沪科版（2024）数学八年级上册15.2线段的垂直平分线同步分层练习
一、夯实基础
1．（2023八上·龙湾月考）通过如下尺规作图，能确定点是边中点的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024八上·丰满期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交于点D，点M，交于点E，交于点F，若，则的周长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
3．（2025八上·红花岗期末）如图，为做好健康宣传——共享健康生活，某地方政府计划在三个小区中间修建一个健康活动中心．为了同时照顾三个小区的民众，决定将健康活动中心修建在到三个小区距离都相等的地方，则该健康活动中心应建在（ ）
A．两边高线的交点处
B．两边中线的交点处
C．两边垂直平分线的交点处
D．两内角的平分线的交点处
4．（2024八上·衡山期末）如图，中，，、的垂直平分线分别交于点、，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024八上·常德期末）如图，在中，，线段的垂直平分线交于点的周长是，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024八上·杭州期中）如图，在中，的垂直平分线交BC于，交AB于，若，则 .
7．（2024八上·随县期末）在中，的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E，，，，则 ．
8．（2025八上·鄞州期末）如图，在中，的中垂线交于点，交于点，已知，的周长为22，则 ．
9．（2024八上·武都期末）如图，在中，，的垂直平分线交于M，交于N，连接．
（1）若，求的度数；
（2）若，的周长是14cm，求的长．
二、能力提高
10．（2023八上·冠县月考）如图，在中，边上的两点，分别在，的垂直平分线上，若，则的周长为 ．
11．（2024八上·黔东南期末）在的边上找一点，使得．下面找法正确的是（ ）
A．如图①以为圆心，为半径画弧，交于点，点为所求
B．如图②以为圆心，为半径画弧，交于点，点为所求
C．如图③作的垂直平分线交于点，点为所求
D．如图④作的垂直平分线交于点，点为所求
12．（2022八上·如皋月考）如图，将放在每个小正方形边长均为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，若点B的坐标为，点C的坐标为，则到三个顶点距离相等的点的坐标为 ．
13．（2025八下·深圳期中）如图1，在△ABC，AB=AC，O为△ABC内一点，且OB=OC，求证：直线AO垂直平分BC．以下是小明的证题思路，请补全框图中的分析过程．
（1）要证直线AO垂直平分BC，只需证点A、点O都在BC的垂直平分线上，只需证 = ， = .
（2）如图2，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，且BD=CE．请你只用无刻度的直尺画出BC边的垂直平分线（不写画法，保留画图痕迹）．
（3）如图3，在五边形ABCDE中，AB=AE，BC=DE，∠B=∠E，请你只用无刻度的直尺画出CD边的垂直平分线，并说明理由．
14．（2023八上·丰南期中）如图，在四边形中，，为的中点，连接并延长，交的延长线于点．
（1）求证：
（2）点在线段的垂直平分线上，，，求四边形的面积．
15．（2023八上·前郭尔罗斯月考）如何设计与制作风筝呢？请同学们阅读“勤学小组”的项目实施过程，帮助他们解决项目实施过程中遇到的问题。
项目主题：设计与制作风筝．
项目实施：
（1）任务一：了解风筝：“勤学小组”的同学查阅了有关风筝的历史，种类，结构，制作等方面的资料，同时还收集到如图的风筝图案，请你帮助他们从中选出不是轴对称图形的风筝图案
（2）任务二：设计风筝：设计风筝时主要进行风筝面与风筝骨架的设计．“勤学小组”的同学设计好了风筝面，接下来在正方形网格中进行风筝骨架的设计，请你帮助他们以直线l为对称轴画出风筝骨架的另一半．
（3）任务三：制作风筝：传统风筝的技艺概括起来四个字：扎、糊、绘、放，简称“四艺”．“勒学小组”的同学准备用竹条扎制如图所示的风筝骨架，已知AD⊥BC于点D， BD=CD，AB=60cm，则竹条AC的长为 cm．
（4）任务四：放飞风筝：同学们拿着自己设计与制作的风筝进行了试飞，并根据试飞结果对风筝进行了修改完善．
项目反思：同学们对项目学习的整个过程进行反思，并编写了“简易风筝制作说明书”。请你写出一条在项目实施的过程中用到的数学知识
16．（2024八上·定西期末）如图1，和都是等腰三角形，，，与分别交于点和交于点G，连接．
（1）若，求的度数；
（2）如图2，连接求证：垂直平分．
三、拓展提升
17．（2023八上·义乌月考）如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿在上，在上折叠，点与点恰好重合，则为 度．
18．（2024八上·海曙开学考）如图所示，已知平分，于点E，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有 （把正确结论的序号填写在横线上）．
19．（2023八上·西安月考）如图，在中，，以为边，作，满足，点为上一点，连接，，连接.下列结论中正确的是 .（填序号）
①；②；③若，则；④.
20．（2024八上·扶余期末）如图，在中，，于点，交于点，，连接.
（1）如图1，当在内部时，求证：；
（2）如图2，当的边，分别在外部和内部时，求证：.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】作线段的垂直平分线可得线段的中点．
由此可知：选项A符合条件，
故选A．
【分析】
基本尺规作图中通过垂直平分线的做法可以得到中点，所以是边中点的一定是通过线段的垂直平分线得到的.
2．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵，的垂直平分线分别交于点D，点M，
∴，，
∵，
∴的周长为，
故选：A．
【分析】
由垂直平分线的性质得到，，则的周长转化为线段BC的长．
3．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的应用
【解析】【解答】解：由题意得：健康活动中心的位置是三条边的中垂线的交点，
即：该健康活动中心应建在两边垂直平分线的交点处；
故答案为：C．
【分析】根据垂直平分线上的点到线段的两端点相等解答即可．
4．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵、的垂直平分线分别交于点、，
∴∠B=∠EAB，∠FAC=∠C，
在△ABC中，∠BAC=105°，
∴∠B+∠C=180°-∠BAC=75°，
∴∠EAB+∠FAC=∠B+∠C=75°，
∴∠EAF=∠BAC-（∠EAB+∠FAC）=105°-75°=30°，
故答案为：C.
【分析】利用垂直平分线的性质可得∠B=∠EAB，∠FAC=∠C，再利用三角形内角和求出∠B+∠C=180°-∠BAC=75°，最后利用角的运算和等量代换可得∠EAF=∠BAC-（∠EAB+∠FAC）=105°-75°=30°.
5．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵线段的垂直平分线交于点，
∴，
∴的周长，
∴；
故选A．
【分析】本题考查中垂线的性质．根据中垂线的性质：中垂线上的任意一点到线段两端的距离相等，可推出，据此的周长，代入数据可求出答案．
6．【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的应用
【解析】【解答】解：连接AD．
∵AB的垂直平分线交BC于D，
∴AD＝BD，
∴∠BAD＝∠B＝15°，
∴∠ADC＝∠BAD＋∠B＝30°．
又∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，
∴AD＝2AC＝10．
故答案为：10.
【分析】连接AD．根据线段垂直平分线的性质将BD的长度转化为AD的长度，所以在直角△ACD中，利用含30度角的直角三角形来求AD的长度．
7．【答案】20或14
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】由垂直平分线的性质，，，然后结合图形，当点在线段之间时和当点在线段之间时两种情况，进行分类讨论，即可求出答案．
【解答】解：根据题意，
∵的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，
∴，，
①当点在线段之间时，分别过点E、D作，如下图
∴；
②当点在线段之间时，分别过点E、D作，如下图
∴；
故答案为：20或14．
8．【答案】12
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解： 的中垂线交于点，
，的周长为22，
故答案为：
【分析】由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得DA=DB，根据三角形周长计算方法、等量代换及线段的和差可将△BDC的周长转化为AC+BC，再代入BC的长度即可算出AC的长.
9．【答案】（1）解：∵
∴
∵
∴
∴
∵是的垂直平分线
∴
∴
∴．
（2）解：
∵，
∴
∵的周长是14
∴
∴即，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）先利用三角形的内角和求出∠A的度数，再结合垂直平分线的性质可得，最后利用角的运算求出即可；
（2）先利用三角形的周长公式及等量代换可得即，再结合AB=8，求出即可．
10．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵点，分别在，的垂直平分线上，
∴AD=BD，AE=CE，
∵，
∴C△ADE=AD+DE+AE=BD+DE+EC=BC=20，
故答案为：20.
【分析】利用垂直平分线的性质可得AD=BD，AE=CE，再利用三角形的周长公式及等量代换可得C△ADE=AD+DE+AE=BD+DE+EC=BC=20.
11．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：A、由作图可知BA=BP，不能得到 ，A错误；
B、由作图可知PA=PC，不能得到 ，B错误；
C、由作图可知点P在线段AB的垂直平分线上，
PA=PB，
，C正确；
D、由作图可知点P在线段AC的垂直平分线上，
PA=PC，不能得到 ，D错误.
故答案为：C.
【分析】③中，根据垂直平分线上点到线段两个端点的距离相等，可知PA=PB，再等量代换即可知C正确.
12．【答案】
【知识点】点的坐标；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：平面直角坐标系如图所示，和的垂直平分线的交点为，
∴到三个顶点距离相等的点的坐标为：.
故答案为：．
【分析】作出AB、AC的垂直平分线，其交点P即为到三个顶点距离相等的点，结合点P的位置可得相应的坐标.
13．【答案】（1）AB；AC；OB；OC
（2）解： 如下图，
（3）解：连接BD、CE交于点O，直线AO垂直平分CD，理由如下：
如下图所示：
∴在△ABC和△AED中
∴△ABC≌△AED（SAS）
∴AC=AD，∠ACB=∠ADE
∴∠ACD=∠ADC
∴∠ACD+∠BCD=∠ADE+∠ADC
∴∠BCD=∠CDE
∴在△BCD和△ECDA中
∴△BCD≌△ECD（SAS）
∴∠BDC=∠ECD
∴OC=OD
∴AO垂直平分CD
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】
解：（1）要证AO垂直平分BC，只要点A、点O都在BC的垂直平分线上，即AB=AC；OB=OC；
（2） 如图，连接BE、CD交于点O，延长AO交BC于点H，则直线AO为BC的垂直平分线
.
【分析】
本题考查线段垂直平分线的性质定理的逆定理、全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟知线段垂直平分线的性质定理的逆定理是解题关键.线段垂直平分线的性质定理逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
（1） 根据线段垂直平分线性质定理的逆定理可知：只要AB=AC；OB=OC即可说明AO垂直平分BC；
(2) 根据线段垂直平分线性质定理的逆定理可知：连接BD、CE相交于点O，延长AO交BC于点H，则直线AO垂直平分BC，由此可得出答案；
（3） 根据线段垂直平分线性质定理的逆定理可知：连接BD、CE交于点O，则直线AO垂直平分CD，根据题中的已知条件和全等三角形的判定定理SAS可证得△ABC≌△AED，再根据全等三角形的性质定理：对应边相等，对应角相等可知：AC=AD，∠ACB=∠ADE，再根据等腰三角形的性质：等边对等角可知：∠ACD=∠ADC，由等式的性质可知：∠BCD=∠CDE，再结合BC=DE和CD=CD，根据全等三角形的判定定理SAS可证得：△BCD≌△ECD，再根据全等三角形的性质定理：对应角相等可知：∠BDC=∠ECD，再根据等腰三角形的判定：等角对等边可知：OD=OC，由此可知直线AO为CD边的垂直平分线，由此可得出结论.
14．【答案】（1）证明：为中点，
，
在和中，，
，
．
（2）解：如图，连接，
由（1）已证：，
，
点在线段的垂直平分线上，
垂直平分，
，
∵四边形中，，，，
∴四边形是直角梯形，
∴四边形的面积为．
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）先根据中点即可得到，进而根据三角形全等的判定与性质证明即可求解；
（2）连接，进而根据三角形全等的性质得到，再根据线段垂直平分线的性质得到，进而结合题意运用四边形的面积为即可求解。
15．【答案】（1）C
（2）解：如图所示，即为所求
（3）60
（4）线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等或对应点的连线被对称轴垂直平分，（答案不唯一）
【知识点】垂线的概念；线段垂直平分线的性质；利用轴对称设计图案
【解析】【解答】 解：（1）任务一：不是轴对称图形的风筝图案是C，
故答案为：C；
（3） 任务三：∵AD⊥BC，BD=CD，
∴AC=AB=60cm，
∴竹条AC的长为60cm，
故答案为：60；
【分析】任务一：根据轴对称图形的性质即可判断；任务二：根据轴对称图形的性质即可完成作图；
任务三：根据线段垂直平分线的性质即可解决问题；任务四：根据以上完成的问题，即可解答。
16．【答案】（1）解：，
（2）解：，
又
又
在线段的垂直平分线上，
即垂直平分．
【知识点】角的运算；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先利用三角形的内角和及角的运算求出再结合，求出 即可；
（2）先利用“SAS”证出，可得，再利用“AAS”证出，可得BH=EH，再结合AB=AE，证出A，H在线段BE的垂直平分线上，即可得到AH垂直平分BE．
17．【答案】65
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：连接OB，OC，
OD垂直平分AB，
AO=BO，
∠OAB=∠OBA.
AB=AC，∠BAC=50°，
∠ABC=∠ACB=65°.
OA平分∠BAC，
∠BAO=∠CAO=∠BAC=25°，
∠OBA=25°，
∠OBC=40°.
在△ABO和△ACO中AB=AC，∠BAO=∠CAO，AO=AO，
△ABO≌△ACO（SAS），
BO=CO，
∠OBC=∠OCB=40°.
△EOF与△ECF关于EF对称，
OF=CF，∠OFE=∠CFE=∠OFC，
∠FCO=∠FOC=25°， ∴∠OFC=130°， ∴∠CFE=65°.
故答案为：65.
【分析】本题考查了三角形的折叠问题，在解题过程中我们先连接OB、OC，然后根据垂直平分线的性质和已知条件来进行解题，求得一部分角和边得关系去证全等，再用全等得到BO=CO，最后利用对称关系和三角形内角和知识来求解。
18．【答案】①②③④
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，在上取点使
∵平分
∴
∵
∴
∴，
∵
∴AB=AF＋2BE
∵
∴
∵
∴CE是BF的垂直平分线
∴
∴
∴③正确
∵
∴①正确
∵
∴∠CFB=∠CBF
∵
∵
∴
∴②正确
∵EF=EB，
∵，
∴
∴④正确
综上：①②③④均正确
故答案为：①②③④．
【分析】，得出：在上取点使，根据SAS证明：，得出，，再根据，证明出CE是BF的垂直平分线，因而可以得到：，再根据等量代换，得出，再根据等量代换，可以得出：，
再由，结合∠CFB=∠CBF，得出：，最后根据EF=EB，，可以得到：，，因此可以得到：.
19．【答案】②③④
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：延长EB至点G，使得BE=BG，假设AC与DE交于点M，如下图：
∵∠ABC=90°，BE=BG
∴AB垂直平分∠GAE
∴∠GAE=2∠BAE，AG=AE
∵
∴∠GAE=∠CAD
∴∠GAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC，即∠GAC=∠EAD；
∵AG=AE，∠GAC=∠EAD，AC=AD；
∴△AGC≌△AED（SAS）
∴∠G=∠AED，∠ACB=∠ADE，②正确；
∵AB垂直平分∠GAE
∴∠G=∠AEG=∠AED
∴EA平分∠BDE
当∠BAE≠∠EAM时，∠AME≠90°；
∴无法证明AC⊥DE，①错误；
设∠BAE=a，则∠CAD=2a，∠ACD=∠ADC=90°-a；
∵CD∥AB
∴∠BAC=∠ACD=90°-a
∴∠CAE=90°-a-a=90°-2a
∴∠DAE=90°-2a+2a=90°
∴AE⊥AD，③正确；
∵△AGC≌△AED
∴CG=DE
∴CG=CE+GE=CE+2BE，④正确；
综上所述，正确的为②③④.
故答案为：②③④.
【分析】根据垂直平分线的判定和性质，可得∠GAE=2∠BAE，AG=AE；根据三角形全等的判定（SAS）和性质，可得∠G=∠AED，∠ACB=∠ADE，CG=DE；根据平行线的性质，可得∠BAC=∠ACD；根据交的和差性质，可得∠DAE=90°-2a+2a=90°.
20．【答案】（1）证明：如图，在上截取，连接.
∵，
∴，.
又∵，
∴.
∵，
∴.
∴.
∴.
在和中，
∴.
∴.
∴.
（2）证明：如图，在的延长线上截取，连接.
∵，
∴，.
又∵，
∴.
∵，
∴.
∴.
∴.
在和中，
∴.
∴.
∵，
∴.
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-SAS；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】（1） 从问题入手，三条线段不在一个三角形或一条边上，想办法等量代换，如果在EF找到一点将EF的分成两段，与等号另一边两线段分别相等就可以证得结论了，结合已知的等边等角条件，故想到在EF上找到一点H，令EH=BH，连接AF作辅助线；接下来需要证明FH=FC，要证明两线段相等，通常可先尝试证明线段所在的三角形全等，整理已知条件，可以用由SAS定理证明全等，至此整理思路即可；（2）基本思路同（1），观察需要证明的等式，作辅助线找到线段BE的2倍，故想到在FE的延长线上找到一点N，令EN=BE，连接AN，则需要证明CF=NF，同样要证明两线段相等，先证明线段所在的三角形全等，整理已知条件，可以用由SAS定理证明全等，至此整理思路写出证明过程。
1 / 1沪科版（2024）数学八年级上册15.2线段的垂直平分线同步分层练习
一、夯实基础
1．（2023八上·龙湾月考）通过如下尺规作图，能确定点是边中点的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】作线段的垂直平分线可得线段的中点．
由此可知：选项A符合条件，
故选A．
【分析】
基本尺规作图中通过垂直平分线的做法可以得到中点，所以是边中点的一定是通过线段的垂直平分线得到的.
2．（2024八上·丰满期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交于点D，点M，交于点E，交于点F，若，则的周长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵，的垂直平分线分别交于点D，点M，
∴，，
∵，
∴的周长为，
故选：A．
【分析】
由垂直平分线的性质得到，，则的周长转化为线段BC的长．
3．（2025八上·红花岗期末）如图，为做好健康宣传——共享健康生活，某地方政府计划在三个小区中间修建一个健康活动中心．为了同时照顾三个小区的民众，决定将健康活动中心修建在到三个小区距离都相等的地方，则该健康活动中心应建在（ ）
A．两边高线的交点处
B．两边中线的交点处
C．两边垂直平分线的交点处
D．两内角的平分线的交点处
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的应用
【解析】【解答】解：由题意得：健康活动中心的位置是三条边的中垂线的交点，
即：该健康活动中心应建在两边垂直平分线的交点处；
故答案为：C．
【分析】根据垂直平分线上的点到线段的两端点相等解答即可．
4．（2024八上·衡山期末）如图，中，，、的垂直平分线分别交于点、，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵、的垂直平分线分别交于点、，
∴∠B=∠EAB，∠FAC=∠C，
在△ABC中，∠BAC=105°，
∴∠B+∠C=180°-∠BAC=75°，
∴∠EAB+∠FAC=∠B+∠C=75°，
∴∠EAF=∠BAC-（∠EAB+∠FAC）=105°-75°=30°，
故答案为：C.
【分析】利用垂直平分线的性质可得∠B=∠EAB，∠FAC=∠C，再利用三角形内角和求出∠B+∠C=180°-∠BAC=75°，最后利用角的运算和等量代换可得∠EAF=∠BAC-（∠EAB+∠FAC）=105°-75°=30°.
5．（2024八上·常德期末）如图，在中，，线段的垂直平分线交于点的周长是，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵线段的垂直平分线交于点，
∴，
∴的周长，
∴；
故选A．
【分析】本题考查中垂线的性质．根据中垂线的性质：中垂线上的任意一点到线段两端的距离相等，可推出，据此的周长，代入数据可求出答案．
6．（2024八上·杭州期中）如图，在中，的垂直平分线交BC于，交AB于，若，则 .
【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的应用
【解析】【解答】解：连接AD．
∵AB的垂直平分线交BC于D，
∴AD＝BD，
∴∠BAD＝∠B＝15°，
∴∠ADC＝∠BAD＋∠B＝30°．
又∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，
∴AD＝2AC＝10．
故答案为：10.
【分析】连接AD．根据线段垂直平分线的性质将BD的长度转化为AD的长度，所以在直角△ACD中，利用含30度角的直角三角形来求AD的长度．
7．（2024八上·随县期末）在中，的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E，，，，则 ．
【答案】20或14
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】由垂直平分线的性质，，，然后结合图形，当点在线段之间时和当点在线段之间时两种情况，进行分类讨论，即可求出答案．
【解答】解：根据题意，
∵的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，
∴，，
①当点在线段之间时，分别过点E、D作，如下图
∴；
②当点在线段之间时，分别过点E、D作，如下图
∴；
故答案为：20或14．
8．（2025八上·鄞州期末）如图，在中，的中垂线交于点，交于点，已知，的周长为22，则 ．
【答案】12
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解： 的中垂线交于点，
，的周长为22，
故答案为：
【分析】由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得DA=DB，根据三角形周长计算方法、等量代换及线段的和差可将△BDC的周长转化为AC+BC，再代入BC的长度即可算出AC的长.
9．（2024八上·武都期末）如图，在中，，的垂直平分线交于M，交于N，连接．
（1）若，求的度数；
（2）若，的周长是14cm，求的长．
【答案】（1）解：∵
∴
∵
∴
∴
∵是的垂直平分线
∴
∴
∴．
（2）解：
∵，
∴
∵的周长是14
∴
∴即，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）先利用三角形的内角和求出∠A的度数，再结合垂直平分线的性质可得，最后利用角的运算求出即可；
（2）先利用三角形的周长公式及等量代换可得即，再结合AB=8，求出即可．
二、能力提高
10．（2023八上·冠县月考）如图，在中，边上的两点，分别在，的垂直平分线上，若，则的周长为 ．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵点，分别在，的垂直平分线上，
∴AD=BD，AE=CE，
∵，
∴C△ADE=AD+DE+AE=BD+DE+EC=BC=20，
故答案为：20.
【分析】利用垂直平分线的性质可得AD=BD，AE=CE，再利用三角形的周长公式及等量代换可得C△ADE=AD+DE+AE=BD+DE+EC=BC=20.
11．（2024八上·黔东南期末）在的边上找一点，使得．下面找法正确的是（ ）
A．如图①以为圆心，为半径画弧，交于点，点为所求
B．如图②以为圆心，为半径画弧，交于点，点为所求
C．如图③作的垂直平分线交于点，点为所求
D．如图④作的垂直平分线交于点，点为所求
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：A、由作图可知BA=BP，不能得到 ，A错误；
B、由作图可知PA=PC，不能得到 ，B错误；
C、由作图可知点P在线段AB的垂直平分线上，
PA=PB，
，C正确；
D、由作图可知点P在线段AC的垂直平分线上，
PA=PC，不能得到 ，D错误.
故答案为：C.
【分析】③中，根据垂直平分线上点到线段两个端点的距离相等，可知PA=PB，再等量代换即可知C正确.
12．（2022八上·如皋月考）如图，将放在每个小正方形边长均为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，若点B的坐标为，点C的坐标为，则到三个顶点距离相等的点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】点的坐标；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：平面直角坐标系如图所示，和的垂直平分线的交点为，
∴到三个顶点距离相等的点的坐标为：.
故答案为：．
【分析】作出AB、AC的垂直平分线，其交点P即为到三个顶点距离相等的点，结合点P的位置可得相应的坐标.
13．（2025八下·深圳期中）如图1，在△ABC，AB=AC，O为△ABC内一点，且OB=OC，求证：直线AO垂直平分BC．以下是小明的证题思路，请补全框图中的分析过程．
（1）要证直线AO垂直平分BC，只需证点A、点O都在BC的垂直平分线上，只需证 = ， = .
（2）如图2，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，且BD=CE．请你只用无刻度的直尺画出BC边的垂直平分线（不写画法，保留画图痕迹）．
（3）如图3，在五边形ABCDE中，AB=AE，BC=DE，∠B=∠E，请你只用无刻度的直尺画出CD边的垂直平分线，并说明理由．
【答案】（1）AB；AC；OB；OC
（2）解： 如下图，
（3）解：连接BD、CE交于点O，直线AO垂直平分CD，理由如下：
如下图所示：
∴在△ABC和△AED中
∴△ABC≌△AED（SAS）
∴AC=AD，∠ACB=∠ADE
∴∠ACD=∠ADC
∴∠ACD+∠BCD=∠ADE+∠ADC
∴∠BCD=∠CDE
∴在△BCD和△ECDA中
∴△BCD≌△ECD（SAS）
∴∠BDC=∠ECD
∴OC=OD
∴AO垂直平分CD
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】
解：（1）要证AO垂直平分BC，只要点A、点O都在BC的垂直平分线上，即AB=AC；OB=OC；
（2） 如图，连接BE、CD交于点O，延长AO交BC于点H，则直线AO为BC的垂直平分线
.
【分析】
本题考查线段垂直平分线的性质定理的逆定理、全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟知线段垂直平分线的性质定理的逆定理是解题关键.线段垂直平分线的性质定理逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
（1） 根据线段垂直平分线性质定理的逆定理可知：只要AB=AC；OB=OC即可说明AO垂直平分BC；
(2) 根据线段垂直平分线性质定理的逆定理可知：连接BD、CE相交于点O，延长AO交BC于点H，则直线AO垂直平分BC，由此可得出答案；
（3） 根据线段垂直平分线性质定理的逆定理可知：连接BD、CE交于点O，则直线AO垂直平分CD，根据题中的已知条件和全等三角形的判定定理SAS可证得△ABC≌△AED，再根据全等三角形的性质定理：对应边相等，对应角相等可知：AC=AD，∠ACB=∠ADE，再根据等腰三角形的性质：等边对等角可知：∠ACD=∠ADC，由等式的性质可知：∠BCD=∠CDE，再结合BC=DE和CD=CD，根据全等三角形的判定定理SAS可证得：△BCD≌△ECD，再根据全等三角形的性质定理：对应角相等可知：∠BDC=∠ECD，再根据等腰三角形的判定：等角对等边可知：OD=OC，由此可知直线AO为CD边的垂直平分线，由此可得出结论.
14．（2023八上·丰南期中）如图，在四边形中，，为的中点，连接并延长，交的延长线于点．
（1）求证：
（2）点在线段的垂直平分线上，，，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：为中点，
，
在和中，，
，
．
（2）解：如图，连接，
由（1）已证：，
，
点在线段的垂直平分线上，
垂直平分，
，
∵四边形中，，，，
∴四边形是直角梯形，
∴四边形的面积为．
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）先根据中点即可得到，进而根据三角形全等的判定与性质证明即可求解；
（2）连接，进而根据三角形全等的性质得到，再根据线段垂直平分线的性质得到，进而结合题意运用四边形的面积为即可求解。
15．（2023八上·前郭尔罗斯月考）如何设计与制作风筝呢？请同学们阅读“勤学小组”的项目实施过程，帮助他们解决项目实施过程中遇到的问题。
项目主题：设计与制作风筝．
项目实施：
（1）任务一：了解风筝：“勤学小组”的同学查阅了有关风筝的历史，种类，结构，制作等方面的资料，同时还收集到如图的风筝图案，请你帮助他们从中选出不是轴对称图形的风筝图案
（2）任务二：设计风筝：设计风筝时主要进行风筝面与风筝骨架的设计．“勤学小组”的同学设计好了风筝面，接下来在正方形网格中进行风筝骨架的设计，请你帮助他们以直线l为对称轴画出风筝骨架的另一半．
（3）任务三：制作风筝：传统风筝的技艺概括起来四个字：扎、糊、绘、放，简称“四艺”．“勒学小组”的同学准备用竹条扎制如图所示的风筝骨架，已知AD⊥BC于点D， BD=CD，AB=60cm，则竹条AC的长为 cm．
（4）任务四：放飞风筝：同学们拿着自己设计与制作的风筝进行了试飞，并根据试飞结果对风筝进行了修改完善．
项目反思：同学们对项目学习的整个过程进行反思，并编写了“简易风筝制作说明书”。请你写出一条在项目实施的过程中用到的数学知识
【答案】（1）C
（2）解：如图所示，即为所求
（3）60
（4）线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等或对应点的连线被对称轴垂直平分，（答案不唯一）
【知识点】垂线的概念；线段垂直平分线的性质；利用轴对称设计图案
【解析】【解答】 解：（1）任务一：不是轴对称图形的风筝图案是C，
故答案为：C；
（3） 任务三：∵AD⊥BC，BD=CD，
∴AC=AB=60cm，
∴竹条AC的长为60cm，
故答案为：60；
【分析】任务一：根据轴对称图形的性质即可判断；任务二：根据轴对称图形的性质即可完成作图；
任务三：根据线段垂直平分线的性质即可解决问题；任务四：根据以上完成的问题，即可解答。
16．（2024八上·定西期末）如图1，和都是等腰三角形，，，与分别交于点和交于点G，连接．
（1）若，求的度数；
（2）如图2，连接求证：垂直平分．
【答案】（1）解：，
（2）解：，
又
又
在线段的垂直平分线上，
即垂直平分．
【知识点】角的运算；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先利用三角形的内角和及角的运算求出再结合，求出 即可；
（2）先利用“SAS”证出，可得，再利用“AAS”证出，可得BH=EH，再结合AB=AE，证出A，H在线段BE的垂直平分线上，即可得到AH垂直平分BE．
三、拓展提升
17．（2023八上·义乌月考）如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿在上，在上折叠，点与点恰好重合，则为 度．
【答案】65
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：连接OB，OC，
OD垂直平分AB，
AO=BO，
∠OAB=∠OBA.
AB=AC，∠BAC=50°，
∠ABC=∠ACB=65°.
OA平分∠BAC，
∠BAO=∠CAO=∠BAC=25°，
∠OBA=25°，
∠OBC=40°.
在△ABO和△ACO中AB=AC，∠BAO=∠CAO，AO=AO，
△ABO≌△ACO（SAS），
BO=CO，
∠OBC=∠OCB=40°.
△EOF与△ECF关于EF对称，
OF=CF，∠OFE=∠CFE=∠OFC，
∠FCO=∠FOC=25°， ∴∠OFC=130°， ∴∠CFE=65°.
故答案为：65.
【分析】本题考查了三角形的折叠问题，在解题过程中我们先连接OB、OC，然后根据垂直平分线的性质和已知条件来进行解题，求得一部分角和边得关系去证全等，再用全等得到BO=CO，最后利用对称关系和三角形内角和知识来求解。
18．（2024八上·海曙开学考）如图所示，已知平分，于点E，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有 （把正确结论的序号填写在横线上）．
【答案】①②③④
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，在上取点使
∵平分
∴
∵
∴
∴，
∵
∴AB=AF＋2BE
∵
∴
∵
∴CE是BF的垂直平分线
∴
∴
∴③正确
∵
∴①正确
∵
∴∠CFB=∠CBF
∵
∵
∴
∴②正确
∵EF=EB，
∵，
∴
∴④正确
综上：①②③④均正确
故答案为：①②③④．
【分析】，得出：在上取点使，根据SAS证明：，得出，，再根据，证明出CE是BF的垂直平分线，因而可以得到：，再根据等量代换，得出，再根据等量代换，可以得出：，
再由，结合∠CFB=∠CBF，得出：，最后根据EF=EB，，可以得到：，，因此可以得到：.
19．（2023八上·西安月考）如图，在中，，以为边，作，满足，点为上一点，连接，，连接.下列结论中正确的是 .（填序号）
①；②；③若，则；④.
【答案】②③④
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：延长EB至点G，使得BE=BG，假设AC与DE交于点M，如下图：
∵∠ABC=90°，BE=BG
∴AB垂直平分∠GAE
∴∠GAE=2∠BAE，AG=AE
∵
∴∠GAE=∠CAD
∴∠GAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC，即∠GAC=∠EAD；
∵AG=AE，∠GAC=∠EAD，AC=AD；
∴△AGC≌△AED（SAS）
∴∠G=∠AED，∠ACB=∠ADE，②正确；
∵AB垂直平分∠GAE
∴∠G=∠AEG=∠AED
∴EA平分∠BDE
当∠BAE≠∠EAM时，∠AME≠90°；
∴无法证明AC⊥DE，①错误；
设∠BAE=a，则∠CAD=2a，∠ACD=∠ADC=90°-a；
∵CD∥AB
∴∠BAC=∠ACD=90°-a
∴∠CAE=90°-a-a=90°-2a
∴∠DAE=90°-2a+2a=90°
∴AE⊥AD，③正确；
∵△AGC≌△AED
∴CG=DE
∴CG=CE+GE=CE+2BE，④正确；
综上所述，正确的为②③④.
故答案为：②③④.
【分析】根据垂直平分线的判定和性质，可得∠GAE=2∠BAE，AG=AE；根据三角形全等的判定（SAS）和性质，可得∠G=∠AED，∠ACB=∠ADE，CG=DE；根据平行线的性质，可得∠BAC=∠ACD；根据交的和差性质，可得∠DAE=90°-2a+2a=90°.
20．（2024八上·扶余期末）如图，在中，，于点，交于点，，连接.
（1）如图1，当在内部时，求证：；
（2）如图2，当的边，分别在外部和内部时，求证：.
【答案】（1）证明：如图，在上截取，连接.
∵，
∴，.
又∵，
∴.
∵，
∴.
∴.
∴.
在和中，
∴.
∴.
∴.
（2）证明：如图，在的延长线上截取，连接.
∵，
∴，.
又∵，
∴.
∵，
∴.
∴.
∴.
在和中，
∴.
∴.
∵，
∴.
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-SAS；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】（1） 从问题入手，三条线段不在一个三角形或一条边上，想办法等量代换，如果在EF找到一点将EF的分成两段，与等号另一边两线段分别相等就可以证得结论了，结合已知的等边等角条件，故想到在EF上找到一点H，令EH=BH，连接AF作辅助线；接下来需要证明FH=FC，要证明两线段相等，通常可先尝试证明线段所在的三角形全等，整理已知条件，可以用由SAS定理证明全等，至此整理思路即可；（2）基本思路同（1），观察需要证明的等式，作辅助线找到线段BE的2倍，故想到在FE的延长线上找到一点N，令EN=BE，连接AN，则需要证明CF=NF，同样要证明两线段相等，先证明线段所在的三角形全等，整理已知条件，可以用由SAS定理证明全等，至此整理思路写出证明过程。
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