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素养提升课八
动能定理与机械能守恒定律的综合应用
第四章 机械能及其守恒定律
1．知道动能定理与机械能守恒定律的区别，体会二者在解题时的方法异同。
2．能灵活运用动能定理和机械能守恒定律解决综合题目。
素养目标
提升点一 动能定理和机械能守恒定律的比较
规律
比较 机械能守恒定律 动能定理
表达式 E1＝E2
ΔEk＝－ΔEp
ΔEA＝－ΔEB W＝ΔEk
使用范围 系统内只有重力或弹力做功 无条件限制
研究对象 物体与地球组成的系统 质点
物理意义 重力或弹力做功的过程是动能与势能转化的过程 合外力做的功是动能变化的量度
应用角度 守恒条件及初、末状态机械能的形式和大小 动能的变化及合外力做功情况
例1
(2)过山车在C点时对轨道的压力大小。
答案：6mg
探究归纳
1．无论是直线运动还是曲线运动，条件合适时，两规律都可以应用，都只考虑初、末状态，不需要考虑所经历过程的细节。
2．能用机械能守恒定律解决的问题都能用动能定理解决；能用动能定理解决的问题不一定能用机械能守恒定律解决。
3．动能定理比机械能守恒定律应用更广泛、更普遍。
(2)小球在A点时，其对圆形轨道的压力大小；
答案：60 N
(3)小球的释放点离水平地面的高度H。
答案：0.35 m
返回
提升点二 动能定理和机械能守恒定律的综合应用
动能定理和机械能守恒定律都可以用来求能量或速度，但侧重点不同，应用动能定理解决物体运动问题，尤其计算物体做的功时较简单，应用机械能守恒定律解决系统问题往往较简单，两者的灵活选择可以简化运算过程。
例2
(2)在杆转到竖直位置的过程中，轻杆对A、B两球分别
做了多少功？
答案：－0.2mgL 0.2mgL
例3
(2)若释放点距B点的高度为2r，求小球在曲面AB上运动时克服阻力所做的功W；
答案：mgr
√
√
返回
随堂演练 对点落实
(2)若运动员着陆时的速度大小为44 m/s，飞行中克服空气阻力做功为多少？
答案：4 920 J
2.(2024·佛山市高一期中)如图所示，粗糙水平地面AB与半径R＝0.4 m的光滑半圆轨道BCD相连接，且在同一竖直平面内，O是BCD的圆心，B、O、D在同一竖直线上。质量m＝2 kg的小物体在9 N的水平恒力F的作用下，从A点由静止开始做匀加速直线运动。已知AB＝5 m，小物块与水平地面间的动摩擦因数为μ＝0.2，取g＝10 m/s2。当小物块运动到B点时撤去力F。求：
(1)小物块到达B点时速度的大小；
答案：5 m/s
(2)小物块能否通过最高点D点？请用物理知识说明理由。
答案：能，理由见解析
(2)转动过程中杆对A球做功为多少？
答案：－9.6 J
返回
课时测评
√
√
√
3.(8分)(2024·云浮市高一校考)如图所示，竖直平
面内的光滑半圆形轨道下端与水平面相切，B、C
分别为半圆形轨道的最低点和最高点。小滑块沿水
平面向左滑动，经过A点时的速度vA＝6 m/s，经过
B点进入光滑半圆形轨道，且恰好通过最高点C。已知半圆轨道半径R＝0.40 m，小滑块的质量为0.5 kg。小滑块可看作质点，g＝10m/s2。求：
(1)滑块经过B点时对圆轨道的压力大小；
答案：30 N
(2)滑块从A到B过程中克服摩擦力做的功。
答案：4 J
4.(12分)(2024·深圳市高一期中)如图所示，斜面末端B点与水平面平滑相接，现将一质量m＝2 kg、可视为质点的物块在距水平地面高h＝0.5m处的A点以一定初速度释放(速度方向沿斜面向下)，物块运动到水平面上距B点s＝1.6 m处的C点停下，已知斜面光滑，物块与水平面之间的动摩擦因数μ＝0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，其他阻力忽略不计(g＝10 m/s2)。
(1)求物块到达B点时的速度大小；
答案：4 m/s
(2)求物块在A点的动能；
答案：6 J
5.(15分)(2024·肇庆市校考期末)某物理兴趣小组的
同学决定举行遥控赛车比赛，比赛路径如图所示。
可视为质点的赛车从起点A出发，沿水平直线轨道运
动L后，由B点进入半径为R的光滑竖直半圆轨道，并通过半圆轨道的最高点C，才算完成比赛。B是半圆轨道的最低点，水平直线轨道和半圆轨道相切于B点。已知赛车质量m＝0.5 kg，通电后以额定功率P＝2 W工作，进入半圆轨道前电动机已停止工作，进入竖直圆轨道前受到的阻力大小恒为f＝0.4 N，随后在运动中受到的阻力均可不计，L＝10.00 m，R＝0.32 m (g取10 m/s2)。求：
(1)要使赛车完成比赛，赛车在半圆轨道的B点速度至少多大？
答案：4 m/s
(2)要使赛车完成比赛，电动机至少工作多长时间？
答案：4 s
(3)若电动机工作时间为t0＝5 s，当R为多少时赛车既能完成比赛且飞出的水平距离又最大？水平距离最大是多少？
答案：0.3 m 1.2 m
6.(15分)(2024·广州市白云中学高一校考期中)如图所示，小球从P点出发，初速度大小为v0＝9 m/s，经过一段粗糙水平面PA后进入一固定在竖直平面上的光滑半圆形管道，小球直径略小于管道内径，小球运动到B点后脱离管道做平抛运动，经过0.3 s后又恰好垂直撞击倾角为45 的斜面。已知半圆形管道的半径R＝1 m，且半圆形管道半径远大于内径。小球质量m＝1 kg，g＝10 m/s2。求：
(1)小球垂直撞在斜面时，竖直方向的速度大小；
答案：3 m/s
根据题意可知，小球从B点飞出做平抛运动，则小球垂直撞在斜面时，竖直方向的速度大小为vy＝gt＝3 m/s。
(2)小球经过管道的B点时的速度大小；
答案：3 m/s
(3)小球经过管道的B点时，受到管道的作用力；
答案：1 N，方向竖直向上
(4)定性分析小球从A点上升到四分之一圆弧过程中，管道对小球作用力大小的变化。
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【素养目标】 1.知道动能定理与机械能守恒定律的区别，体会二者在解题时的方法异同。2.能灵活运用动能定理和机械能守恒定律解决综合题目。
提升点一 动能定理和机械能守恒定律的比较
规律 比较 机械能守恒定律 动能定理
表达式 E1＝E2 ΔEk＝－ΔEp ΔEA＝－ΔEB W＝ΔEk
使用范围 系统内只有重力或弹力做功 无条件限制
研究对象 物体与地球组成的系统 质点
物理意义 重力或弹力做功的过程是动能与势能转化的过程 合外力做的功是动能变化的量度
应用角度 守恒条件及初、末状态机械能的形式和大小 动能的变化及合外力做功情况
如图所示，粗糙水平轨道BC，左端与半径为R的四分之一光滑圆轨道AB连接，右端与半径为r的四分之三光滑圆轨道CDEF连接，圆心分别为O1、O2，质量为m的过山车从高为R的A处由静止滑下，恰好能够通过右侧圆轨道最高点E，重力加速度为g，求：
(1)过山车在B点时的速度大小；
(2)过山车在C点时对轨道的压力大小。
答案：(1) (2)6mg
解析：法一：运用动能定理
(1)从A处由静止滑到B的过程，根据动能定理得mgR＝
解得vB＝。
(2)过山车在E点时由牛顿第二定律有mg＝
从C点到E点，由动能定理得－mg·2r＝
在C点由牛顿第二定律得FC－mg＝
由牛顿第三定律得，过山车在C点对轨道的压力大小FC′＝FC＝6mg。
法二：运用机械能守恒定律
(1)从A到B，选地面为参考平面，对过山车由机械能守恒定律得mgR＋0＝
解得vB＝。
(2)过山车在E点时有mg＝
从C到E，由机械能守恒定律得
＝
设过山车过C点时，受到轨道的支持力大小为FC，则FC－mg＝
由牛顿第三定律得，过山车在C点对轨道的压力大小为FC′＝FC＝6mg。
1．无论是直线运动还是曲线运动，条件合适时，两规律都可以应用，都只考虑初、末状态，不需要考虑所经历过程的细节。
2．能用机械能守恒定律解决的问题都能用动能定理解决；能用动能定理解决的问题不一定能用机械能守恒定律解决。
3．动能定理比机械能守恒定律应用更广泛、更普遍。
针对练．(2024·湖南岳阳高一统考期末)足够长的光滑斜面与长度为L＝0.5 m粗糙水平地面平滑相连，质量为m＝1 kg的小球(可视为质点)从斜面距离地面高H处静止释放，经A点进入与水平地面平滑连接的光滑圆形轨道(A点为轨道最低点)，恰好能到达圆形轨道的最高点B点。已知小球与地面间的动摩擦因数μ＝0.2，圆形轨道半径R＝0.1 m，取重力加速度g＝10 m/s2，求：
(1)小球在B点的速度大小；
(2)小球在A点时，其对圆形轨道的压力大小；
(3)小球的释放点离水平地面的高度H。
答案：(1)1 m/s (2)60 N (3)0.35 m
解析：(1)根据题意，小球恰好能到达圆形轨道的最高点B，则mg＝
解得vB＝1 m/s。
(2)小球由A运动到B的过程中，根据机械能守恒定律得
＝＋mg·2R
在A点，轨道对小球的支持力和小球的重力的合力提供向心力，即FN－mg＝
解得FN＝60 N，vA＝ m/s
由牛顿第三定律可知小球在A点时对轨道的压力大小为60 N。
(3)小球从释放到运动到A点的过程，运用动能定理得
mgH－μmgL＝
代入数据解得H＝0.35 m。
提升点二 动能定理和机械能守恒定律的综合应用
动能定理和机械能守恒定律都可以用来求能量或速度，但侧重点不同，应用动能定理解决物体运动问题，尤其计算物体做的功时较简单，应用机械能守恒定律解决系统问题往往较简单，两者的灵活选择可以简化运算过程。
(2024·深圳市高一校联考期中)如图所示，在长为L的轻杆的中点和端点处分别固定质量均为m的小球A、B，杆可绕轴O无摩擦转动，使杆从水平位置无初速度释放。(不计空气阻力，重力加速度为g)
(1)当杆转到竖直位置时，小球A、B的速度大小分别为多少？
(2)在杆转到竖直位置的过程中，轻杆对A、B两球分别做了多少功？
答案：(1) (2)－0.2mgL 0.2mgL
解析：(1)由题意可知，轻杆与两个小球构成的系统机械能守恒。若取杆在竖直位置时的最低点所在水平面为参考平面，可得
mgL＋mgL＝
又因A球与B球在各个时刻对应的角速度相同，故vB＝2vA
解得vA＝ ，vB＝ 。
(2)根据动能定理，对于A有
WA＋mgL＝－0
所以WA＝－0.2mgL
对于B有WB＋mgL＝－0
所以WB＝0.2mgL。
如图所示，曲面AB与半径为r、内壁光滑的四分之一细圆管BC平滑连接于B点，管口B端切线水平，管口C端正下方立一根轻弹簧，轻弹簧一端固定，另一端恰好与管口C端齐平。质量为m的小球(可视为质点)在曲面上某点由静止释放，进入管口B端时，上管壁对小球的作用力为mg。
(1)求小球到达B点时的速度大小vB；
(2)若释放点距B点的高度为2r，求小球在曲面AB上运动时克服阻力所做的功W；
(3)小球通过BC后压缩弹簧，压缩弹簧过程中弹簧弹性势能的最大值为Ep，求弹簧被压缩的最大形变量x。
答案：(1) (2)mgr (3)－2r
解析：(1)小球在B点时，由牛顿第二定律可得mg＋mg＝，解得vB＝。
(2)小球从被释放至滑到B点过程，由动能定理得mg·2r－W＝－0
解得W＝mgr。
(3)当弹性势能最大时，小球的速度为0，对小球从B点到最低点的过程，小球与弹簧构成的系统机械能守恒，有mg(r＋x)＋＝Ep
解得x＝－2r。
针对练．(多选)如图所示，长度为L的三根轻杆构成一个正三角形支架，在A处固定质量为2m的小球，B处固定质量为m的小球，支架悬挂在O点，可绕过O点与支架所在平面相垂直的固定轴转动。开始时OB与水平地面相垂直，放手后开始运动。在无任何阻力的情况下，下列说法中正确的是(重力加速度为g)( )
A．A球到达最低点时速度为
B．A球到达最低点时，B球速度为
C．A球到达最低点时，杆对A做的功为－mgL
D．摆动过程中A球机械能守恒
答案：BC
解析：当A球到达最低点时，对A、B组成的系统由机械能守恒定律得(2mg－mg)·＝(2m＋m)v2，解得v＝，即此时A、B两球的速度均为 ，A错误，B正确；当A球到达最低点时，对A球由动能定理得2mg·＋W＝×2mv2，解得W＝－mgL，C正确；由C项分析可知，摆动过程中，除了重力做功，杆对A球做负功，A球机械能不守恒，D错误。
1．一跳台滑雪运动员在进行场地训练。某次训练中，运动员以30 m/s的速度斜向上跳出，空中飞行后在着陆坡的K点着陆。起跳点到K点的竖直高度差为60 m，运动员总质量(包括装备)为60 kg，g取10m/s2。试分析(结果可以保留根号)：
(1)若不考虑空气阻力，理论上运动员着陆时的速度多大？
(2)若运动员着陆时的速度大小为44 m/s，飞行中克服空气阻力做功为多少？
答案：(1)10 m/s (2)4 920 J
解析：(1)不考虑空气阻力，运动员从起跳到着陆的过程机械能守恒，则有＋mgh＝mv2，解得v＝10 m/s。
(2)根据动能定理有mgh－W克＝，
解得W克＝4 920 J。
2.(2024·佛山市高一期中)如图所示，粗糙水平地面AB与半径R＝0.4 m的光滑半圆轨道BCD相连接，且在同一竖直平面内，O是BCD的圆心，B、O、D在同一竖直线上。质量m＝2 kg的小物体在9 N的水平恒力F的作用下，从A点由静止开始做匀加速直线运动。已知AB＝5 m，小物块与水平地面间的动摩擦因数为μ＝0.2，取g＝10 m/s2。当小物块运动到B点时撤去力F。求：
(1)小物块到达B点时速度的大小；
(2)小物块能否通过最高点D点？请用物理知识说明理由。
答案：(1)5 m/s (2)能，理由见解析
解析：(1)从A到B，根据动能定理有
(F－μmg)·AB＝
代入数据解得vB＝5 m/s。
(2)假设小物块能通过最高点D点，从B到D，根据机械能守恒定律有＝＋mg·2R
代入数据解得vD＝3 m/s
恰好通过最高点D点的速度满足公式mg＝
解得vDmin＝2 m/s
因vD>vDmin，则小物块能通过最高点D点。
3.如图所示，A、B两小球分别固定在一刚性轻杆的两端，两球球心间相距L＝1.0 m，两球质量分别为mA＝4.0 kg，mB＝1.0 kg，杆上距A球球心0.40 m处有一水平轴O，杆可绕轴无摩擦转动，现先使杆保持水平，然后从静止释放，当杆转到竖直位置时，求：(g取10 m/s2)
(1)两球的速度大小各是多少？
(2)转动过程中杆对A球做功为多少？
答案：(1) m/s m/s (2)－9.6 J
解析：(1)对A、B组成的系统，在转动过程中A、B两球的角速度相同且系统机械能守恒，有
mAgLA－mBgLB＝
其中vA∶vB＝ωLA∶ωLB＝LA∶LB，LB＝L－LA，LA＝0.4 m
代入数据解得vA＝ m/s，vB＝ m/s。
(2)对A球应用动能定理，有
mAgLA＋W＝
解得W＝－9.6 J。
课时测评29 动能定理与机械能守恒定律的综合应用
(时间：30分钟 满分：60分)
(选择题1－2题，每题5分，共10分)
1.(多选)如图所示，质量分别为m1＝2 kg、m2＝1 kg的物体A、B通过细绳、光滑轻质滑轮连接，A离地面高度为h0＝0.5 m。A与B从静止开始释放，A由静止下落0.3 m时的速度为v1，下落0.3 m过程中细绳对B做的功为W，忽略空气的阻力，重力加速度g取10 m/s2，则( )
A．v1＝ m/s B．v1＝3 m/s
C．W＝1 J D．W＝4 J
答案：AD
解析：对A、B组成的系统由机械能守恒定律得m1gh－m2gh＝，其中h＝0.3 m，代入数据解得v1＝ m/s，故A正确，B错误；对物体B，根据动能定理得W－m2gh＝，代入数据解得W＝4 J，故C错误，D正确。故选AD。
2.(2024·四川成都高一统考期末)如图所示，一直角边长为R的光滑等腰直角三角形与半径为R的光滑圆柱的一部分无缝相接，固定在水平桌面上。质量分别为2m和m的物体A和小球B通过一根不可伸长的细线相连，小球B(视为质点)恰好位于桌面上。已知重力加速度为 g。从静止释放小球 B，在运动到圆柱顶点的过程中( )
A．物体 A的机械能守恒
B．当小球B到达圆柱顶点时，物体 A的速度大小为
C．绳的张力对小球 B 所做的功为mgR
D．绳的张力对物体 A 所做的功为mgR
答案：C
解析：B的动能和重力势能均增大，B的机械能增大，因为系统的机械能守恒，所以A的机械能减少，A错误；根据机械能守恒定律得2mg－mgR＝v2，解得v＝，B错误；根据功和能的关系得，绳的张力对小球 B 所做的功为WB＝mgR＋mv2＝mgR，C正确；根据机械能守恒定律可得绳的张力对物体 A 所做的功为WA＝－WB＝－mgR，D错误。故选C。
3.(8分)(2024·云浮市高一校考)如图所示，竖直平面内的光滑半圆形轨道下端与水平面相切，B、C分别为半圆形轨道的最低点和最高点。小滑块沿水平面向左滑动，经过A点时的速度vA＝6 m/s，经过B点进入光滑半圆形轨道，且恰好通过最高点C。已知半圆轨道半径R＝0.40 m，小滑块的质量为0.5 kg。小滑块可看作质点，g＝10m/s2。求：
(1)滑块经过B点时对圆轨道的压力大小；
(2)滑块从A到B过程中克服摩擦力做的功。
答案：(1)30 N (2)4 J
解析：(1)小滑块恰好通过最高点C，则可得mg＝
从C到B过程小滑块机械能守恒得，则有
2mgR＝
在B点由牛顿第二定律得FNB－mg＝
解得FNB＝30 N
根据牛顿第三定律可知滑块经过B点时对圆轨道的压力大小为30 N。
(2)对滑块，从A到B由动能定理得
－Wf＝
解得Wf＝4 J。
4.(12分)(2024·深圳市高一期中)如图所示，斜面末端B点与水平面平滑相接，现将一质量m＝2 kg、可视为质点的物块在距水平地面高h＝0.5 m处的A点以一定初速度释放(速度方向沿斜面向下)，物块运动到水平面上距B点s＝1.6 m处的C点停下，已知斜面光滑，物块与水平面之间的动摩擦因数μ＝0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，其他阻力忽略不计(g＝10 m/s2)。
(1)求物块到达B点时的速度大小；
(2)求物块在A点的动能；
(3)若赋予物块向左的水平初速度，使其从C点恰好到达A点，求水平初速度大小(结果可带根号)。
答案：(1)4 m/s (2)6 J (3) m/s
解析：(1)物块由B点到C点由动能定理可得
－μmgs＝
解得vB＝4 m/s。
(2)物块由A点到B点，由机械能守恒定律可得
mgh＝－EkA
解得EkA＝6 J。
(3)设初速度大小为v，从C点到A点由动能定理可得
－μmgs－mgh＝－mv2
解得v＝ m/s。
5.(12分)(2024·肇庆市校考期末)某物理兴趣小组的同学决定举行遥控赛车比赛，比赛路径如图所示。可视为质点的赛车从起点A出发，沿水平直线轨道运动L后，由B点进入半径为R的光滑竖直半圆轨道，并通过半圆轨道的最高点C，才算完成比赛。B是半圆轨道的最低点，水平直线轨道和半圆轨道相切于B点。已知赛车质量m＝0.5 kg，通电后以额定功率P＝2 W工作，进入半圆轨道前电动机已停止工作，进入竖直圆轨道前受到的阻力大小恒为f＝0.4 N，随后在运动中受到的阻力均可不计，L＝10.00 m，R＝0.32 m(g取10 m/s2)。求：
(1)要使赛车完成比赛，赛车在半圆轨道的B点速度至少多大？
(2)要使赛车完成比赛，电动机至少工作多长时间？
(3)若电动机工作时间为t0＝5 s，当R为多少时赛车既能完成比赛且飞出的水平距离又最大？水平距离最大是多少？
答案：(1)4 m/s (2)4 s (3)0.3 m 1.2 m
解析：(1)当赛车恰好经过C点时，有mg＝m
解得vC＝
对赛车从B到C由机械能守恒定律得＝
＋mg·2R，解得vB＝4 m/s。
(2)对赛车从A到B运动过程中，由动能定理得
Pt－fL＝－0，解得t＝4 s。
(3)对赛车从A到C的运动过程，由动能定理得
Pt0－fL－mg·2R＝
赛车飞出C后有2R＝gt′2，x＝v0t′，
解得x＝(m)
由数学知识知，当R＝0.3 m时x最大，xmax＝1.2 m。
6.(15分)(2024·广州市白云中学高一校考期中)如图所示，小球从P点出发，初速度大小为v0＝9 m/s，经过一段粗糙水平面PA后进入一固定在竖直平面上的光滑半圆形管道，小球直径略小于管道内径，小球运动到B点后脱离管道做平抛运动，经过0.3 s后又恰好垂直撞击倾角为45 的斜面。已知半圆形管道的半径R＝1 m，且半圆形管道半径远大于内径。小球质量m＝1 kg，g＝10 m/s2。求：
(1)小球垂直撞在斜面时，竖直方向的速度大小；
(2)小球经过管道的B点时的速度大小；
(3)小球经过管道的B点时，受到管道的作用力；
(4)定性分析小球从A点上升到四分之一圆弧过程中，管道对小球作用力大小的变化。
答案：(1)3 m/s (2)3 m/s (3)1 N，方向竖直向上 (4)见解析
解析：(1)根据题意可知，小球从B点飞出做平抛运动，则小球垂直撞在斜面时，竖直方向的速度大小为vy＝gt＝3 m/s。
(2)根据题意可知，小球经过管道的B点时的速度即小球从B点飞出做平抛运动的初速度，水平方向上，小球做匀速直线运动，则小球撞在斜面时，由平抛运动规律有＝tan 45
解得v0＝vy＝3 m/s
即小球经过管道B点时的速度大小为3 m/s。
(3)设小球经过管道的B点时，受到管道向下的作用力F，由牛顿第二定律有mg＋F＝m
解得F＝－1 N
即小球经过管道的B点时，受到管道的作用力大小为1 N，方向竖直向上。
(4)小球从A点上升到四分之一圆弧过程中，设运动到某处时，小球、圆心连线与竖直方向夹角为θ，对小球受力分析，如图所示
由牛顿第二定律有F－mg cos θ＝m
解得F＝mg cos θ＋m
由于轨道光滑，则上升过程中小球的机械能守恒，由机械能守恒定律有＝mv2＋mgR
整理可得F＝mg cos θ＋
由于小球从A点上升到四分之一圆弧过程中，θ增大，则cos θ减小，可知，F减小。
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