广东省广州市第五中学2025届九年级下学期中考二模数学试卷（含答案）

2025年广东省广州市第五中学中考二模数学试题
一、单选题
1．下列用七巧板拼成的图案中，为中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，实数a，b，c，d在数轴上表示如下，则最小的实数为（ ）
A．a B．b C．c D．d
3．函数中自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角，则反射光线与平面镜夹角的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．已知⊙O的半径是8，点P到圆心O的距离d为方程的一个根，则点P在（　　）
A．的内部 B．的外部
C．上或的内部 D．上或的外部
8．某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，设有大货车每辆运输x吨，则所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在等边中，，垂足为，以，为邻边作矩形，连接交边于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知抛物线的顶点是原点，点A在第一象限抛物线上，点B为点A关于原点对称点，交抛物线于点C，则的面积S关于点A横坐标的m的函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．不等式的解集是
12．因式分解：
13．如图，中，，则底边上的高 ．
14．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，PA=OA，阴影部分的面积为6π，则⊙O的半径长为 ．
15．在中，，，，以为边作，使得，如果与相似，那么的长为 ．
16．如图，已知点，点B在y轴正半轴上，将线段绕点A顺时针旋转到线段，若点C的坐标为，则 ．

三、解答题
17．解方程：
18．如图，四边形ABCD为菱形，点E，F分别为边DA，DC上的点，DE＝DF，连接BE，BF，求证：BE＝BF．
19．先化简，再求值：，其中．
20．为了解学生一星期参与体育锻炼的时间情况，从全校2000名学生中，随机抽取50名学生进行调查，按参与体育锻炼的时间（单位：小时），将学生分成五类：类，类，类（），类（），类（）．绘制成尚不完整的条形统计图如图．根据以上信息，解答下列问题：
(1)样本中类学生有___________人；
(2)估计全校的类学生有多少人；
(3)从该样本参与体育锻炼时间在的学生中任选2人，求这2人参与体育锻炼时间都在中的概率．
21．环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的．环保局要求该企业立即整改，在15天以内(含15天)排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度与时间(天)的变化规律如图所示，其中线段表示前天的变化规律，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度与时间成反比例关系．
(1)求整改过程中硫化物的浓度与时间的函数表达式；
(2)该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在15天以内不超过最高允许的？为什么？
22．
背景 【缤纷618，优惠送大家】 今年618各大电商平台促销火热，线下购物中心也亮出大招，年中大促进入“白热化”．深圳各大购物中心早在5月就开始推出618活动，进入6月更是持续加码，如图，某商场为迎接即将到来的618优惠节，采购了若干辆购物车．
素材 如图为某商场叠放的购物车，右图为购物车叠放在一起的示意图，若一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加．
问题解决
任务1 若某商场采购了n辆购物车，求车身总长L与购物车辆数n的表达式；
任务2 若该商场用直立电梯从一楼运输该批购物车到二楼，已知该商场的直立电梯长为，且一次可以运输两列购物车，求直立电梯一次性最多可以运输多少辆购物车？
任务3 若该商场扶手电梯一次性可以运输24辆购物车，若要运输100辆购物车，且最多只能使用电梯5次，求：共有多少种运输方案？
23．【综合与实践】
有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤.小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务．
【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：.其中秤盘质量克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．

【方案设计】
目标：设计简易杆秤．设定，，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米．
任务一：确定l和a的值．
(1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
(2)当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
(3)根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值．
任务二：确定刻线的位置．
(4)根据任务一，求y关于m的函数解析式；
(5)从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离．
24．在中，弦平分圆周角，连接，过点作DE//AB交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，且是的中点，的直径是，求的长．
(3)是弦下方圆上的一个动点，连接和，过点作于点，请探究点在运动的过程中，的比值是否改变，若改变，请说明理由；若不变，请直接写出比值．
25．已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，点P为第一象限抛物线上的点，连接．

(1)直接写出结果；_____，_____，点A的坐标为_____，______；
(2)如图1，当时，求点P的坐标；
(3)如图2，点D在y轴负半轴上，，点Q为抛物线上一点，，点E，F分别为的边上的动点，，记的最小值为m．
①求m的值；
②设的面积为S，若，请直接写出k的取值范围．
参考答案
1．C
解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：C．
2．A
解：由数轴知，，
则最小的实数为a，
故选：A．
3．B
解：∵，
∴，
∴函数中自变量x的取值范围．
故选B
4．B
解：A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、，故该选项不符合题意；
故选：B．
5．D
解：二十四个节气中选一个节气，抽到的节气在夏季的有六个，
则抽到的节气在夏季的概率为，
故选：D．
6．B
解：如图：
∵一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角，
∴，，
∴，
则，
∵光线是平行的，
即，
∴，
故选：B．
7．A
解：解方程可得，，，
∵点P到圆心O的距离d为方程的一个根，
∴，
∴点P在的内部，
故选A
8．B
解：设有大货车每辆运输x吨，则小货车每辆运输吨，
则．
故选B
9．A
解：设等边的边长为a，则．
∵，
∴，，
∴．
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴．
如图，过点C作于点G，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选A．
10．A
∵抛物线的顶点是原点，
∴，
∴，
∴解析式为，
∴，
∵点B为点A关于原点对称点，
∴，
∴直线的解析式为，，
∵交抛物线于点C，
∴直线的解析式为，
令，解得（0舍去），
∴，
∴，
∴，
即，
故选：A．
11．
解：，
，
．
故答案为：．
12．
解：，
故答案为：．
13．8
解：∵，为底边上的高，
∴，，
∴．
故答案为：8
14．3
解：连接OP，
∵PA、PB是⊙O的两条切线，
∴∠PAO=90°，
∵PA=OA，
∴tan∠POA==，
∴∠POA=60°，
∴∠AOB=120°，
∵阴影部分的面积为6π，
∴=6π，
∴OA=3，
∴⊙O的半径长为3，
故答案为：3．
15．或
∵，，，
∴
与相似
当时
，
当时
，
故答案为或
16．
解：在x轴上取点D和点E，使得，过点C作于点F，

∵点C的坐标为，
∴，，
在中，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵点，
∴，
∴，
在中，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
故答案为：
17．无解
解：
去分母得到，
解得，
当时，
∴是增根，分式方程无解
18．见解析
证明：如图，连接BD，
在菱形ABCD中，∠ADB＝∠CDB，
在△EDB和△FDB中，
，
∴，
∴BE＝BF．
19．，.
解：
把代入上式，得原式.
20．(1)5，
(2)720
(3)
（1）解：E类学生有（人），
故答案为：5；
（2）D类学生人数占被调查总人数的，
所以估计全校的D类学生有（人）；
答：全校的类学生有人；
（3）记内的两人为甲、乙，内的3人记为A、B、C，
从中任选两人有20种可能结果，
其中2人锻炼时间都在中的有这6种结果，
∴这2人锻炼时间都在的概率为．
21．(1)当时，；当时，
(2)能在15天以内不超过最高允许的，理由见解析
（1）分情况讨论：
①当时，
设线段对应的函数表达式为
把代入得，
解得：，
；
②当时，设，
把代入得：，
∴；
综上所述：当时，；时，；
（2）能；理由如下：
令，则，
，
故能在天以内不超过最高允许的．
22．任务1：；任务2：一次性最多可以运输18台购物车；任务3：共有3种方案
解：任务1：∵一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加
∴
任务2：依题意，∵已知该商场的直立电梯长为，且一次可以运输两列购物车，
令，
解得：
∴一次性最多可以运输18辆购物车；
任务3：设x次扶手电梯，则次直梯，
由题意∵该商场扶手电梯一次性可以运输24辆购物车，若要运输100辆购物车，且最多只能使用电梯5次
可列方程为：，
解得：，
∵x为整数，
∴，
方案一：直梯3次，扶梯2次；
方案二：直梯2次，扶梯3次：
方案三：直梯1次，扶梯4次
答：共有三种方案.
23．(1)
(2)
(3)
(4)
(5)相邻刻线间的距离为5厘米
（1）解：由题意得：，
∴，
∴；
（2）解：由题意得：，
∴，
∴；
（3）解：由（1）（2）可得：，
解得：；
（4）解：由任务一可知：，
∴，
∴；
（5）解：由（4）可知，
∴当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；
∴相邻刻线间的距离为5厘米．
24．(1)见解析
(2)
(3)不变；
（1）证明：如图，连接交于点，连接，，，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线．
（2）如图，连接，，，OB，过点作于点，如图所示：
，
，，
，
设，，
的直径是，
，
，
，
解得：，
，，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
．
（3）如图，延长至使得，连接，，连接，，连接交于点，连接，
，，，四点共圆，
，
，
，
，
是的切线，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
，，，四点共圆，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
．
25．(1)，2，，
(2)
(3)，
（1）解：∵抛物线经过点，，
∴，解得：，
∴抛物线解析式为：，
∵抛物线与x轴交于A、两点，
∴时，，解得：，，
∴，
∴，，
在中，，
故答案为：，2，，；
（2）解：过点C作轴，交于点D，过点P作轴，交y轴于点E，
∵，，，
∴，
由（1）可得，，即，
∴，
∵，
∴，
∵轴，轴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设点P坐标为，则，，
∴，解得：（舍），，
∴点P坐标为．

（3）解：①如图2，作，且使，连接．
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴Q，F，H共线时，的值最小．作于点G，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
设，则，
∴，解得或（舍去），
∴，
∴，
∴，，
∴；

②如图3，作轴，交于点T，待定系数法可求解析式为，
设，，
则，
∴，
∴，
∴，
∴．