21.3实际问题与二次函数（例题精讲与针对性训练）-数学九年级上册人教版（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
21.3实际问题与二次函数（例题精讲与针对性训练）-数学九年级上册人教版
一、单选题
1．飞机着陆后滑行的距离S（单位：m）与滑行时间t（单位；s）的函数解析式为，飞机着陆后最后3s滑行的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，某工厂的大门是抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为，两侧距地面高处各有一壁灯，两壁灯间的水平距离为，则厂门的高度约为（ ）
A． B． C． D．
3．心理学家发现：学生对概念的接受能力与提出概念的时间之间是二次函数关系，当提出概念时，学生对概念的接受力最大，为；当提出概念时，学生对概念的接受能力就剩下，则与满足的二次函数关系式为( )
A． B．
C． D．
4．如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为,面积为,其中．
有下列结论：
①x的取值范围为；
②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为；
③矩形菜园的面积的最大值为．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高为13的奖杯，杯体轴截面是抛物线的一部分，则杯口的口径长为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
6．由于长期受新型冠状病毒的影响，核酸检测试剂需求量剧增，某医院去年一月份用量是8000枚，二、三两个月用量连续增长，若月平均增长率为x，则该医院三月份用核酸检测试剂的数量y（枚）与x的函数关系式是（ ）
A． B．
C． D．
7．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度与运动时间之间的函数关系如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．小球在空中经过的路程是45m B．小球抛出3秒时，达到最大高度
C．小球抛出3秒时速度最快 D．小球的高度时，
8．如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系，下列说法正确的是（ ）
A．小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是1s
B．小球从飞出到落地要用4s
C．小球飞行3s时飞行高度为15m，并将继续上升
D．小球的飞行高度可以达到25m
二、填空题
9．从地面竖直向上跑出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是，小球运动到 s时，达到最大高度 ．
10．烟花厂为庆祝元旦晚会特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高与飞行时间的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为 ．
11．如图，在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到抛物线，则抛物线的表达式为 ；抛物线的对称轴与分别相交于点M，N，则的面积为 ．
12．如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用60米长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设隔墙的长度为x米，要使鸡场面积最大，则x的值为 米？
13．如图是一个长为3米、宽为1米的矩形隔离栏（），中间被4根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处（点E，点P）以及点A、点B在同一条抛物线上，若第1根栏杆涂色部分（）与第2根栏杆未涂色部分（）长度相等，则的长度是 米．
14．某广场要建一个圆形喷水池，计划在池中心位置竖直安装一根部带有喷水头的水管，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离OC为处达到最高，高度CD为，水柱落地处离池中心的水平距离OA为，那么水管的设计高度OB应为 ．
15．某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数关系为，当水面宽度为12米，水面与桥拱顶的高度为 米．
16．如图，二次函数与轴交于点（点在点左边），与轴交于点，点为线段上一点，将线段按逆时针方向旋转后得到线段，若点恰好落在二次函数在第一象限的图象上，则点的坐标为 ．
三、解答题
17．某商场销售一批商品，当每件盈利10元时，可售出500件．经调查发现，在一定范围内，每件商品的单价每涨1元，商场可少售出10件.
(1)如果商场通过销售这批商品要盈利8000元，这种商品的单价应涨多少元
(2)在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品涨价多少元时，商场盈利最多？
18．如图，用长为的篱笆(虚线部分)，两面靠墙围成矩形的苗圃．设矩形的一边为，面积为．
(1)求关于的函数关系式为 ；
(2)写出自变量的取值范围（墙足够长）；
(3)当时，求的值．
19．某航模小组研制了一种航模飞机，为了测试航模飞机的性能，飞机从水平放置的圆柱形发射台的上底面中心处起飞，其飞行轨迹是一条抛物线．以发射台的下底面中心为坐标原点，过原点的水平线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若发射台的高度为，测得当飞行的水平距离为时，飞机的飞行高度为；当飞行的水平距离为时，飞机的飞行高度为．
(1)求抛物线的解析式．
(2)求飞机飞行的最大高度及最远距离．
(3)由于发射台可以上下升降，保证其他起飞条件不变的前提下，抛物线随着起飞点的上下平移而上下平移．如图，在水平线轴上设置回收区域，，，要使飞机恰好降落到内（包括端点，），直接写出发射台的高度的取值范围．
20．二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，为抛物线上的两点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)当两点关于抛物线对称轴对称，是以点为直角顶点的直角三角形时，求点的坐标；
(3)拓展设问：点是平面直角坐标系中的一点，当点在第四象限内的抛物线上时，是否存在点，使得以为顶点的四边形是以为边的矩形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
21．如图，在平面直角坐标系中，经过点的抛物线（为常数，且）与x轴交于两点，与y轴交于点C，顶点为D，对称轴为直线．
(1)求抛物线的函数表达式和点D的坐标；
(2)将抛物线向左平移个单位长度后得到抛物线，抛物线的顶点为E，连接，请问在平移过程中，是否存在m的值，使得是等腰三角形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C D B B B B B
1．D
【分析】本题考查了二次函数的应用，求出飞机滑行的最大距离及时间是解题关键．由题意可知，当取最大值时，飞机停下来，将函数解析式化为的顶点式可知，当时，飞机停下来，滑行距离为米，再求出时的值，即可求解．
【详解】解：由题意可知，当取最大值时，飞机停下来，
，
即当时，飞机停下来，滑行距离为米，
当时，，
，
即飞机着陆后最后3s滑行的距离为，
故选：D．
2．C
【分析】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用，由题意可知，以地面为轴，大门左边与地面的交点为原点建立平面直角坐标系，抛物线过、、、，运用待定系数法求出解析式后，求函数值的最大值即可，解题的关键是建立数学模型，借助二次函数解决实际问题，注意根据线段长度得出各点的坐标．
【详解】解：以地面为轴，大门左边与地面的交点为原点建立平面直角坐标系，如图，
则抛物线过、、、，四点，设该抛物线解析式为：，
∴，解得：，
∴该抛物线解析式为，
则，
∴厂门的高度约为米，
故选：．
3．D
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意设出二次函数的顶点式，代入点即可求解．
【详解】解：∵当提出概念时，学生对概念的接受力最大，为，
∴可设与满足的二次函数关系式为，
将点代入得：，
解得：
∴
故选：D
4．B
【分析】本题考查了矩形的面积，构造二次函数求最值，熟练掌握矩形的性质，二次函数的性质是解题的关键，根据题意，列出方程，构造二次函数计算即可．
【详解】∵，则，依题意，得：
，
∵
∴，
解得，
故①错误；
当时，
即，
解得：，，
当时，不在范围中，舍去，
当时，成立．
故②错误；
，
∴当时，y有最大值为．
故③正确，
故选B．
5．B
【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，熟练运用二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
求出点A，C的坐标，即可求出杯口的口径长．
【详解】解：∵，
∴点D的坐标为，
当时，，
解得，
∴，，
∴；
故选：B．
6．B
【分析】本题考查二次函数的应用，设月平均增长率为x，根据题意列出函数关系式即可．
掌握增长率问题中增加量平均增长率原销售量，抓住公式列函数式是解题关键．
【详解】设月平均增长率为x，
根据题意得，．
故选：B．
7．B
【分析】本题考查二次函数的实际应用．根据函数的图象中的信息判断即可．
【详解】解：A、小球能达到的最高高度是45m，故选项错误；
B、小球抛出3秒时，达到最大高度，故选项正确；
C、小球抛出3秒时速度为0，故选项错误；
D、由图象，设函数表达式为：，图象经过原点，
∴，
解得：，
∴，
当时，或；故选项错误；
故选B．
8．B
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据函数表达式，可以求出的两根，两根之差即为小球的飞行到落地的时间；求出函数的最大值，即为小球飞行的最大高度；然后根据方程的意义为时所用的时间，据此解答．
【详解】解：的两根，，即时所用的时间，
小球的飞行高度是15m时，小球的飞行时间是1s或3s，故A错误；
，
对称轴为直线，最大值为20，故D错误；
时，，此时小球继续下降，故C错误；
当时，，，
，
小球从飞出到落地要用4s，故B正确．
故选：B．
9． 6 108m/108米
【分析】本题考查二次函数的应用，将题目中的函数解析式化为顶点式，即可得到当t为何值时，h取得最大值．
【详解】解：∵，
∴当时，h取得最大值，此时，
故答案为：6，108m．
10．4
【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
把二次函数写成顶点式，顶点为礼炮点火升空到最高点处的位置，则顶点的横坐标即为所求．
【详解】解：∵
∴当时，函数有最大值，
∴这种礼炮点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为秒．
故答案为：．
11． 6
【分析】本题考查了图象的平移，二次函数的性质，二次函数与三角形面积，根据图象的平移“上加下减，左加右减”得抛物线的表达式，抛物线的对称轴，点N的坐标为，在抛物线中，令，则，可得，即可得；掌握图象的平移，二次函数的性质，三角形面积公式是解题的关键．
【详解】解：根据题意得，抛物线的表达式为：，
∴抛物线的对称轴，点N的坐标为，
在抛物线中，令，则，
∴，
∴的高为2，底为，
∴的面积为：，
故答案为：，6．
12．10
【分析】本题考查了矩形的面积与周长，构造二次函数求值最值，熟练掌握矩形的性质，二次函数的性质是解题的关键，根据题意，列出方程，构造二次函数计算即可．
【详解】如图，∵，则，依题意，得：
，
∴当时，y有最大值为．
故答案为：10．
13．/
【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，由实际问题正确建立数学模型是解题的关键．设B为坐标原点，所在的直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为：，先分别将点B和点A的坐标代入，求得c的值并用a表示b，设，用含m的式子分别表示出点E和点P的坐标，代入解析式，从而得出关于a和m的方程组，求解即可．
【详解】解：设B为坐标原点，所在的直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图：
设抛物线解析式为：，
将代入得：，
∴，
∵米，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
则，
将点E和点P坐标分别代入抛物线解析式得：
，
解得：，
∴米，
故答案为：．
14．0.44/
【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意．求出抛物线解析式．根据题意求出抛物线顶点坐标为，把代入可得解析式，再令求出值即可得到答案．
【详解】解：如图，
根据题意抛物线顶点坐标为，与轴交点坐标为；
设抛物线解析式为，
把代入得：，
解得，
，
令得：，
水管的高度应为．
故答案为：0.44．
15．2
【分析】此题考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的对称性是解决问题的关键．根据题意，根据函数的对称性，即把直接代入解析式即可解答．
【详解】解：根据题意B的横坐标为，
把代入
得，
∴，
即水面与桥拱顶的高度等于.
故答案为：2
16．
【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合性质，掌握数形结合，构造全等三角形将点的坐标进行转换是解题的关键．
根据二次函数解析式求出点A、B、C、的坐标，然后求出线段的解析式，由全等三角形的性质得到，，设点D为，则用含m的式子可表示出点E的坐标，将点E的坐标代入抛物线的解析式可求得m的值，从而得到点D的坐标．
【详解】二次函数与轴交于点（点在点左边），与轴交于点，
令，则，
，
点A坐标为，点B坐标为，
令，则，
点C坐标为，
设线段的解析式为，把，代入得：
，
解得：，
线段的解析式为，
作轴于点M，作轴于点F
，，,
,
线段按逆时针方向旋转后得到线段，
，即，
，
，
，
设
点在第一象限上，
，，
点恰好落在二次函数在第一象限的图象上，
解得：，（舍去），
；
故答案为：
17．(1)这种商品的单价应涨30元或10元
(2)每件商品涨价元时，商场盈利最多
【分析】考查了二次函数及其应用问题；
（1）总利润每件利润销售量．每件衬衫应涨价元，据题意可得利润表达式列方程求解即可；
（2）设每天利润为元，根据函数关系式，运用函数的性质求最值．
【详解】（1）解：设衬衫的单价应涨价元，
由题意得：，
解之，得：，
∴这种商品的单价应涨30元或10元．
（2）设每天利润为元，每件衬衫应涨价元，
由题意得：，
当时，盈利最多为元．
∴每件商品涨价元时，商场盈利最多．
18．(1)
(2)自变量x的取值范围为
(3)的值为
【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意求出二次函数解析式，是解题的关键．
（1）篱笆只有两边，且其和为，设一边为，则另一边为，根据公式表示面积求解即可；
（2）根据实际意义，矩形边长应大于0，列不等式组求解即可；
（3）把代入解析式计算即可．
【详解】（1）解：由已知，矩形的另一边长为，
则；
即；
（2）解：根据实际意义，得，
解得：．
∴自变量的取值范围为；
（3）解：当时，则，
解得：，
即当时，的值为9．
19．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，能用待定系数法求出二次函数表达式及将一般式化成顶点式是解决本题的关键．
（1）设抛物线表达式为：，将，代入求解即可；
（2）将（1）中抛物线配成顶点式即可求出最大高度，再求出函数值为0时自变量的值即可得到最远飞行距离；
（3）设平移后的抛物线为：，将，代入求出对应的k即可得到答案．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，
将，代入中得，解得
∴抛物线的解析式为．
（2）解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴飞机飞行的最大高度为．
当时，，解得，（舍去），
∴飞机飞行的最远距离为．
（3）解：∵，，
∴，．
设平移后的抛物线的解析式为，
将代入得，解得，
将代入，得，解得，
∴，即．
20．(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的表达式即可．
（2）抛物线的对称轴为直线，点关于抛物线对称轴对称，得出点，设，根据勾股定理得并代入数值，可求出，即可求得点的坐标．
（3）设，得出，，，，分别代入和中，即可求出和点的值，设点构图后，再利用勾股定理可得点的坐标．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，
∴，
解得，
∴二次函数的表达式为；
（2）解：是以点为直角顶点的直角三角形时，.
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点关于抛物线对称轴对称，，
∴点，
设，
∵，
∴，
∴，
整理得：，
解得，（舍去），
∴，
∴；
（3）解：存在，设，其中，，，，
①当时，即，
∴，
∴，
解得（舍）或（舍）；
②时，
即，
∴，
解得（舍）或，
∴，
设所在直线的一次函数关系式为
又∵点，点，
∴
解得
∴所在直线的一次函数关系式为
∵四边形为矩形，
∴
∴可设所在直线的一次函数关系式为
将点代入中，
即
解得
∴所在直线的一次函数关系式为，
设点，可构图如下，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，交于点，即 ，
∵，，，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
解得：，
∴点，
综上所述，.
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的表达式，二次函数的图象和性质，矩形的性质，勾股定理，因式分解法解一元二次方程，熟练掌握以上知识是解题的关键．
21．(1)抛物线的函数表达式为，顶点D的坐标为；
(2)m的值为或5或．
【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键．
（1）利用待定系数法可求得抛物线的函数表达式，配方成顶点式即可求得顶点D的坐标；
（2）根据平移的性质得到，则顶点E的坐标为，利用两点之间的距离公式求得，，，分或或三种情况讨论，列出方程，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵经过点的抛物线，且对称轴为直线，
∴，
解得，
∴抛物线的函数表达式为，
，
∴顶点D的坐标为；
（2）解：由题意将向左平移个单位长度后得到抛物线，
∴，
∴的顶点E的坐标为，
对于，令，则，
∴与y轴交于点C的坐标为，
即，，其中，
∴，
，
，
当时，则，
解得（舍去）或，此时，，符合题意；
当时，则，
此时，，符合题意；
当时，
则，解得，此时，，符合题意；
综上，m的值为或5或．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)