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专题：02 整式与因式分解
1．（2025·浙江·中考真题）【文化欣赏】
我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：
．
【应用体验】
已知，则m的值为
2．（2025·浙江·中考真题）化简求值：，其中．
题型一 根据整式的运算判断式子是否正确
1．（2025·浙江衢州·二模）下列运算正确的是（ ）
A． B．2
C． D．
2．（2025·浙江杭州·二模）下列运算正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·浙江·中考真题）下列式子运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·浙江衢州·一模）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025·浙江绍兴·二模）下列各式运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025·浙江宁波·二模）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·浙江绍兴·二模）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型二 整式的运算（选填题）
1．（2025·浙江温州·二模）计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·浙江杭州·二模）下列各式中，运算结果为的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·浙江嘉兴·二模）下列运算结果是的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·浙江温州·一模）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·浙江湖州·一模）计算结果为的是（ ）
A． B． C． D．
题型三 已知式子的值，求代数式的值
1．（2025·浙江台州·二模）如果代数式的值为3，那么代数式的值等于（ ）
A．2 B． C．8 D．
2．（2025·浙江杭州·一模）已知，则代数式的值为（ ）
A． B．0 C．2 D．4
3．（2025·浙江杭州·模拟预测）若，则 ．
4．（2025·浙江·三模）已知，则的值为 ．
题型四 整式中规律探索
1．（2025·浙江台州·一模）观察下面三行数：
①
②
③
设分别为第①②③行的第个数，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．
2．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，用棋子摆出一组形如正方形的图形，按照这种方法摆下去，摆第⑦个图形需要棋子（ ）
A．28枚 B．26枚 C．24枚 D．20枚
3．（2024·浙江嘉兴·一模）为美化市容，某广场要在人行雨道上用大小相同的灰、白两色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示，图1灰砖有1块，白砖有8块；图2灰砖有4块，白砖有12块；以此类推；若所选的图中灰砖有64块，则白砖有（ ）块
A．28 B．30 C．34 D．36
4．（2024·浙江温州·二模）在二维码中常用黑白方格表示数码1和0，若下图表示1011，则表示0110的图是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025·浙江杭州·模拟预测）按一定规律排列的一列数：，若表示这列数中的连续三个数，则满足的关系式是 ．
6．（2024·浙江台州·一模）一组有序排列的数具有如下规律：任意相邻的三个数，中间的数等于前后两数的积．若这组数第1个数是a，第5个数是，则第2028个数是 （用含a的式子表示）．
7．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，已知，点，， ，，在射线上，点、、， ，在射线上，、、、…均为等边三角形，若，则的面积为 ．
8．（2025·浙江杭州·二模）一些大小相同的“”按如图所示的规律摆放：第①个图形有2个，第②个图形有6个，第③个图形有10个，第④个图形有14个，…，依此规律，第⑩个图形有 个．
题型五 整式中化简求值问题（解答题）
1．（2025·浙江衢州·一模）先化简，再求值：，其中，．
2．（2025·浙江金华·二模）先化简，再求值：，其中
3．（2024·浙江杭州·一模）先化简再求值：，其中．
题型六 因式分解的简单应用
1．（2025·浙江台州·三模）因式分解： ．
2．（2025·浙江杭州·二模）因式分解： ．
3．（2025·浙江杭州·三模）分解因式： .
4．（2025·浙江杭州·二模）因式分解： ．
5．（2025·浙江舟山·一模）用提公因式法分解因式时，提取的公因式是
6．（2025·浙江温州·二模）因式分解： ．
7．（2025·浙江绍兴·二模）分解因式： ．
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专题：02 整式与因式分解
1．（2025·浙江·中考真题）【文化欣赏】
我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：
．
【应用体验】
已知，则m的值为
【答案】
【分析】本题考查了整式规律探究，根据展开，即可求解．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
2．（2025·浙江·中考真题）化简求值：，其中．
【答案】，13
【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，掌握运算法则是解题的关键．
先计算单项式乘以多项式，再进行合并同类项，然后再代入求值即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
题型一 根据整式的运算判断式子是否正确
1．（2025·浙江衢州·二模）下列运算正确的是（ ）
A． B．2
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘法与除法、合并同类项，
根据幂的乘方，底数不变，指数相乘计算判断A；再判断是否是同类项判断B；然后根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算判断C；最后根据同底数幂相除，底数不变，指数相减判断D．
【详解】解：因为，故A不正确；
因为与不是同类项，无法合并，故B不正确；
因为，故C正确；
因为，故D不正确．
故选：C．
2．（2025·浙江杭州·二模）下列运算正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查幂的运算性质，包括合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，需逐一验证各选项是否符合对应法则．
根据运算法则∶， ，即可判断．
【详解】解：选项A：同类项需字母部分相同且指数相同，而与指数不同，无法合并，故错误；
选项B：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，应为，故错误；
选项C：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即，故正确；
选项D：同底数幂相除，底数不变，指数相减，应为，故错误．
故选：C．
3．（2024·浙江·中考真题）下列式子运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了合并同类项，幂的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
分别利用合并同类型法则，同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法分别判断即可．
【详解】解： A、与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意．
故选：D．
4．（2025·浙江衢州·一模）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方，完全平方公式很容易混淆，一定要记准法则才能做题．
本题考查幂的运算和完全平方公式，需逐一验证各选项的正确性；
【详解】解：A. 同底数幂相乘，底数不变，指数相加，故，结果应为，选项A错误；
B. 积的乘方等于各因数乘方的积，故，结果应为，选项B错误；
C. 负数的偶次幂为正，故；同底数幂相除，底数不变，指数相减，故，结果正确，选项C正确；
D. 完全平方公式展开为，选项D缺少中间项，错误；
故选：C.
5．（2025·浙江绍兴·二模）下列各式运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘、除法，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据幂的乘方，同底数幂的乘、除法，合并同类项的运算法则计算，逐项判断即可．
【详解】解：A.， 故该选项不符合题意；
B.， 故该选项不符合题意；
C.不是同类项不能合并，故该选项不符合题意；
D. ，故该选项符合题意；
故选：D．
6．（2025·浙江宁波·二模）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查积的乘方，合并同类项，同底数幂乘除法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用积的乘方法则，合并同类项法则，同底数幂乘除法法则逐项判断即可．
【详解】解：A．，错误，故该选项不符合题意；
B．，错误，故该选项不符合题意；
C．，错误，故该选项不符合题意；
D．，正确，故该选项符合题意；
故选：D．
7．（2025·浙江绍兴·二模）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法以及除法，积的乘方运算，根据各自的运算法则一一计算并判断即可得出答案．
【详解】解：．和不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
．，原计算正确，故该选项符合题意；
． ，原计算错误，故该选项不符合题意；
．，原计算错误，故该选项不符合题意；
故选：B．
题型二 整式的运算（选填题）
1．（2025·浙江温州·二模）计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此进行作答即可．
【详解】解：，
故选：C．
2．（2025·浙江杭州·二模）下列各式中，运算结果为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了合并同类项，积的乘方，单项式除以单项式，单项式乘单项式，根据合并同类项，积的乘方，单项式除以单项式，单项式乘单项式法则逐项排除即可，
【详解】解： A、与不可以合并，故不符合题意；
B、，故不符合题意；
C、，故不符合题意；
D、，故符合题意；
故选：D．
3．（2025·浙江嘉兴·二模）下列运算结果是的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，幂的乘方，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A.，符合题意；
B. ，不符合题意；
C. ，不符合题意；
D. ，不符合题意；
故选：A．
4．（2025·浙江温州·一模）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了积的乘方、同底数幂相乘等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键．
先运用积的乘方计算，然后再运用同底数幂相乘的运算法则计算即可．
【详解】解：
．
故选D．
5．（2025·浙江湖州·一模）计算结果为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了 幂的乘方，
根据“幂的乘方，底数不变，指数相乘”计算即可．
【详解】解：因为，所以A不符合题意；
因为，所以B不符合题意；
因为，所以C符合题意；
因为，所以D不符合题意．
故选：C．
题型三 已知式子的值，求代数式的值
1．（2025·浙江台州·二模）如果代数式的值为3，那么代数式的值等于（ ）
A．2 B． C．8 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了代数式求值，根据题意可得，则．
【详解】解：∵代数式的值为3，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
2．（2025·浙江杭州·一模）已知，则代数式的值为（ ）
A． B．0 C．2 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了代数式求值，先将原代数式变形为，再整体代入得，再变形得，再一次整体代入即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
故选：C．
3．（2025·浙江杭州·模拟预测）若，则 ．
【答案】7
【分析】此题考查了代数式求值，解题的关键是将变形为整体代入求解．
先将变形为，然后根据整体方法代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：7．
4．（2025·浙江·三模）已知，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了代数式求值，先利用平方差公式将变形为，再将整体代入得，再次整体代入即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴
．
故答案为：．
题型四 整式中规律探索
1．（2025·浙江台州·一模）观察下面三行数：
①
②
③
设分别为第①②③行的第个数，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了数字规律、同底数幂相乘等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键．
先观察数据，发现规律，确定的值，然后代入计算即可．
【详解】由题知，第①行是以2为底数，从1开始的连续自然数为指数，奇数位置为负，偶数位置为正的数，所以第①行的第20个数为，
第②行的数比第①行对应的数大2，所以第②行的第20个数为，即，
第③行的数由第①行对应的数除以2所得，所以第③行的第20个数为，
所以
．
故选B．
2．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，用棋子摆出一组形如正方形的图形，按照这种方法摆下去，摆第⑦个图形需要棋子（ ）
A．28枚 B．26枚 C．24枚 D．20枚
【答案】A
【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，观察可知，每个图形棋子的个数即为序号的4倍，据此可得答案．
【详解】解：第①个图形需要枚棋子，
第②个图形需要枚棋子，
第③个图形需要枚棋子，
……，
以此类推可得，第n个图形需要枚棋子，
∴第⑦个图形需要棋子枚，
故选：A．
3．（2024·浙江嘉兴·一模）为美化市容，某广场要在人行雨道上用大小相同的灰、白两色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示，图1灰砖有1块，白砖有8块；图2灰砖有4块，白砖有12块；以此类推；若所选的图中灰砖有64块，则白砖有（ ）块
A．28 B．30 C．34 D．36
【答案】D
【分析】根据所给图形，依次求出图形中灰砖和白砖的块数，发现规律即可解决问题．本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现灰砖及白砖块数变化的规律是解题的关键．
【详解】由所给图形可知，
第 1 个图形中灰砖块数为：，白砖块数为：，
第 2 个图形中灰砖块数为：，白砖块数为：，
第3个图形中灰砖块数为：，白砖块数为：，
所以第个图形中灰砖块数为块，白砖块数为块，
当时，（舍负），
则（块），
即所选的图中灰砖有 64 块，则白砖有 36 块．
故选：D．
4．（2024·浙江温州·二模）在二维码中常用黑白方格表示数码1和0，若下图表示1011，则表示0110的图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了图形规律，理解图示，掌握图形规律是解题的关键．
根据材料提示，黑色的为1，白色的为0，由此即可求解．
【详解】解：根据材料提示，黑色的为1，白色的为0，
∴的图形规律为：白黑黑白，
故选：D ．
5．（2025·浙江杭州·模拟预测）按一定规律排列的一列数：，若表示这列数中的连续三个数，则满足的关系式是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了与单项式有关的规律探索，同底数幂乘法计算，负整数指数幂，观察可得相邻三个数之间，前面两个数的指数之和等于最后面一个数的指数，据此可根据同底数幂乘法计算打得到．
【详解】解：由题意得，相邻三个数之间，前面两个数的指数之和等于最后面一个数的指数，
不妨设x、y、z的指数分别为a、b、c，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
6．（2024·浙江台州·一模）一组有序排列的数具有如下规律：任意相邻的三个数，中间的数等于前后两数的积．若这组数第1个数是a，第5个数是，则第2028个数是 （用含a的式子表示）．
【答案】
【分析】本题考查数字类规律探究，设第2个数为，第3个数为，第4个数为，根据任意相邻的三个数，中间的数等于前后两数的积，求出，进而得到这组数每6个一组进行循环，进一步求出第2028个数即可．
【详解】解：设第2个数为，第3个数为，第4个数为，由题意，得：，
∴，
∴，
进而可得第六个数为，
∴依次可得这组数据为，即：这组数以6个为一组，进行循环，
∵，
∴第2028个数是；
故答案为：．
7．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，已知，点，， ，，在射线上，点、、， ，在射线上，、、、…均为等边三角形，若，则的面积为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，首先根据等边三角形的性质得，进而得，再根据等腰三角形的性质得，故得的边长为，同理得的边长为， 的边长为，以此规律可得，的边长，再根据等边三角形边长求出面积.熟练掌握等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质是解决问题的关键．
【详解】解：∵为等边三角形，
∴，
∴，又，
∴，
∴，
∴，
∴的边长为，
同理：的边长为， 的边长为，以此规律可得，的边长为，
∴的边长为，
∴的面积，
故答案为：．
8．（2025·浙江杭州·二模）一些大小相同的“”按如图所示的规律摆放：第①个图形有2个，第②个图形有6个，第③个图形有10个，第④个图形有14个，…，依此规律，第⑩个图形有 个．
【答案】38
【分析】本题考查了图形类规律探索，根据图形，发现规律，计算即可得解，正确得出规律是解此题的关键．
【详解】
解：由图形可得：第①个图形有个，
第②个图形有个，
第③个图形有个，
第④个图形有个，
…，
故第⑩个图形有个,
故答案为：．
题型五 整式中化简求值问题（解答题）
1．（2025·浙江衢州·一模）先化简，再求值：，其中，．
【答案】；
【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握完全平方公式和整式乘法运算法则，是解题的关键．先根据完全平方公式和单项式乘多项式进行化简，然后再代入数据进行求值即可．
【详解】解：
，
当，时，
原式
．
2．（2025·浙江金华·二模）先化简，再求值：，其中
【答案】，
【分析】本题考查单项式乘多项式法则、整式加减运算及代数式求值；解题关键是准确运用法则展开式子，合并同类项化简后再代入求值．
利用单项式乘多项式法则去括号，合并同类项法则进行化简，再代入求值即可．
【详解】解：
；
当时，原式．
3．（2024·浙江杭州·一模）先化简再求值：，其中．
【答案】，15
【分析】本题主要考查了整式化简求值，先根据完全平方公式，平方差公式进行化简，然后代入数据进行求值即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
题型六 因式分解的简单应用
1．（2025·浙江台州·三模）因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查的是利用平方差公式分解因式，直接利用分解因式即可．
【详解】解：；
故答案为：
2．（2025·浙江杭州·二模）因式分解： ．
【答案】
【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．
利用提公因式法因式分解即可．
【详解】解：．
故答案为：．
3．（2025·浙江杭州·三模）分解因式： .
【答案】
【分析】本题主要考查公式法因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键．根据平方差公式因式分解即可求解．
【详解】解：
故答案为：．
4．（2025·浙江杭州·二模）因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查提公因式法因式分解，找到正确的公因式是解题的关键．
提取公因式进行因式分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
5．（2025·浙江舟山·一模）用提公因式法分解因式时，提取的公因式是
【答案】
【分析】此题考查了提公因式法分解因式，正确找到最大公因式是解题的关键．利用提公因式法分解因式即可得到答案．
【详解】解：．
∴提取的公因式是．
故答案为：．
6．（2025·浙江温州·二模）因式分解： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了提公因式分解因式，提公因式即可分解因式．
【详解】解：，
故答案为：
7．（2025·浙江绍兴·二模）分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，利用平方差公式因式分解即可，掌握因式分解的方法是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
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