陕西省咸阳市秦都区2026届九年级上学期开学考试数学试卷（含答案）

陕西省 咸阳市秦都区2025-2026学年上学期 九年级数学开学考试试题
一、单选题
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．已知，则下列各式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列分式属于最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
4．若代数式能用公式法因式分解，则m的值为（ ）
A． B． C．2 D．1
5．的三边长分别是a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在中，，则的长为（ ）
A． B． C．8 D．
7．甲乙两人共同处理一批数据，已知乙单独处理数据的时间比甲少2小时，若两人合作处理，仅需1.2小时即可完成．设甲单独处理需要x小时，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图所示，在矩形中，已知于，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．因式分解：= .
10．正六边形的每个外角都等于 度．
11．已知点和点关于原点对称，则 ．
12．若分式的值为0，则实数x的值为 ．
13．如图，已知菱形的边长为，，点G、E、F分别是上的点，若，则的值是 ．
三、解答题
14．分解因式
15．解下列方程：；
16．解不等式组．
17．先化简：，再从1、2、0中选择一个合适的数代入求值．
18．如图，在的网格中，的顶点坐标分别为，，．将平移后得到，点，，的对应点分别为，，，且点与点关于原点对称．
(1)请在图中画出；
(2)连接，，求的面积．
19．某影院放映《哪吒2》，周末场观影人数比工作日场多人．周末场人均票价比工作日场人均票价少元，周末场和工作日场的票房收入均为元．求工作日场的观影人数是多少人？
20．如图：在菱形中，对角线交于点O，过点A作于点E，延长至点F，使，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求菱形的面积．
21．“超过一米长度的巨型辣条、直径接近二十厘米的巨型果冻，以及引人注目的超大份薯片……”在湖南省长沙市的解放西路，一家零食门店成为当地的热门地标．已知购买7个巨型辣条和8个超大份薯片共需380元，也可以用380元购买13个巨型辣条和4个超大份薯片．
(1)求巨型辣条和超大份薯片的单价；
(2)为了奖励学生，胡老师一次性购买巨型辣条和超大份薯片共20个，且学生对巨型辣条的喜爱，要求购买巨型辣条的数量多于12个，且不超过超大份薯片的3倍．请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需的费用．
22．如图所示，在中，点E，F是对角线上的两点，且，连接．求证：四边形是平行四边形．
23．如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．
（1）证明不论E、F在BC．CD上如何滑动，总有BE=CF；
（2）当点E、F在BC．CD上滑动时，分别探讨四边形AECF的面积和△CEF的周长是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最小值．
参考答案
1．B
解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
2．B
解：、，，则不成立，不符合题意，选项错误；
、∵，∴，符合题意，选项正确；
、，若，则；若，则，即不一定成立，选项错误；
、，，，则不成立，不符合题意，选项错误．
故选：．
3．C
A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、是最简分式，故此选项符合题意；
D、，故此选项不符合题意．
故选：C．
4．A
解：∵能用完全平方公式进行因式分解，
∴或，
即：；
故选：A．
5．C
解：A、∵∠A=∠B-∠C，
∴∠B=∠A+∠C，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴2∠B=180°，
解得∠B=90°，
∴△ABC是直角三角形，所以此选项不符合题意；
B、∵a：b：c=5：12：13，
设a=5x，b=12x，c=13x，
∴a2+b2=169x2=c2，
∴△ABC是直角三角形，所以此选项不符合题意；
C、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，
∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=75°，
∴△ABC是锐角三角形，所以此选项符合题意；
D、∵a2=（b+c）（b-c），
∴a2=b2-c2，
∴a2+c2=b2，
∴△ABC是直角三角形，所以此选项不符合题意；
故选：C．
6．A
解：设与交于点F，
∵四边形是平行四边形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
7．C
解：依题意得，
故选：C．
8．A
解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴（负值舍去）
故选A．
9．
解：
故答案为
10．60
解：正六边形的外角和为，
正六边形的每个外角都等于．
故答案为：60．
11．
解：∵点与点关于原点对称，
∴，，
则．
故答案为：．
12．-1
解：分式的值为0，
且，
解得．
故答案为：．
13．
解：连接，过A作于M，在上截取，连接，
∵四边形是菱形，
∴，
∵
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴F、G、K共线，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
14．．
解：
．
15．
解：原方程去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
故原方程的解为．
16．
解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
所以，不等式组的解集为：．
17．；1
解：
，
∵，
∴，
∴当时，
原式．
18．(1)见解析
(2)11
（1）解：画出如图所示；
（2）点与点关于原点对称，
点的坐标为，
平移方式为将向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度，
点的坐标为，
．
19．工作日场的观影人数是人
解：设工作日场的观影人数是人，则周末场的观影人数是人，
根据题意得：，
整理得：，
解得：或（不符题意，舍），
经检验是原方程的解，且符合题意，
答：工作日场的观影人数是人．
20．(1)见解析
(2)80
（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形．
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
∴，解得：，
∴，
∵，
∴．
21．(1)巨型辣条的单价为元，超大份薯片的单价为元
(2)购买巨型辣条15个，则购买超大份薯片5个时费用最少，最少费用为450元
（1）解：设巨型辣条的单价为x元，超大份薯片的单价为y元，根据题意得：
，
解得：，
答：巨型辣条的单价为元，超大份薯片的单价为元；
（2）解：设购买巨型辣条m个，则购买超大份薯片个，根据题意得：
，
解得，
设总费用为W元，，
因为，所以W随m的增大而减小。
当时，W取小值，此时，
最少费用为元．
所以，购买巨型辣条15个，则购买超大份薯片5个时费用最少，最少费用为450元．
22．证明见解析
证明：连接，交于点O，如图．
∵四边形是平行四边形，
∴（平行四边形的对角线互相平分）．
∵，
∴，即，
∴四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
23．（1）证明见解析；（2）四边形AECF的面积不变，△CEF的周长发生变化．面积为，周长最小值为4+2．
（1）如图，连接AC∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，
∠BAE+∠EAC=60°，∠FAC+∠EAC=60°，∴∠BAE=∠FAC
∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°．∴△ABC和△ACD为等边三角形
∴∠ACF=60°，AC=AB ∴∠ABE=∠AFC ∴在△ABE和△ACF中，∵∠BAE=∠FAC，AB=AC，∠ABE=∠AFC，∴△ABE≌△ACF（ASA） ∴BE=CF
（2）四边形AECF的面积不变，△CEF的周长发生变化．理由如下：
由（1）得△ABE≌△ACF，则．∴，是定值
作AH⊥BC于H点，则BH=2，
．
△CEF的周长=CE+CF+EF=CE+BE+EF=BC+EF=BC+AE
由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．
故△AEF的周长会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，△CEF的周长会最小=4+，