湖南省长沙市开福区2025-2026学年八年级上学期开学考试数学试卷（含答案）

八年级上学期开学考试数学练习卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在这些数中，无理数的个数为( )
A. B. C. D.
2.在平面直角坐标系中，点所在象限是( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.学校为了解八年级名学生的睡眠情况，抽查了其中的名学生的睡眠时间进行统计，下面叙述中，正确的是( )
A. 以上调查属于全面调查 B. 每名学生的睡眠时间是一个个体
C. 名学生是总体的一个样本 D. 是样本容量
4.若，则下列各式中错误的是( )
A. B. C. D.
5.如果三角形有一条边上的中线长恰好等于这条边的长，那么称这个三角形是“有趣三角形”，这条中线为“有趣中线”如图，在中，，较短的一条直角边，且是“有趣三角形”，则的“有趣中线”的长为( )
A. B. C. D.
6.下列多边形中，内角和与外角和相等的是( )
A. B. C. D.
7.现有两根长度分别和的木棒，若要首尾相接钉成一个三角形木架，则应选取的第三根木棒长为( )
A. B. C. D.
8.如图，点、、、四点共线， ， ，添加一个条件，不能判定 ≌的是( )
A. B.
C. D.
9.如图，中，，、的垂直平分线分别交于点、，连接、，则的度数是( )
A. B. C. D.
10.如图，在中，，，，分别是，的中点，连接如图，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接若平分，则的长为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.如图，在中，，，为斜边上一动点，过点作交于点，交于点，则线段的最小值为______．
12.把方程写成用含的式子表示的形式________．
13.如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，若点关于轴的对称点在直线上，则的值为 ．
14.如图，中，，，将绕点逆时针旋转得，若交于点，当 时，为等腰三角形．
15.如图，在菱形中，，，是对角线上的一个动点，过点作交直线于点，交直线于点，将沿折叠，使点落在射线上的点处，连结当是以为顶角的等腰三角形时，的长为______．
16.若关于的不等式组有解且最多有个整数解，且关于的一次函数的图象不经过第四象限，则满足条件的所有整数的和为______．
三、计算题：本大题共2小题，共12分。
17.计算：．
18.求下列各式中的．
．
四、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
已知中，
如图，用直尺和圆规在的内部作射线，使，我们可以通过以下步骤作图：
以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，分别于点，；
以为圆心，的长为半径作弧，交于点；
以点为圆心，长为半径作弧，交上一段弧于点．
做射线；
请回答：这种作“”的方法的依据是 填序号．

如图，当时，中的射线交于点，已知，，，求的长．
20.本小题分
为了解济宁市销售某水果的价格情况，某校数学兴趣小组的学生们在本市范围内，随机调查了个零售摊位该水果的销售单价，然后根据获取的样本数据，制作了如图所示的条形统计图和不完整的扇形统计图．
请根据上面信息，解答下列问题：
扇形的圆心角度数是______；
这个样本数据的中位数是______，众数是______；
学生小王了解到，某日济宁市通过零售摊位销售出的该水果约为斤，请估算出这天济宁市通过零售摊位销售出的此水果销售金额．
21.本小题分
如图，等腰中，，点是线段上的一点，且：：，，求的值．
22.本小题分
美丽的滨海城市深圳，不仅阳光充沛，而且特色水果丰富，其中南山荔枝是广东省著名的荔枝品种，也是比较少能享有地理标志保护的荔枝，某经销商计划从南山购进糯米糍、桂味两种荔枝已知购进糯米糍箱，桂味箱，共需元；购进糯米糍箱，桂味箱，共需元．
糯米糍、桂味每箱的价格分别是多少元？
该经销商计划用不超过元购进糯米糍、桂味共箱，且糯米糍的箱数不超过桂味箱数的倍，共有多少不同的种进货方案？如果该经销商将购进的荔枝按照糯米糍每箱元，桂味每箱元的价格全部售出，那么哪种进货方案获利最多？
23.本小题分
如图四边形中，已知，，，点在的延长线上，．
求证：≌；
求证：平分；
如图，设是的边上的高，求证：．
24.本小题分
对、定义一种新运算，规定：其中、均为非零常数，这里等式右边是通常的四则运算，例如：．
已知，．
求、的值；
若关于的不等式组恰好有个整数解，求实数的取值范围．
若对任意实数、都成立这里和均有意义，则、应满足怎样的关系式？
25.本小题分
如图，已知菱形，点、是对角线所在直线上的两点，且，，连接、、，得四边形．
求证四边形是正方形；
若，，求菱形的面积．
答案和解析
1.
解：无理数有：，，，，共个，
故选：．
2.
解：点的横坐标，纵坐标，点在第四象限．
故选D．
3.
解：以上调查属于抽样调查，故A不符合题意；
B.每名学生的睡眠时间是一个个体，故B选项符合题意；
C.名学生的睡眠时间是总体的一个样本，故C选项不符合题意；
D.样本容量是，故D选项不符合题意．
故选：．
4.
5.
如图，只有边上的中线为“有趣中线”，在中，根据勾股定理得：，即，解得：，则的“有趣中线”的长等于．
6.
7.
解：根据三角形三边关系，
三角形的第三边满足：，即，
故A、、选项皆不在上述范围内，只有项符合．
故选C．
8.
解：，
，
即，
A.，，，符合全等三角形的判定定理，能推出≌，故本选项不符合题意；
B.，，，符合全等三角形的判定定理，能推出≌，故本选项不符合题意；
C.，，
，，，符合全等三角形的判定定理，能推出≌，故本选项不符合题意；
D.，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出≌，故本选项符合题意；
故选：．
9.
解：，
，
、的垂直平分线分别交于点、，
，，
，，
，
．
故选：．
10.
解：在中，，，，分别是，的中点，
，
如图：延长交于，连接，
由旋转的性质可得：，，
，即，
在和中，
，
≌，
，
平分，，
，
，
，
，
，
，
故选：．
11.
解：如图，连接；
四边形是矩形，
；
当时，最小，从而最小；
由勾股定理得：，
，
，
故答案为：．
12.
解：方程，
解得：，
故答案为：．
13.
14.或
解：绕点逆时针方向旋转得到，
，
，
，
根据三角形的外角性质，，
是等腰三角形，分三种情况讨论，
时，，无解，
时，，解得，
时，，解得，
综上所述，旋转角度数为或．
故答案为：或．
15.
解：四边形是菱形，
，，
，
，
，，
，
，
是由翻折，
，，
，
四边形是菱形，
，
是以为顶角的等腰三角形，
时，
，
．
故答案为：．
16.
解：，
解不等式得，
解不等式得，
不等式组最多有个整数解：、、、，
可以是：，，，，
关于的一次函数的图象不经过第四象限，
解得，
结合以上分析，可知的值可以取、、，
满足条件的所有整数的和为．
故答案为：．
17.解：

18.【小题】
解：
，
；
【小题】
，
．
19.【小题】解：由作图过程得，，，则，
故答案为：；
【小题】
解：，
又
即
根据的面积不变可得
又，，
，
．
20.；
，；
这天济宁市通过零售摊位销售出的该水果销售金额约为元．
扇形的圆心角度数；
故答案为：；
数据由小到大，第个和第个数都，
所以这个样本数据的中位数是；
数据出现的次数为次，出现的次数最多，
所以这个样本数据的众数为；
故答案为：，；
由条形图可知，该水果的平均销售单价为元斤，
则这天济宁市通过零售摊位销售出的该水果销售金额约为元．
答：这天济宁市通过零售摊位销售出的该水果销售金额约为元．
21.．
解：如图，过点作交的延长线于点，过点作于点，
∽，
，
设，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
．
22.解：设糯米糍每箱的价格是元，桂味每箱的价格是元，
根据题意得：，
解得：，
答：糯米糍每箱的价格是元，桂味每箱的价格是元；
设糯米糍有箱，则桂味有箱，
由题意可得：，
解得：，
为正整数，
共有 种方案，
设利润为，则，
，
获利随的增加而减小，
当时，获利最多，
所以购进糯米糍箱，桂味箱时，获利最多．
23.【小题】
证明：，，
，
在与中，
≌．
【小题】
证明：≌，
，，
，
，即平分；
【小题】
证明：如图，过点作，垂足为，
，，，
，
又，
，
，，
，
，
，
，
又，
．

24.【小题】
，即；，即，解得：，；根据题意得：，由得：；由得：，不等式组恰好有个整数解，即，，，不等式组的解集为，，解得：；
【小题】
由，得到，整理得：，
对任意实数，都成立，，即

25.解：连接，
四边形是菱形，
，，，
，
，
，
与垂直且互相平分，
四边形是菱形，
，
又，
，
菱形是正方形；
，，
，
，
，
菱形的面积．