沪科版（2024）数学八年级上册15.3角的平分线同步分层练习
一、夯实基础
1．（2022八上·青秀月考）观察下列作图痕迹，所作线段为的角平分线的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：：所作线段为AB边上的高，选项错误；
B：做图痕迹为AB边上的中垂线，CD为AB边上的中线，选项错误；
C：CD为的角平分线，满足题意。
D：所作线段为AB边上的高，选项错误
故选：Ｃ.
【分析】根据角平分线定义逐项进行判断即可求出答案.
2．（2024八上·寻甸期中）如图，是一块三角形的草坪，现在要在草坪上修建一个凉亭供大家乘凉，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．三角形三条边的垂直平分线的交点处
B．三角形三条高的交点处
C．三角形三条中线的交点处
D．三角形三个内角的角平分线的交点处
【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴凉亭的位置应为三角形三个内角的角平分线的交点，
故答案为：D．
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，从而得出的角平分线交于三角形内一点，判断它到三角形各边的距离是否相等求解即可.
3．（2025八上·泸县期末）如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，的面积为5，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图：过D作垂足为F，
∵的面积为5，
∴，
∴，解得：，
∵平分交于点D，，，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据三角形面积公式可得DF，再根据角平分线的性质即可解答．
4．（2025八上·红花岗期末）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于的长为半径画弧，分别交于点；②分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线交边于点D．若，则的面积是（ ）
A．40 B．22 C．20 D．10
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：过点D作于点H，
由作图可知，射线为的平分线，
，
，
的面积为
故答案为：C.
【分析】过点D作于点H，根据作图得到平分，则可得到DH长，再利用三角形的面积公式解题．
5．（2024八上·西湖月考）如图，已知．小明按如下步骤作图：
（1）以点为圆心、适当长为半径作弧，交于点，交于点；
（2）分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部相交于点；
（3）作射线．
A．射线是的平分线 B．线段平分线段
C．点和点关于直线对称 D．
【答案】A
【知识点】尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：根据作图的步骤和图形可知：
尺规作图实际上是平分了，
∴射线是的平分线.
故答案为：A．
【分析】根据作图步骤并结合图形即可判断求解．
6．（2024八上·拱墅月考）如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于，两点；再分别以，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，作射线交于点．若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：根据基本作图可得是的平分线，
∴，
∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】根据基本作图可得是的平分线，可得的关系，再根据两直线平行，同旁内角互补可得∠CAB的度数，即可求∠BAH的度数，再利用两直线平行内错角相等即可得 的大小．
7． 如图是用直尺和圆规作∠BAC的平分线的示意图.依据作法可知，下列结论错误的是( ).
A．AE=AF B．∠FDA=∠EAD
C．FD=ED D．△AFD≌△AED的根据是“SSS”
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作角的平分线；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：根据作图过程可知：AF=AE，DF=DE，
在△FAD和△EAD中，
，
∴△FAD≌△EAD（SSS），
∴∠FDA=∠ADE，故B选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据作图痕迹可得AF=AE，DF=DE，根据三组对应边分别相等的两个三角形全等得出△FAD≌△EAD，根据全等三角形的对应角相等得出∠FDA=∠ADE，即可求解.
8．如图，是的角平分线，若，，则的面积为 ．
【答案】5
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过作于，
是的角平分线，，
，
，
的面积．
故答案为：5．
【分析】过作于，根据角平分线的性质可得，然后利用三角形面积公式计算解题．
9．（2024八上·白云月考）如图，是内部的一条射线，P是射线上任意一点，．下列条件：，其中能判定是的平分线的有 ．（填序号）
【答案】①②③④
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的判定；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】
∵，∴是的平分线，故①正确；
∵，
∴是的平分线，故②正确；
∵，
∴
∵，
∴
∴
∴是的平分线，故③正确；
∵，
∴
∵，
∴
∴
∴是的平分线，故④正确；
故答案为：①②③④．
【分析】根据角平分线的定义，由①可直接得出是的平分线 ；根据角平分线的判定定理可直接由②判定是的平分线 ；根据HL可证得，即可得出是的平分线；由④可根据AAS证明，进一步即可得出是的平分线，综上即可得出答案。
10．（2024八上·道县期末）如图①，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制伞．油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图②，伞圈D沿着伞柄滑动时，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，伞骨，的B，C点固定不动，且到点A的距离．
（1）当D点在伞柄上滑动时，处于同一平面的两条伞骨和相等吗？请说明理由．
（2）如图③，当油纸伞撑开时，伞的边缘M，N与点D在同一直线上，若，，求的度数．
【答案】（1）解：相等．理由如下：
∵伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，
∴．
在和中，
∵，
∴．
∴．
（2）解：∵，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据全等三角形判定定理可得，则即可求出答案.
（2）根据角平分线性质可得，则，再根据全等三角形性质即可求出答案.
11．（2023八上·越秀月考）如图，在中，、分别在、上且，平分，于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：过点作，垂足为，
平分，，，
，，
在与中
，
≌，
，，
，
；
（2）解：，
在与中
，
≌，
，
设，
则，，
，
解得，，
．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质，得到CM=CH，再根据直角三角形全等的判定（HL），可证明，可得DM=BH，∠1=∠B，等量代换即可证明.
（2）首先利用直角三角形全等的判定（HL），可证明即可得AM=AH，设BH=BM=x结合题目给出的条件列出关于x的方程，解出x得到答案.
二、能力提高
12．（2024八上·义乌月考）如图，是的角平分线，于点E，的面积，，则的长是 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点作，交于点，如图：
∵是的角平分线，，，，
∴，
∵的面积，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据题意得到，再根据三角形面积公式即可求解．
13．（2024八上·北京市开学考）如图所示，和的角平分线相交于点P，，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵和的角平分线相交于点P，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据角平分线定义可得 ，再根据三角形外角性质可得 ，即可求出答案.
14．（2024八上·河源期末）如图，在中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；…；和的平分线交于点，则 °．
【答案】/
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：因为和的平分线交于点，
所以，
所以，
同理，，
，
，
当n=2023时，°，
故填：
【分析】结合角平分线的性质与三角形外角的性质可知，进而知，，根据规律即可知，可求出答案.
15．（2024八上·扶余期末）如图，是的角平分线，于点，于点，连接交于点，下列结论：①；②；③；④；⑤，正确的是 （填序号）.
【答案】②④⑤
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】
①；
AD是的角平分线，，
DE=DF
当且仅当时才有BE=DE
故①不正确
②；
AD是的角平分线，
，
故②正确
③；
在②的正确结论下
当且仅当时才有EG=AG
故③不正确
④；
在②的结论下，AE=AF，
是等腰三角形
AD是的角平分线
(三线合一)
故④正确
⑤
在②的证明中
故⑤正确
综上，故填： ②④⑤
【分析】根据角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等；根据等腰三角形的三线合一定理、三角形全等的判定和性质定理可以逐一判定出正确的选项。
16．（2024八上·广州月考）如图，△ABC中，∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF.则下列结论中正确的个数( )
①BP平分∠ABC； ②∠ABC+2∠APC=180°；
③∠CAB=2∠CPB；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；角平分线的判定；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，过点P作PD⊥AC于点D，
∵ ∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P， 且 ，PM⊥BE，PN⊥BF.∠CAB=180°-∠ABC-∠ACB，
∴PM=PD=PN，
∴BP平分∠ABC；即①正确；
∵∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P，
∴∠PAC=，∠PCA=，
∴∠APC=180°-∠PAC-∠PCA=180°--=，
∴ ∠ABC+2∠APC =∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°；即②正确；
∵ BP平分∠ABC； CP平分∠ACF，
∴∠CBP=，∠ACP=，
∴∠CPB=180°-∠CBP-∠BCP=180°-∠CBP-(∠BCA+∠ACP)=180°--∠BCA-=90°--
∵∠CAB=180°-∠ABC-∠ACB=2（90°--）=2∠CPB；即③正确；
∵ ∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P， 且 ，PM⊥BE，PN⊥BF.PD⊥AC于点D，
∴PM=PD=PN，
在Rt和Rt中：PM=PD，PA=PA，
∴Rt≌Rt，
∴AM=AD，
同理可证：CD=CN，
∴AC=AM+CN，
又∵S△PAC = 12×AC×PD ， S△MAP=12×AM×PM，S△NCP=12×CN×PN ， ∴即④正确。
故答案为：D.
【分析】如图，过点P作PD⊥AC于点D，根据角平分线的性质定理及判定定理可得出①正确；根据三角形相邻内外角之间的关系及角平分线的定义可得出∠PAC=，∠PCA=，进而根据内角和定理可得出∠APC=，进而根据三角形内角和定理可而出 ②∠ABC+2∠APC=180°；根据三角形内角和及角平分线的定义得∠CPB=90°--，再根据三角形内角和定理得出∠CAB=180°-∠ABC-∠ACB，进一步变形，即可得出 ③∠CAB=2∠CPB； 再根据HL判定Rt≌Rt，得出AM=AD，同理CD=CN，可得AC=AM+CN，在根据角平分线的性质定理，得出PM=PD=PN，进一步根据三角形面积计算公式可得出综上即可得出答案。
17．（2024八上·潮南月考）如图，AD是的角平分线，于点，点E，G分别在AB，AC上，且，若，，则的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作于H，
∵是的角平分线，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴的面积的面积，
设的面积的面积，
同理可证，，
∴的面积的面积，
∴，
解得，，
故选：A．
【分析】过点D作于H，根据角平分性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则的面积的面积，设的面积的面积，再根据全等三角形判定定理可得，则的面积的面积，建立方程，解方程即可求出答案.
18．（2024八上·新会月考）如图， 的外角 的平分线交 边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于E.
（1）求证： ；
（2） 若 ， 求 的长.
【答案】（1）证明：(1)连接BP、CP
∵点P在BC的垂直平分线上，
∴BP=CP，
∵AP是∠DAC的平分线，PD⊥AB，PE⊥AC，
∴DP=EP，
在RtABP和Rt△CEP中，
∵BP=CP，DP=EP，
∴Rt△BDP≌Rt△CEP（HL)，
∴BD=CE；
（2）解：(2)在Rt△ADP和Rt△AEP中，AP=AP，DP=EP，
在Rt△ADP≌Rt△AEP（HL)，
∴AD=AE，
∴AB=6cm，AC=10cm，
∴6 +AD=10-AE.
即6+AD =10-AD，解得AD =2cm.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）连接BP、CP，根据线段垂直平分线的性质，可得BP=CP，根据角平分线的性质可得DP=EP，然后根据HL即可判定Rt△BDP≌Rt△CEP，从而得出BD=CE；
（2）首先根据HL可判定Rt△ADP≌Rt△AEP，得出AD=AE，再根据（1）的结论，BD=CE，可得出等式：6 +AD=10-AE.即：
6 +AD=10-AD，解得AD的长即可。
19．（2025八上·滨江期末）如图，在中，，分别平分和，，相交于点P，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．
B．与的面积比等于边与之比
C．
D．若，则
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：过点P作于点M，作于点N，作于点H，
∵平分，，，
∴，
∵平分，，，
∴，
∴，
∵，，
∴平分，
∴．故选项A的结论一定成立；
．故选项B的结论一定成立；
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴．故选项D的结论一定成立．
根据题意无法证明选项C的结论一定成立．
故答案为：C.
【分析】过点P作于点M，作于点N，作于点H，利用角平分线的性质及判定判断A选项；利用三角形的面积公式判断B选项，利用三角形的内角和定理判断D选项解题即可．
20．（2024八上·武威月考）如图，已知在中，，，平分，平分．
（1）如图1，求的度数；
（2）如图2，连接，作，，，求的面积．
【答案】（1）解：平分，
，
平分，
，
，
的度数为；
（2）解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，
平分，，，
，
平分，，，
，
的面积
，
故的面积为4．
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；角平分线的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据角平分线定义可得，，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
（2）过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据角平分线性质可得，，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）平分，
，
平分，
，
，
的度数为；
（2）过点作，垂足为，过点作，垂足为，
平分，，，
，
平分，，，
，
的面积
，
故的面积为4．
三、拓展提升
21．（2024八上·平南期末）
（1）【问题情境】我国古代已经用角尺平分任意角，做法如下：如图①，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点重合，则过角尺顶点的射线是的平分线．请说明此做法的理由；
（2）【拓展实践】某公园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口（如图②），现要在两条小路之间安装一盏路灯，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯到休息椅和的距离相等．问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的备用图中作出路灯的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】（1）解：理由：由题意得，
，
∴∠AOC=∠BOC，
∴OC是∠AOB的平分线.
（2）解：如图，点E即为所求
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）先利用“SSS”证出，再利用全等三角形的性质可得∠AOC=∠BOC，即可得到OC是∠AOB的平分线；
（2）先作出线段MN的垂直平分线，再作出∠BAC的角平分线，它们的交点即是点E.
22．（2024八上·增城期中）如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C在x轴上，CD平分∠ACB与y轴交于D点，∠CAO=90°-∠BDO．
（1）求证：AC=BC；
（2）如图2，点C的坐标为(4，0)，点E为AC上一点，且AD= DE，求BC+EC的长；
（3）在(1)中，过D作DF⊥AC于F点，点H为FC上一动点，点G为OC上一动点，(如图3)，当H在FC上移动、点G点在OC上移动时，始终满足∠GDH=∠GDO+∠FDH，试判断FH、GH、OG这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明．
【答案】（1）证明： ∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD.
∵∠AOB=∠AOC=90'，∠CAO= 90°-∠BDO，
∵∠DBO= 90°-∠BDO.
∴∠CAO=∠DBO.
在△ACD和△BCD中，
∴△ACD≌△BCD(AAS).
∴ AC=BC.
（2）解：如图2，
过点D作DM⊥AC于M，
∵CD平分∠ACB，OD⊥BC，
∴DO= DM.
在△BOD和△AMD中，
∴△BOD≌△AMD(AAS)，
∴OB =AM.
在Rt△DOC和Rt△DMC中，
∴Rt△DOC≌Rt△DMC(HL)，
∴OC=MC.
∵AD=DE，且DM⊥AC，
∴AM=EM，
∴OB=EM.
∵ C(4，0)，
∴OC=4 ，
∴BC+CE=OB+OC+MC-EM=2OC=8.
（3）解： GH = OG+ FH.
证明：如图3，
在GO的延长线上取一点N，使ON=FH，
∵CD平分∠ACO，DF⊥AC，OD⊥OC，
∴DO=DF.
在△DON和△DFH中，
∴△DON≌△DFH(SAS)，
∴DN=DH， ∠ODN=∠FDH.
∵∠GDH =∠GDO+∠FDH，
∴∠GDH =∠GDO+∠ODN =∠GDN
在△DGN和△DGH中，
∴△DGN≌△DGH (SAS)，
∴GH=GN.
∵ON=FH.
∴GH=GN=OG+ON=OG+FH.
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1)根据AAS证明△ACD≌△BCD，即可求得AC=BC ；
(2)构造全等三角形作辅助线，根据AAS证明△BOD≌△AMD得OB =AM，根据HL证明Rt△DOC≌Rt△DMC得OC=MC，再根据△ADE为等腰三角形的性质可得AM=ME，最后得BC+CE=2OC；
(3)作辅助线ON=FH，根据SAS证明△DON≌△DFH，再根据SAS证明△DGN≌△DGH得出GH=OG+FH.
1 / 1沪科版（2024）数学八年级上册15.3角的平分线同步分层练习
一、夯实基础
1．（2022八上·青秀月考）观察下列作图痕迹，所作线段为的角平分线的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024八上·寻甸期中）如图，是一块三角形的草坪，现在要在草坪上修建一个凉亭供大家乘凉，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．三角形三条边的垂直平分线的交点处
B．三角形三条高的交点处
C．三角形三条中线的交点处
D．三角形三个内角的角平分线的交点处
3．（2025八上·泸县期末）如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，的面积为5，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
4．（2025八上·红花岗期末）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于的长为半径画弧，分别交于点；②分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线交边于点D．若，则的面积是（ ）
A．40 B．22 C．20 D．10
5．（2024八上·西湖月考）如图，已知．小明按如下步骤作图：
（1）以点为圆心、适当长为半径作弧，交于点，交于点；
（2）分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部相交于点；
（3）作射线．
A．射线是的平分线 B．线段平分线段
C．点和点关于直线对称 D．
6．（2024八上·拱墅月考）如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于，两点；再分别以，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，作射线交于点．若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
7． 如图是用直尺和圆规作∠BAC的平分线的示意图.依据作法可知，下列结论错误的是( ).
A．AE=AF B．∠FDA=∠EAD
C．FD=ED D．△AFD≌△AED的根据是“SSS”
8．如图，是的角平分线，若，，则的面积为 ．
9．（2024八上·白云月考）如图，是内部的一条射线，P是射线上任意一点，．下列条件：，其中能判定是的平分线的有 ．（填序号）
10．（2024八上·道县期末）如图①，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制伞．油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图②，伞圈D沿着伞柄滑动时，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，伞骨，的B，C点固定不动，且到点A的距离．
（1）当D点在伞柄上滑动时，处于同一平面的两条伞骨和相等吗？请说明理由．
（2）如图③，当油纸伞撑开时，伞的边缘M，N与点D在同一直线上，若，，求的度数．
11．（2023八上·越秀月考）如图，在中，、分别在、上且，平分，于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
二、能力提高
12．（2024八上·义乌月考）如图，是的角平分线，于点E，的面积，，则的长是 ．
13．（2024八上·北京市开学考）如图所示，和的角平分线相交于点P，，则的度数为 ．
14．（2024八上·河源期末）如图，在中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；…；和的平分线交于点，则 °．
15．（2024八上·扶余期末）如图，是的角平分线，于点，于点，连接交于点，下列结论：①；②；③；④；⑤，正确的是 （填序号）.
16．（2024八上·广州月考）如图，△ABC中，∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF.则下列结论中正确的个数( )
①BP平分∠ABC； ②∠ABC+2∠APC=180°；
③∠CAB=2∠CPB；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
17．（2024八上·潮南月考）如图，AD是的角平分线，于点，点E，G分别在AB，AC上，且，若，，则的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
18．（2024八上·新会月考）如图， 的外角 的平分线交 边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于E.
（1）求证： ；
（2） 若 ， 求 的长.
19．（2025八上·滨江期末）如图，在中，，分别平分和，，相交于点P，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．
B．与的面积比等于边与之比
C．
D．若，则
20．（2024八上·武威月考）如图，已知在中，，，平分，平分．
（1）如图1，求的度数；
（2）如图2，连接，作，，，求的面积．
三、拓展提升
21．（2024八上·平南期末）
（1）【问题情境】我国古代已经用角尺平分任意角，做法如下：如图①，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点重合，则过角尺顶点的射线是的平分线．请说明此做法的理由；
（2）【拓展实践】某公园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口（如图②），现要在两条小路之间安装一盏路灯，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯到休息椅和的距离相等．问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的备用图中作出路灯的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
22．（2024八上·增城期中）如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C在x轴上，CD平分∠ACB与y轴交于D点，∠CAO=90°-∠BDO．
（1）求证：AC=BC；
（2）如图2，点C的坐标为(4，0)，点E为AC上一点，且AD= DE，求BC+EC的长；
（3）在(1)中，过D作DF⊥AC于F点，点H为FC上一动点，点G为OC上一动点，(如图3)，当H在FC上移动、点G点在OC上移动时，始终满足∠GDH=∠GDO+∠FDH，试判断FH、GH、OG这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：：所作线段为AB边上的高，选项错误；
B：做图痕迹为AB边上的中垂线，CD为AB边上的中线，选项错误；
C：CD为的角平分线，满足题意。
D：所作线段为AB边上的高，选项错误
故选：Ｃ.
【分析】根据角平分线定义逐项进行判断即可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴凉亭的位置应为三角形三个内角的角平分线的交点，
故答案为：D．
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，从而得出的角平分线交于三角形内一点，判断它到三角形各边的距离是否相等求解即可.
3．【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图：过D作垂足为F，
∵的面积为5，
∴，
∴，解得：，
∵平分交于点D，，，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据三角形面积公式可得DF，再根据角平分线的性质即可解答．
4．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：过点D作于点H，
由作图可知，射线为的平分线，
，
，
的面积为
故答案为：C.
【分析】过点D作于点H，根据作图得到平分，则可得到DH长，再利用三角形的面积公式解题．
5．【答案】A
【知识点】尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：根据作图的步骤和图形可知：
尺规作图实际上是平分了，
∴射线是的平分线.
故答案为：A．
【分析】根据作图步骤并结合图形即可判断求解．
6．【答案】A
【知识点】平行线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：根据基本作图可得是的平分线，
∴，
∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】根据基本作图可得是的平分线，可得的关系，再根据两直线平行，同旁内角互补可得∠CAB的度数，即可求∠BAH的度数，再利用两直线平行内错角相等即可得 的大小．
7．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作角的平分线；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：根据作图过程可知：AF=AE，DF=DE，
在△FAD和△EAD中，
，
∴△FAD≌△EAD（SSS），
∴∠FDA=∠ADE，故B选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据作图痕迹可得AF=AE，DF=DE，根据三组对应边分别相等的两个三角形全等得出△FAD≌△EAD，根据全等三角形的对应角相等得出∠FDA=∠ADE，即可求解.
8．【答案】5
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过作于，
是的角平分线，，
，
，
的面积．
故答案为：5．
【分析】过作于，根据角平分线的性质可得，然后利用三角形面积公式计算解题．
9．【答案】①②③④
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的判定；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】
∵，∴是的平分线，故①正确；
∵，
∴是的平分线，故②正确；
∵，
∴
∵，
∴
∴
∴是的平分线，故③正确；
∵，
∴
∵，
∴
∴
∴是的平分线，故④正确；
故答案为：①②③④．
【分析】根据角平分线的定义，由①可直接得出是的平分线 ；根据角平分线的判定定理可直接由②判定是的平分线 ；根据HL可证得，即可得出是的平分线；由④可根据AAS证明，进一步即可得出是的平分线，综上即可得出答案。
10．【答案】（1）解：相等．理由如下：
∵伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，
∴．
在和中，
∵，
∴．
∴．
（2）解：∵，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据全等三角形判定定理可得，则即可求出答案.
（2）根据角平分线性质可得，则，再根据全等三角形性质即可求出答案.
11．【答案】（1）证明：过点作，垂足为，
平分，，，
，，
在与中
，
≌，
，，
，
；
（2）解：，
在与中
，
≌，
，
设，
则，，
，
解得，，
．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质，得到CM=CH，再根据直角三角形全等的判定（HL），可证明，可得DM=BH，∠1=∠B，等量代换即可证明.
（2）首先利用直角三角形全等的判定（HL），可证明即可得AM=AH，设BH=BM=x结合题目给出的条件列出关于x的方程，解出x得到答案.
12．【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点作，交于点，如图：
∵是的角平分线，，，，
∴，
∵的面积，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据题意得到，再根据三角形面积公式即可求解．
13．【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵和的角平分线相交于点P，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据角平分线定义可得 ，再根据三角形外角性质可得 ，即可求出答案.
14．【答案】/
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：因为和的平分线交于点，
所以，
所以，
同理，，
，
，
当n=2023时，°，
故填：
【分析】结合角平分线的性质与三角形外角的性质可知，进而知，，根据规律即可知，可求出答案.
15．【答案】②④⑤
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】
①；
AD是的角平分线，，
DE=DF
当且仅当时才有BE=DE
故①不正确
②；
AD是的角平分线，
，
故②正确
③；
在②的正确结论下
当且仅当时才有EG=AG
故③不正确
④；
在②的结论下，AE=AF，
是等腰三角形
AD是的角平分线
(三线合一)
故④正确
⑤
在②的证明中
故⑤正确
综上，故填： ②④⑤
【分析】根据角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等；根据等腰三角形的三线合一定理、三角形全等的判定和性质定理可以逐一判定出正确的选项。
16．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；角平分线的判定；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，过点P作PD⊥AC于点D，
∵ ∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P， 且 ，PM⊥BE，PN⊥BF.∠CAB=180°-∠ABC-∠ACB，
∴PM=PD=PN，
∴BP平分∠ABC；即①正确；
∵∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P，
∴∠PAC=，∠PCA=，
∴∠APC=180°-∠PAC-∠PCA=180°--=，
∴ ∠ABC+2∠APC =∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°；即②正确；
∵ BP平分∠ABC； CP平分∠ACF，
∴∠CBP=，∠ACP=，
∴∠CPB=180°-∠CBP-∠BCP=180°-∠CBP-(∠BCA+∠ACP)=180°--∠BCA-=90°--
∵∠CAB=180°-∠ABC-∠ACB=2（90°--）=2∠CPB；即③正确；
∵ ∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P， 且 ，PM⊥BE，PN⊥BF.PD⊥AC于点D，
∴PM=PD=PN，
在Rt和Rt中：PM=PD，PA=PA，
∴Rt≌Rt，
∴AM=AD，
同理可证：CD=CN，
∴AC=AM+CN，
又∵S△PAC = 12×AC×PD ， S△MAP=12×AM×PM，S△NCP=12×CN×PN ， ∴即④正确。
故答案为：D.
【分析】如图，过点P作PD⊥AC于点D，根据角平分线的性质定理及判定定理可得出①正确；根据三角形相邻内外角之间的关系及角平分线的定义可得出∠PAC=，∠PCA=，进而根据内角和定理可得出∠APC=，进而根据三角形内角和定理可而出 ②∠ABC+2∠APC=180°；根据三角形内角和及角平分线的定义得∠CPB=90°--，再根据三角形内角和定理得出∠CAB=180°-∠ABC-∠ACB，进一步变形，即可得出 ③∠CAB=2∠CPB； 再根据HL判定Rt≌Rt，得出AM=AD，同理CD=CN，可得AC=AM+CN，在根据角平分线的性质定理，得出PM=PD=PN，进一步根据三角形面积计算公式可得出综上即可得出答案。
17．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作于H，
∵是的角平分线，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴的面积的面积，
设的面积的面积，
同理可证，，
∴的面积的面积，
∴，
解得，，
故选：A．
【分析】过点D作于H，根据角平分性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则的面积的面积，设的面积的面积，再根据全等三角形判定定理可得，则的面积的面积，建立方程，解方程即可求出答案.
18．【答案】（1）证明：(1)连接BP、CP
∵点P在BC的垂直平分线上，
∴BP=CP，
∵AP是∠DAC的平分线，PD⊥AB，PE⊥AC，
∴DP=EP，
在RtABP和Rt△CEP中，
∵BP=CP，DP=EP，
∴Rt△BDP≌Rt△CEP（HL)，
∴BD=CE；
（2）解：(2)在Rt△ADP和Rt△AEP中，AP=AP，DP=EP，
在Rt△ADP≌Rt△AEP（HL)，
∴AD=AE，
∴AB=6cm，AC=10cm，
∴6 +AD=10-AE.
即6+AD =10-AD，解得AD =2cm.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）连接BP、CP，根据线段垂直平分线的性质，可得BP=CP，根据角平分线的性质可得DP=EP，然后根据HL即可判定Rt△BDP≌Rt△CEP，从而得出BD=CE；
（2）首先根据HL可判定Rt△ADP≌Rt△AEP，得出AD=AE，再根据（1）的结论，BD=CE，可得出等式：6 +AD=10-AE.即：
6 +AD=10-AD，解得AD的长即可。
19．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：过点P作于点M，作于点N，作于点H，
∵平分，，，
∴，
∵平分，，，
∴，
∴，
∵，，
∴平分，
∴．故选项A的结论一定成立；
．故选项B的结论一定成立；
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴．故选项D的结论一定成立．
根据题意无法证明选项C的结论一定成立．
故答案为：C.
【分析】过点P作于点M，作于点N，作于点H，利用角平分线的性质及判定判断A选项；利用三角形的面积公式判断B选项，利用三角形的内角和定理判断D选项解题即可．
20．【答案】（1）解：平分，
，
平分，
，
，
的度数为；
（2）解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，
平分，，，
，
平分，，，
，
的面积
，
故的面积为4．
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；角平分线的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据角平分线定义可得，，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
（2）过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据角平分线性质可得，，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）平分，
，
平分，
，
，
的度数为；
（2）过点作，垂足为，过点作，垂足为，
平分，，，
，
平分，，，
，
的面积
，
故的面积为4．
21．【答案】（1）解：理由：由题意得，
，
∴∠AOC=∠BOC，
∴OC是∠AOB的平分线.
（2）解：如图，点E即为所求
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）先利用“SSS”证出，再利用全等三角形的性质可得∠AOC=∠BOC，即可得到OC是∠AOB的平分线；
（2）先作出线段MN的垂直平分线，再作出∠BAC的角平分线，它们的交点即是点E.
22．【答案】（1）证明： ∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD.
∵∠AOB=∠AOC=90'，∠CAO= 90°-∠BDO，
∵∠DBO= 90°-∠BDO.
∴∠CAO=∠DBO.
在△ACD和△BCD中，
∴△ACD≌△BCD(AAS).
∴ AC=BC.
（2）解：如图2，
过点D作DM⊥AC于M，
∵CD平分∠ACB，OD⊥BC，
∴DO= DM.
在△BOD和△AMD中，
∴△BOD≌△AMD(AAS)，
∴OB =AM.
在Rt△DOC和Rt△DMC中，
∴Rt△DOC≌Rt△DMC(HL)，
∴OC=MC.
∵AD=DE，且DM⊥AC，
∴AM=EM，
∴OB=EM.
∵ C(4，0)，
∴OC=4 ，
∴BC+CE=OB+OC+MC-EM=2OC=8.
（3）解： GH = OG+ FH.
证明：如图3，
在GO的延长线上取一点N，使ON=FH，
∵CD平分∠ACO，DF⊥AC，OD⊥OC，
∴DO=DF.
在△DON和△DFH中，
∴△DON≌△DFH(SAS)，
∴DN=DH， ∠ODN=∠FDH.
∵∠GDH =∠GDO+∠FDH，
∴∠GDH =∠GDO+∠ODN =∠GDN
在△DGN和△DGH中，
∴△DGN≌△DGH (SAS)，
∴GH=GN.
∵ON=FH.
∴GH=GN=OG+ON=OG+FH.
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1)根据AAS证明△ACD≌△BCD，即可求得AC=BC ；
(2)构造全等三角形作辅助线，根据AAS证明△BOD≌△AMD得OB =AM，根据HL证明Rt△DOC≌Rt△DMC得OC=MC，再根据△ADE为等腰三角形的性质可得AM=ME，最后得BC+CE=2OC；
(3)作辅助线ON=FH，根据SAS证明△DON≌△DFH，再根据SAS证明△DGN≌△DGH得出GH=OG+FH.
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