由抛物线的定义易得，所以．

故选：C.
8．C
【分析】根据抛物线方程，结合准线定义即可判断A；当直线斜率不存在时，计算可得此时以为直径的圆不与轴相切，即可判断B；对于CD：分直线斜率存在以及不存在两种情况分别讨论，即可求解．
【详解】对于A：由抛物线的方程可知其焦点为，故准线的方程为：，故A错误.
对于B：当直线的斜率不存在时，即直线方程：，易得，
则以为直径的圆半径为，此时不与轴相切，故B错误.
对于C：当直线的斜率不存在时，易得，，；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，
由，得，
得，，，
，
易知直线的方程为，由，得，
，，
综上所得，的最小值为，故C正确．
对于D：当直线的斜率不存在时，易得，，
所以；
当直线的斜率存在时，，
故当时，取得最小值，且此时最小值为，故D错误．
故选：C．
9．ABC
【分析】针对各个选项，设，利用轨迹法的步骤，求轨迹方程，即可判断选项.
【详解】根据题意知：，，设，
对选项，，
化简可得，
点的轨迹为除去,点的椭圆，故A正确；
对B选项,，,
化简可得，，
点的轨迹为除去，两点的圆，故B正确；
对C选项，，,
化简可得，,
点的轨迹为除去，两点的双曲线，故C正确；
对D选项，,
化简可得，,点的轨迹不是除去，两点的抛物线，故D错误．
故选：ABC
10．ACD
【分析】求出抛物线的焦点坐标、准线方程，然后逐项分析、计算作答.
【详解】抛物线的焦点为，准线，
对于A，设点，则点，而P是抛物线C上任意一点，于是得，
即，于是点M的轨迹方程为，A正确；
对于B，直线的方程为：，由消去y并整理得，
解得，，则或， B错误；
对于C，设点，则，当且仅当时取等号，即的最小值为，C正确；
对于D，由点M的轨迹方程为，设，，
则，，
因此为锐角，即在轴上不存在点，使得，D正确.
故选：ACD

11．BCD
【分析】求出抛物线的方程，得焦点坐标，设出直线的方程，与抛物线方程联立方程组应用韦达定理求弦长判断A，再根据韦达定理得出焦点弦的性质，然后利用基本不等式求解后判断B，作出大致图象，过点作准线的垂线，结合抛物线的定义判断C，过作准线的垂线（是垂足），写出三角形的周长，结合抛物线的定义转化后得出不等关系，从而可得最小值判断D．
【详解】抛物线C：与圆O：交于A，B两点，且，
则第一象限内的交点的纵坐标为，代入圆方程得横坐标为1，即，
所以，，即抛物线方程为，焦点为，
对选项A，设直线方程为，由得，
设，则，，
，
直线的斜率为时，，所以，A错误；
对选项B，由抛物线定义得
，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
因此的最小值为，B正确；
对选项C，如图，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于，取的中点，过作轴垂线，垂足为，
则，是梯形的中位线，
由抛物线定义可得，
所以，
所以以为直径的圆与轴相切，
因此为切点，所以点纵坐标为1，
又是中点，所以点纵坐标为2，
而是抛物线上的点，因此其横坐标为1，C正确；

对选项D，过作垂直于抛物线的准线，垂足为，
所以的周长为，
当且仅当点的坐标为时取等号（即与准线垂直），D正确．
故选：BCD．
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
12．
【分析】根据题意可将向右平移个单位，再向下平移个单位而得到，从而可求解.
【详解】因为，
所以抛物线可由抛物线向右平移个单位，再向下平移3个单位而得到，
又抛物线的焦点坐标为，所以抛物线的焦点坐标为.
故答案为：.
13．相切
【分析】根据抛物线定义可得到轴的距离为6，进而求的中点到轴的距离，即可判断直线与圆的位置关系.
【详解】抛物线的准线方程为，焦点，
因为，所以到轴的距离为，则的中点到轴的距离为，
所以以为直径的圆与轴相切．
故答案为：相切.
14．
【分析】联立直线的方程和抛物线方程得到的坐标，从而利用三角形面积公式计算出结果.
【详解】由题知焦点，准线为，直线的方程为：，
联立，可得，
所以或（舍），，
，
所以．
故答案为：.
15．(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）根据抛物线过点及列出相应等式即可求解；
（2）根据（1）结果分情况讨论和，从而可求解.
【详解】（1）因为抛物线过点，则①，又，
且焦点为，即②，
结合①②解得或，
即，或．
（2）当时，此时，则，
所以；
当时，，则，
所以．
16．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设切线方程，分别用点的横坐标表示，联立直线l与抛物线的方程，结合韦达定理，可得结果；
（2）联立直线方程求点M坐标，由中点坐标公式可得点坐标，从而得到，再由弦长公式可得，由的表达式求取值范围即可.
【详解】（1）由题意知，直线l的斜率存在，
设点，，直线l的方程为，
由得，
，，.
由，得切点，，
则切线的方程为，代入，得，
所以，解得，
同理，得切线的斜率，
所以.
（2）由（1）可得，
故，.
由（1）得，
可化为，①
同理得，②
由①②，得，，即，
则.
，
所以.
由，，得，故，
即的取值范围为.
【点睛】方法点睛：
解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
17．(1)
(2)
【分析】（1）联立直线与抛物线方程，由韦达定理结合抛物线的定义，列式求解即可；
（2）设点，根据中点坐标运算得，代入得，即可求得动点的轨迹方程.
【详解】（1）联立方程，消去y得，
由得，设，，则，
由抛物线定义知：，解得，符合题意，
所以.
（2）设点，则由题意得，因为，所以，
把即代入得，
所以点M的轨迹方程为.
18．(1)；
(2)，；
(3).
【分析】（1）首先求出抛物线的准线，在根据抛物线的定义求出，从而求出；
（2）首先得到点坐标，设，即可求出线段的中点，从而求出的值，再得到直线的方程，最后由距离公式计算可得；
（3）设，写出直线的方程，求出点坐标，则，分和，讨论即可.
【详解】（1）曲线的准线为，
点到的准线的距离为，又在第一象限，
所以；
（2）因为，所以，即，
设，则线段的中点为，依题意，解得，
即，直线为，即，
所以坐标原点到的距离.
（3）设，，则，，，
直线，即，
令，所以，即，
对恒成立.
即，
即对恒成立.
①当，又，即时，恒成立；
②当时，则，也成立；
③当，即时，则当时满足，此时，
，
显然不成立，故时不成立.
综上，.
.
【点睛】关键点睛：本题第三问的关键是设，从而写出直线的方程，再得到，再转化为恒成立问题，分类讨论即可.
19．(1)；
(2).
【分析】（1）求出抛物线焦点坐标，设出直线方程并与抛物线方程联立，结合抛物线定义求出长，同理可得长，再代入计算即得.
（2）设出直线方程，与抛物线方程联立，利用两点间距离公式，结合韦达定理求出，再借助恒成立求出的值.
【详解】（1）抛物线的焦点，准线方程为，
显然直线不垂直于坐标轴，设直线方程为，则直线方程为，
由消去得：，设，则，
于是，同理，
所以.
（2）由过定点任意作抛物线的一条弦，得，显然直线不垂直于轴，
设直线方程为，由消去得：，
设，则，
，同理，
，
因此
，即，
依题意，对任意实数，恒成立，因此，解得，
所以.
【点睛】易错点睛：有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
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