广东省深圳外国语学校2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷（含答案）

广东省深圳市深圳外国语学校2024-2025学年八年级下学期数学期中考试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．把多项式分解因式，应提的公因式是（　　）
A． B． C． D．
2．如果把分式中的、同时扩大为原来的2倍，那么该分式的值（ ）
A．不变 B．扩大为原来的2倍 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的
3．四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．AB//DC，AD//BC B．AB=DC，AD=BC
C．AO=CO，BO=DO D．AB//DC，AD=BC
4．下列说法正确的是（ ）
A．菱形的四个内角都是直角 B．矩形的对角线互相垂直
C．正方形的每一条对角线平分一组对角 D．平行四边形是轴对称图形
5．在育红学校开展的课外阅读活动中，学生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，，则代数式的值是（ ）
A．6 B．﹣1 C．﹣5 D．﹣6
7．如图，的对角线、相交于点，交于点，若，的周长等于5，则的周长等于（ ）
A．16 B．12 C．10 D．8
8．如图，矩形中，O为AC中点，过点O的直线分别与交于点E、F，连结交于点M，连结，若，则下列结论中正确结论的个数是（ ）
①；②四边形是菱形；③； ④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．因式分解： ．
10．若一个多边形的内角和是，则这个多边形是 边形．
11．已知关于的方程有两个相同的实数根，则的值是 ．
12．如图，在中，，P为上任意一点，于F，于E，则的最小值是 ．
13．如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕顶点A旋转，在旋转过程中，当BE=DF时,∠BAE的大小可以是 ．
三、解答题
14．解下列方程：
(1)（配方法）；
(2)（公式法）．
15．先化简，再求值：，其中．
16．如图，在中，交于点E，交的延长线于点F，且，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求四边形的面积．
17．小深家的新能源汽车，既可以纯油动行驶，也可以纯电动行驶．请你帮助小深完成下列问题：
动力源 纯油动 纯电动
行驶里程 a千米 a千米
总耗油(电)量 50升 70千瓦时
油(电)单价 7.6元/升 0.5元/千瓦时
每千米费用 ______元
(1)纯电动力时每千米费用为_______元；
(2)若每千米纯用油的费用比纯用电的费用多0.69元：
①求出a的值；
②若行驶这a 千米先后使用两种动力方式，总费用为242元，则汽车纯电动行驶了多少千米？
18．图①、图②均是7×7的正方形网格、每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留必要的作图痕迹．
(1)在图①中，作出以为边的正方形；
(2)在图②中，作出的中线；
(3)在图①中画出正方形的一条对称轴，使它与平行．
19．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．
(1)判断方程与是否为“相似方程”，并说明理由；
(2)已知关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，求正整数m的值．
20．综合与实践
【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们以正方形为背景探索几何图形变化中的数学结论．如图1，正方形中，点P是边上的一个动点，E是边延长线上一点，连接．过点P作，与的平分线相交于点F，求证：．
【问题解决】（1）小圳经过思考展示了一种正确的证明思路，请你将证明思路补充完整．在上截取，连接，易得，，______，可得（______），．
【问题探究】（2）探究小组经过讨论，发现了图形隐含了很多线段和角的等量关系，如图2，连接，与边相交于点Q，连接，给出下列四个结论，①；②；③；④，正确结论的序号是_______．
【拓展延伸】（3）创新小组受到启发，提出了新的问题进行拓展．如图3，过点F作的平行线交直线于点H，以为斜边向右作等腰直角三角形，点M在直线上．
①试探究与的数量关系，并说明理由；
②若，P在射线上运动，当时直接写出线段的长．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C D C A D A C
1．D
【详解】多项式的公因式为．
故选D．
2．C
【详解】解：x，y同时扩大为原来的2倍，
则有，
∴该分式的值是原分式值的，故C正确．
故选：D．
3．D
【详解】解：A、由“AB//DC，AD//BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
B、由“AB=DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
C、由“AO=CO，BO=DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
D、由“AB//DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意．
故选D．
4．C
【详解】解：A．菱形的四个内角不一定都是直角，不符合题意；
B．矩形的对角线不一定互相垂直，不符合题意；
C．正方形的每一条对角线平分一组对角，正确，符合题意；
D．平行四边形不一定是轴对称图形，不符合题意；
故选：C．
5．A
【详解】解：该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，
依题意得：．
故选：A．
6．D
【详解】解：==3×（-2）=-6
故选：D．
7．A
【详解】解：∵ 的周长是5，且
∴
又∵对角线、相交于点
∴是的中点
∵
∴,点E为的中点
∵四边形是平行四边形
∴
∴
∴
故选：A
8．C
【详解】解：∵四边形是矩形， O是中点，
∴，
∴，
∴，
∴，是等边三角形，
∴，；
∵，
∴，垂直平分，
∴，，
∵四边形为矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴；故①是正确的；
∵，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴四边形是菱形，故②正确；
∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，故③正确，
设的面积为a，
∵，
则，
而M为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故④错误；
故选：C．
9．
【详解】解：；
故答案为：．
10．6/六
【详解】解：设这个多边形的边数为，由内角和公式可得：
，
，
故答案为：6．
11．4
【详解】根据根的判别式等于0，
12．/
【详解】解：如图：连接，
∵，于F，于E，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴要使最小，只要最小即可，即当时，最小，
在中，，
由勾股定理得：，
由三角形面积公式得：，
∴，即的最小值是．
故答案为：．
13．15°或165°
【详解】解：①当正三角形AEF在正方形ABCD的内部时，如图1，
∵正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，
当BE=DF时，
∴，
∴△ABE≌△ADF（SSS），
∴∠BAE=∠FAD，
∵∠EAF=60°，
∴∠BAE+∠FAE=30°，
∴∠BAE=∠FAD=15°，
②当正三角形AEF在正方形ABCD的外部时．如图2，
∵正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，
当BE=DF时，
∴，
∴△ABE≌△ADF（SSS），
∴∠BAE=∠FAD，
∵∠EAF=60°，
∴∠BAE+∠FAE=360°﹣60=300°，
∴∠BAE=∠FAD=165°
故答案为15°或165°．
14．(1)；
(2)．
【详解】（1）解：原方程可化为，
两边分别加上1，得，即，
两边开平方得：，
解得：；
（2）解：，
∴，
即．
15．，
【详解】解：原式
，
将代入得：原式．
16．(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴
∵，
∴．
∴四边形是菱形．
（2）∵四边形是菱形，
∴．
∴
在中，，，，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴．
∴．
17．(1)
(2)①；②汽车纯电动力行驶了200千米．
【详解】（1）解：纯电动力时每千米费用为（元）．
故答案为：；
（2）解：①根据题意，得，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
∴；
②纯电动每千米费用（元），
则纯油动每千米费用为（元），
设汽车纯电动行驶了x千米，则纯油动行驶了千米，
根据题意，得，
解得．
答：汽车纯电动行驶了200千米．
18．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【详解】（1）解：如图所示，正方形即为所求；
（2）解：如图所示，中线即为所求；
（3）解：如图③所示即为所求作．
19．(1)是，理由见解析
(2)或
【详解】（1）解：方程与方程是“相似方程”，理由如下：
解方程得
，
解方程得
，
检验：是该分式方程得解．
∴方程与方程是“相似方程”
（2）解：∵和是“相伴方程”．
∴
∵x，y，m均为整数，
∴，
∴，
又∵m为正整数
∴或
20．（1）（或）；（或）；（2）①②③；（3）①，理由见解析；②3或7．
【详解】解：（1）（或）；（或）
解：（2）①②③，
①∵，且
∴是等腰直角三角形，
∴，即①正确；
②如图，延长至点M，使得，连接，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即②正确；
③∵且，
∴，
又，
∴，即③正确；
假设，
则；
∵平分，且，
∴，
∴，
则；
∵，
∴,
∴，
这与相交矛盾，故④错误；
综上，正确的是①②③；
故答案为：①②③；
解：（3）①；
证明：在上截取，连接，如图；
则，
∵是等腰直角三角形，
∴，
则，
∴，
∴；
②或7；理由如下：
当P 在线段上时，
∵，，
∴，
∴，
∴；
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴；
当 P 在延长线上时，延长使，连接，
则是等腰直角三角形，
∴，
又，
∴，
∴；
又，，
∴；
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴；
综上，或 7．