内蒙古自治区锡林郭勒盟三县联考2026届九年级上学期开学考试数学试卷（含答案）

内蒙古自治区锡林郭勒盟三县联考2025-2026学年九年级上学期开学数学试题
一、单选题
1．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，实数在数轴上的对应点可能是（ ）

A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
3．在中，与边上的中线长分别为，，则的面积不可能为（　　）
A． B． C． D．
4．物理实验中，同学们分别测量电路中经过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流和它们两端的电压，根据相关数据，在如图的坐标系中依次画出相应的图象，根据图象及物理学知识，可判断这四个用电器中电阻最大的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．式子的结果不可能是（ ）
A．奇数 B．正数 C．偶数 D．整数
6．设备每年都需要检修，该设备使用年数n（单位：年，n为正整数且）与第1年至第n年该设备检修支出的费用总和y（单位：万元）满足关系式，下列结论正确的是（ ）
A．从第2年起，每年的检修费用比上一年增加万元
B．从第2年起，每年的检修费用比上一年减少万元
C．第1年至第5年平均每年的检修费用为万元
D．第6年至第10年平均每年的检修费用为万元
7．一次团史知识竞赛，某小组6名同学的成绩统计如图（有三个数据被遮盖），则众数与中位数是（　　）
组员 A B C D E F 平均成绩 众数 中位数
得分 77 81 ■ 80 82 79 80 ■ ■
A．81，81 B．80，81 C．81，80.5 D．80，81.5
8．如图，四边形是正方形，以为边长向正方形外作等边，与相交于点F，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，四边形是矩形，E，F分别为边，上两定点，，G为矩形内一点，连接，，点P从点E出发，沿的方向运动，同时点Q从点B出发，沿的方向运动，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，连接，．设P，Q两点运动的速度相同，且运动路程均为x，的面积为S，图是S随x变化的关系图象，连接，则线段的长为（ ）
A． B．2 C． D．3
10．如图，在中，，，分别平分，，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的为（　　）

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题
11．计算的结果是 ．
12．已知a，b均为实数，定义一种新运算：，若，，，，则的值为 ．
13．两个日常生活现象如下图所示．能用“垂线段最短”来解释的是 （填“A”或“B”）．
14．函数的自变量的取值范围是 ．
15．某课题组在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：
直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小．解法：作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为．
请利用上述模型解决下列问题：
（1）几何应用：如图，等腰直角三角形的直角边长为，是斜边的中点，是边上的一动点，则的最小值为 ；
（2）几何拓展：如图，中，，，若在、上各取一点、使的值最小，求这个最小值 ；
（3）代数应用：求代数式的最小值 ．
16．等边中，，D是上一点，沿折叠得到． 当时，的长为
三、解答题
17．如图，已知点B，E，C，F在同一直线上，，，．求证：．
18．2023年9月21日，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲了，精彩的直播激发了学生探索科学奥秘的兴趣．某单位为满足学生的需求，充实物理小组的实验项目，需要购买甲、乙两款物理实验套装． 经了解，每款甲款实验套装的零售价比乙款实验套装的零售价多7元，该单位以零售价分别用750元和540元购买了相同数量的甲、乙两款物理实验套装．
(1)甲、乙两款物理实验套装每个的零售价分别为多少元？
(2)由于物理兴趣小组人数增加，该单位需再次购买两款物理实验套装共200个，且甲款实验套装的个数不少于乙款实验套装的个数的一半，由于购买量大，甲乙两款物理实验套装分别获得了20元/每个、15元/每个的批发价． 求甲、乙两款物理实验套装分别购买多少个时，所用资金最少．
19．计算：
(1)
(2)
20．阅读与思考
下面是小悦同学的一篇数学周记，请仔细阅读并完成相应的任务．
应用所学知识证明直线对称问题如图1，在平面直角坐标系中画出函数和的图象，观察这两条直线，我发现它们关于直线对称，如何证明这个结论呢？经过思考我想到了两种方法： 设直线和直线交于点，点是直线上除点外的任意一点，设点的坐标为． 方法一：在图1中作点关于直线对称的点，连接交直线于点，则，（依据）． 点的纵坐标为． 设点的横坐标为， ．．． 将代入，得． 点在直线上． 直线和直线关于直线对称． 方法二：如图2，过点作直线的垂线，垂足为，交直线于点． 点的纵坐标为． 将代入，得． ．． ． 点和点关于直线对称． 直线和直线关于直线对称．
任务：
(1)小悦周记中得到，的依据是______；
(2)小悦所用方法主要运用的数学思想是______；
A．公理化思想 B．数形结合思想 C．分类讨论思想
(3)请你选择小悦周记中的一个方法利用图3证明直线和直线关于直线对称．
21．某校为了解七、八年级学生对“疫情防护”安全知识的掌握情况从七、八年级各随机抽出50名学生进行测试并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析，部分信息如下：
．七年级成绩频数分布直方图如图（每组成绩包含最低分，不包含最高分）；
．七年级成绩在这一组的数据如下：
70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79
．七、八年级成绩平均数、中位数如下：
年级 平均数 中位数
七年级 76.8
八年级 79.2 79.5
根据以上信息，解答下列问题．
(1)在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有 　　人；
(2)表中的值为 　　；
(3)在这次测试中，七年级学生甲和八年级学生乙的成绩都是78分，则甲、乙两位学生在各自年级的排名 　　更靠前；
(4)该校七年级学生有600人，假设全部参加此次测试，请估计七年级学生成绩不低于80分的人数．
22．如图，在正方形中，与相交于点O，点E为上一点，连接交于点Q，过点A作交于点F，点G，H分别是的中点，连接并延长，交于点M．

(1)求证：；
(2)求证：；
(3)当时，求的值．
23．已知，四边形中，，绕B点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于E，F．
当绕B点旋转到时，如图（1），易证：．
当绕B点旋转到时，在图（2）和图（3）中这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
参考答案
1．B
解：，故A不符合题意；
，故B符合题意；
，故C不符合题意；
，故D不符合题意；
故选B
2．B
解：∵，
∴，
∴实数在数轴上的对应点可能是点；
故选B．
3．D
解：如图，根据题意，为边上的中线，过A作于M，

由垂线段最短知，，
∴
，
∴，
∴的面积不可能为．
故选：D．
4．C
解：根据图象，得，
又，
故．
故选：C．
5．A
解：
．
则1012不可能是奇数．
故选：A．
6．D
由题意得，
前n年支出总费用为万元，
前年支出总费用为：万元；
前年支出总费用为：万元；
易知，前n年和前年差值为万元，前年和年差值为万元，
故第二年起，每年检修费比上一年保持不变，故A , B错误；
第一到第五年总支出费用为万元，
故平均每年检修费用为万元， 故C错误．
年总支出为万元，
年总支出为万元，
所以年平均每年检测费用为万元，故D正确．
故选D．
7．C
解：C的得分为：，
这组数据中出现次数最多的是81，共出现2次，因此众数是81，
将这组数据从小到大排列，中位数的第3、第4个数的平均数，
则中位数是；
故选：C．
8．B
解：∵四边形是正方形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
故选：B
9．A
解：根据函数图象可得当时，，，
则点到的距离为，
，，
当时，，
，
必须与垂直，
根据函数图象可得当时，的面积S与成一次函数，
时，点到的距离不变，
点的位置如图所示，，
，
当时，的面积为，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，
，
故选：A．
10．C
解：∵
∴，，
∵平分
∴
∵平分，，
∴．
∵，
∴
∴，故①错误；
∵平分，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵
∴
∴，故②正确；
∵BD平分，
∴
∵，
∴，故③正确；
过点D作于N，于 G ，于H，如图，

∵平分，， ，
∴
∵平分， ，，
∴
∴
∴为外角的平分线，
∴
∵，
∴
∵
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
即，故④正确．
故选：C．
11．3
解：，
故答案为：3
12．2
解：，，，，
∴，
故答案为：2．
13．A
解：A：跳远测量需要测量出脚印到起跳线的最短距离，故符合题意；
B：道路改到是应用的两点直线，线段最短，故不符合题意；
故选：A．
14．/
解：依题意有，
解得．
故答案为：
15． 5
（1）解：如图，作点B关于AC的对称点，连接，交AC于点P，连接
∵点B和点关于AC对称，
∴AB==，PB=，∠ABC=∠=45°，
∴在△中，∠=90°，
∵点E为AB中点，
∴AE=，
∴，
∵PB=，
∴=+PE=，
故答案为：．
（2）作点B关于AC的对称点，过点作⊥AB于点N，交AC于点M，连接交AC于点O，
根据轴对称的性质可知，⊥AC，
∵，，∠AOB=90°，
∴BO=，∠=60°，
∴=2 BO=2，
在Rt△中，∠=60°，
∴∠=30°，
∴NB=，
∴，
∵BM=，
∴=+MN=，
故答案为：．
（3）如图，构造图形，点P是AB边上一点，其中AB=4，AP=x，AC=1，BD=2，
作点C关于AB的对称点，连接交AB于点P，延长DB，过点作⊥BD，垂足为O，
根据轴对称的性质可知，AC==1，CP=，
∵AB=4，=1，
∴=4，BO==1，
∴DO=3，
在Rt△中，，
∵AB=4，AP=x，AC=1，BD=2，
∴，，
∵CP+DP =+DP==5，
∴的最小值为5．
故答案为：5．
16．或
解：折叠性质可知：，
当在外部时，如图1，
∵在等边中，，
∴，
∴，
过点作，垂足为H，
∴，，
∴，
设，则，
∴
∵，
∴，
∴，
∴.
当在内部时，如图2，
∵在等边中，，
∴，
∴，
∴
过点作，垂足为，同理可求，
故，
故答案为：或.
17．见解析
证明：，
．即．
，，
．
18．(1)甲、乙两款物理实验套装每个的零售价分别为25元，18元
(2)甲、乙两款物理实验套装分别购买67个，133个时，所用资金最少
（1）解：设乙款物理实验套装的零售价每个为x元，由题意得：
解得
经检验，是所列方程的根，
∴
答：甲、乙两款物理实验套装每个的零售价分别为25元，18元．
（2）设购买甲款物理实验套装m个，则购买乙款物理实验套装个，所用金额为y元，由题意得：
解得：
，
∵，
∴y随m的增大而增大，
∴时，y取最小值，此时（个），
答：甲、乙两款物理实验套装分别购买67个，133个时，所用资金最少．
19．(1)1
(2)
（1）解：，
，
．
（2）解：，
，
．
20．(1)轴对称的性质
(2)B
(3)见解析
（1）解：由题意得，小悦周记中得到，的依据是轴对称的性质，
故答案为：轴对称的性质；
（2）解：由题意得，小悦所用方法主要运用的数学思想是数形结合思想，
故选：B．
（3）解：方法一：如图所示，在直线上取一点异于A点的，作点C关于直线的对称点，连接交直线于D，
∴由轴对称的性质可得，点的横坐标为c，
设点的纵坐标为，
∴，
∴，
∴，
在中，当时，，
∴在直线上，
∴直线和直线关于直线对称；
方法二：如图所示，在直线上取一点异于A点的，过点C作直线的垂线，垂足为D，交直线于，
∴点的横坐标为，
把代入中得，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴直线和直线关于直线对称．
21．(1)23
(2)77.5
(3)甲
(4)276
（1）解：在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的人数有（人；
故答案为：23；
（2）解：七年级学生成绩的中位数（分；
故答案为：77.5；
（3）解：七年级学生甲的成绩更靠前，因为七年级学生甲的成绩大于其中位数；
故答案为：甲；
（4）解：（人，
答：估计七年级学生成绩不低于80分的人数为276人．
22．(1)见解析
(2)见解析
(3)．
（1）证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
在和中，，
；
（2）证明：如图①，连接、，
四边形是正方形，
∴，，，，，，
、分别是和的中点，
是的中位线，是的中位线，
∴，，，，
，，
，
由（1）可知，，
，
，
，
，
，
∴，
为的中点，
为的中点，
；
（3）解：如图②，连接，
由（2）可知，， ，
四边形是平行四边形，
，
四边形是正方形，
，，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
由（2）可知，，
，
，
．
23．图（2）成立，有，证明见解析；图（3）不成立，有，理由见解析
解：图（2）成立，图（3）不成立， 的关系是．证明如下：
证明图（2）．理由如下：
延长至点K，使，连接，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
如图（3），延长至G，使，
同理可证，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的关系是．