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单元综合提升
第二章 圆周运动
教考衔接 明确考向
(2023·江苏高考)“转碟”是传统的杂技项目，如图所示，质量为m的发光物体放在半径为r的碟子边缘，杂技演员用杆顶住碟子中心，使发光物体随碟子一起在水平面内绕A点做匀速圆周运动。当角速度为ω0时，碟子边缘看似一个光环。求此时发光物体的速度大小v0和受到的静摩擦力大小f。
答案：ω0r ω02r
真题1
发光体的速度v0＝ω0r，发光物体做匀速圆周运动，则静摩擦力充当做圆周运动的向心力，则静摩擦力大小为f＝ω02r。
衔接教材 教材P33物理情境
衔接分析 该高考题以杂技“转碟”素材为背景，考查圆周运动的动力学规律，与教材P33物理情境相似。
该题比较基础，考查描述圆周运动的运动参量间的关系，结合牛顿第二定律即可求解需要的向心力。该题拓展性较强，可以综合其他知识，考查较为复杂的圆周运动模型。
√
√
(2022·福建高考)清代乾隆的《冰嬉赋》用“躄躠”(可理解为低身斜体)二字揭示了滑冰的动作要领。500 m短道速滑世界纪录由我国运动员武大靖创造并保持。在其创造纪录的比赛中：
(1)武大靖从静止出发，先沿直道加速滑行，前8 m用时2 s。该过程可视为匀加速直线运动，求此过程加速度大小；
答案：4 m/s2
真题2
(2)武大靖途中某次过弯时的运动可视为半径为10 m的匀速圆周运动，速度大小为14 m/s。已知武大靖的质量为73 kg，求此次过弯时所需的向心力大小；
答案：1 430.8 N
(3)武大靖通过侧身来调整身体与水平冰面的夹角，使场地对其作用力指向身体重心而实现平稳过弯，如图所示。求武大靖在(2)问中过弯时身体与水平面的夹角θ的大小。(不计空气阻力，重力加速度大小取10 m/s2，tan 22 ＝0.40、tan 27 ＝0.51、tan 32 ＝0.62、tan 37 ＝0.75)
答案：27
衔接教材 沪科版P59～60案例2
案例：生活中经常遇到运动物体转弯的问题。许多物体在转弯时所做的运动，都可以看成是一种局部的圆周运动。这里需要讨论的问题是，做这种圆周运动的向心力是从哪里获得的呢？下面以自行车为例进行分析研究。
经验告诉我们，骑自行车转弯时，车与人会倾向弯道的内侧，这是什么原因呢？
分析：设自行车转弯时所走弯道(作为圆周的一部分)的半
径为R，人和自行车的总质量为m。
自行车在转弯处的受力情况如图甲所示，图中的F是地面对车的作用力(地面对车的弹力和静摩擦力的合力)，mg是重力，这两个力的合力F合指向弯道处的圆心，它提供了自行车做圆周运动的向心力。
请思考并讨论：
1．自行车转弯时倾斜的角度θ与哪些因素有关？
2．观察图乙，分析汽车在水平路面转弯时，是怎样获得向心力的。图中f表示路面对汽车的摩擦力。
3．观察图丙，了解并分析火车转弯时是怎样获得向心力的。
衔接分析 该高考题以武大靖短道速滑转弯为素材，创设探究圆周运动受力的物理情境，与沪科版P59～60案例2类似。
该题以运动竞技为背景，与火车转弯情境类似，做圆周运动的物体均需弹力和重力的合力提供向心力，在力的矢量三角形中求解力的大小和方向。
(2)被测试者对座位的压力为多大？
答案：2G
针对练2．某年场地自行车世界杯男子1公里个人计时赛中，我国运动员以 1分00秒754的成绩获得冠军。取重力加速度g＝10 m/s2，在比赛中：
(1)运动员先沿直道由静止开始加速，前24 m用时4 s，此过程可视为匀加速直线运动，求他在4 s末时的速度大小；
答案：12 m/s
(2)若运动员在倾斜赛道上转弯过程可视为半径12 m的水平匀速圆周运动，速度大小为16 m/s，已知他(包括自行车)的质量为90 kg，求此过程他(包括自行车)所需的向心力大小；
答案：1 920 N
(3)在(2)问中，自行车车身垂直赛道，此时自行车不受侧向摩擦力，赛道的支持力通过运动员和自行车的重心，实现匀速平稳转弯，如图，求转弯处赛道与水平面的夹角的正切值(结果保留3位有效数字)。
答案：2.13
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易错辨析 强化落实
1.(传动装置)如图为两级皮带传动装置，转动时皮
带均不打滑，中间两个轮子是固定在一起的，轮1
的半径和轮2的半径相同，轮3的半径和轮4的半径
相同，且为轮1和轮2半径的一半，则轮1边缘的a点和轮4边缘的b点相比
A．线速度之比为1∶4 B．角速度之比为4∶1
C．向心加速度之比为8∶1 D．向心加速度之比为1∶8
√
易错分析
本题易错点是错误判断线速度和角速度相等的点。皮带传动的点线速度相等，共轴转动的点角速度相等。
易错分析
本题易错点是把小球转到水平位置A时的向心力当作小球受到杆的作用力。实际是杆对小球的作用力在水平方向的分力充当向心力，竖直方向的分力与重力平衡。
3．(拱形路面)拱形桥的顶部可视为一段圆弧，这段圆弧对应的半径为10 m，当一辆小汽车(视作质点)以一定速度v经过桥顶时(g取10 m/s2)，以下说法正确的是
A．当v＝36 km/h时，车对桥面的压力等于重力
B．当v＝54 km/h时，车能贴着桥面，安全通过拱形桥
C．无论速度多大，车对桥面的压力都不可能大于重力
D．当v＝18 km/h时，车对桥面的压力是重力的0.25倍
√
易错分析
本题易错点是汽车安全通过拱形桥面的最大速度。仅重力提供向心力是汽车离开桥面的临界条件。
4.(竖直面内的圆周运动)(2024·广州市番禺中学高一
校考期中)如图所示，半径R＝0.40 m的光滑半圆环轨
道处于竖直平面内，半圆环与粗糙的水平地面相切于
圆环的端点A，半圆环最高点B与A是同一直径上的两个端点。一质量m＝0.10 kg的小球，以初速度v0＝7.0 m/s在水平地面上向左做加速度a＝3.0 m/s2的匀减速直线运动，运动4.0 m后，冲上竖直半圆环，若小球到达B点速度为3 m/s，最后小球落在C点，求(取重力加速度g＝10 m/s2)：
(1)小球经过A点时对轨道压力的大小；
答案：7.25 N
(2)A、C间的距离；
答案：1.2 m
(3)若半圆环轨道非光滑，小球到达B点速度小于
3 m/s，小球是否一定从B点离开圆环？通过计算
说明小球能经B离开圆环的条件。
答案：不一定，过程见解析
易错分析
本题易错点是错将圆轨道模型当作轻杆模型。判断绳、杆模型的关键是最高点的受力情况，绳子在最高点只能对小球具有向下的作用力。
易错分析
本题易错点为小球运动的周期减小时哪条绳子先达到最大拉力。解决本题的关键是列出平衡方程和圆周运动的向心力方程。
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单元检测卷
1.(2024·梅州市高一校考)如图为交通标志中的“环岛”图标。在轿车沿环岛匀速转弯的过程中，下列说法正确的是
A．轿车处于平衡状态
B．匀速圆周运动不是变速运动，是匀变速运动
C．轿车速度和加速度都在不断改变
D．轿车加速度的大小和方向都不变
√
由题可知，轿车转弯时做圆周运动，受力不平衡，所以不是平衡状态，故A错误；匀速圆周运动的速度方向一直在改变，加速度的方向也一直在改变，不是匀变速运动，故B错误，C正确；轿车做匀速圆周运动，加速度方向时刻在变，大小不变，故D错误。故选C。
2．如图所示，物体A、B随水平圆盘绕轴匀速转动，物体B在水平方向所受的作用力有
A．圆盘对B及A对B的摩擦力，两力都指向圆心
B．圆盘对B的摩擦力指向圆心，A对B的摩擦力背离圆心
C．圆盘对B及A对B的摩擦力和向心力
D．圆盘对B的摩擦力和向心力
√
以A、B整体为研究对象，受重力、圆盘的支持力及圆
盘对B的摩擦力，重力与支持力平衡，摩擦力提供向心
力，即摩擦力指向圆心；以A为研究对象，受重力、B
的支持力及B对A的摩擦力，重力与支持力平衡，B对A的摩擦力提供A做圆周运动的向心力，方向指向圆心，由牛顿第三定律，A对B的摩擦力背离圆心，所以物体B在水平方向受圆盘对B指向圆心的摩擦力和A对B背离圆心的摩擦力。故选B。
√
由于A和B两点是共轴转动，故两点角速度相等，故有ωA∶ωB＝1∶1，又由v＝ωr可得vA∶vB＝r∶R＝1∶2，故A错误，C正确；由于B点和D点所在的轮是由皮带传动，皮带传动的特点是两轮与皮带接触点的线速度的大小与皮带的线速度大小相等，故有vB∶vC＝1∶1，由v＝ωr可得ωB∶ωC＝r′∶R＝2∶3，故B、D错误。故选C。
4.(2024·潮州市高一校考期中)在下列情况中，汽车对拱形桥顶部的压力最大的是
A．以较小的速度驶过半径较大的桥 B．以较小的速度驶过半径较小的桥
C．以较大的速度驶过半径较大的桥 D．以较大的速度驶过半径较小的桥
√
√
6.如图所示，一质量为2.0×103 kg的汽车在水平公路上行驶，路面对轮胎的径向最大静摩擦力为1.4×104 N。当汽车经过半径为80 m的弯道时，下列判断正确的是
A．汽车转弯时受到重力、弹力、摩擦力和向心力
B．汽车安全转弯的向心加速度大小可能为8 m/s2
C．汽车转弯速度为20 m/s时汽车不会发生侧滑
D．汽车转弯速度为20 m/s时所需的向心力为1.2×104 N
√
√
8.(2024·云浮市高一统考期末)生活中的很多现象往往都可以从物理的角度进行解释。在下面的四幅图中，甲图展示的是汽车通过拱桥的最高点，乙图展示的是火车正在水平面内转弯，丙图展示的是儿童正在荡秋千，丁图展示的是摩托车骑手正在球形铁笼的竖直面内沿内壁进行“飞车走壁”表演。下列对四幅图中有关现象的说法正确的是
A．甲图中汽车通过拱桥的最高
点时处于失重状态
B．乙图中外轨高于内轨，但是
火车的轮缘可能对外轨产生侧向挤压
C．丙图中秋千摆至最低点时，儿童处于失重状态
D．丁图中在竖直面内做圆周运动的摩托车，在最高点时的速度可以为零
√
√
√
√
√
√
√
11.(8分)(2024·湛江市高一校考)为了探究物体做匀速圆周运动时，向心力与哪些因素有关，某同学进行了如下实验：
如图甲所示，绳子的一端拴一个小沙袋，绳上离小沙袋L处打一个绳结A，2L处打另一个绳结B。请一位同学帮助用秒表计时。如图乙所示，做了四次体验性操作。
操作1：手握绳结A，使沙袋在水平面内做匀速圆周运动，每秒运动1周。体验此时绳子拉力的大小。
操作2：手握绳结B，使沙袋在水平面内做匀速圆周运动，每秒运动1周。体验此时绳子拉力的大小。
操作3：手握绳结A，使沙袋在水平面内做匀速圆周运动，每秒运动2周。体验此时绳子拉力的大小。
操作4：手握绳结A，增大沙袋的质量到原来的2倍，使沙袋在水平面内做匀速圆周运动，每秒运动1周。体验此时绳子拉力的大小。
(1)操作2与操作1中，体验到绳子拉力较大的是________。
操作2
(2)操作3与操作1中，体验到绳子拉力
较大的是________。
操作3
(3)操作4与操作1中，体验到绳子拉力较大的是________。
操作4
(4)总结以上四次体验性操作，可知物体做匀速圆周运动时，向心力大小与________有关。
A．半径
B．质量
C．周期
D．线速度的方向
ABC
由以上四次操作，可知向心力的大小与质量、半径和周期有关，故选ABC。
(5)实验中，人体验到的绳子的拉力________(选填“是”或“不是”)沙袋做圆周运动的向心力。
不是
沙袋做圆周运动的向心力是绳子对沙袋的拉力的分力，作用在沙袋上，而人体验到的绳子的拉力作用在人上，不是同一个力。
12.(8分)(2024·梅州市高一期中)某兴趣小组用如图甲所示的装置与传感器结合，探究向心力大小的影响因素。实验时用手拨动旋臂使它做圆周运动，力传感器和光电门固定在实验器材上，测量向心力和角速度。
(1)电脑通过光电门测量挡光杆通过光电门的时间，并由挡光杆的宽度d、挡光杆通过光电门的时间Δt，可得挡光杆转动的线速度v＝______；若挡光杆做圆周运动的半径为r，可得砝码做圆周运动的角速度ω＝________。
(2)图乙中①、②两条曲线为相同半径、不同质量下向心力与角速度的关系图线，由图可知，曲线①对应的砝码质量______(选填“大于”或“小于”)曲线②对应的砝码质量。
小于
由牛顿第二定律可得F＝mω2r，若保持角速度和转动半径相同，可知质量大的物体需要的向心力大，所以曲线①对应的砝码质量小于曲线②对应的砝码质量。
15．(14分)(2024·韶关市高一校考期中)如图为
滑雪比赛的部分雪道，AB是倾角为θ＝37 的斜
坡，BCD是半径为R＝50 m的圆弧，斜坡与圆
弧在B点相切。一位质量为m＝50 kg的滑雪者(含滑板)从高处平台的A点以一定初速度水平滑出，经过t＝3 s时间，滑雪者刚好落在B点，滑到圆弧最低点C时，滑雪者的速度是在A点滑出时速度的2倍。重力加速度为g＝10 m/s2，sin 37 ＝0.6，cos 37 ＝0.8，滑板与雪道的动摩擦因数为μ＝0.2，不计空气阻力，求：
答案：75 m
(2)滑雪者在A点滑出时的速度大小vA；
答案：20 m/s
(3)滑雪者运动到C点时，滑板受到的摩擦力大小f。
答案：420 N
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(2023·江苏高考)“转碟”是传统的杂技项目，如图所示，质量为m的发光物体放在半径为r的碟子边缘，杂技演员用杆顶住碟子中心，使发光物体随碟子一起在水平面内绕A点做匀速圆周运动。当角速度为ω0时，碟子边缘看似一个光环。求此时发光物体的速度大小v0和受到的静摩擦力大小f。
答案：ω0r "r
解析：发光体的速度v0＝ω0r，发光物体做匀速圆周运动，则静摩擦力充当做圆周运动的向心力，则静摩擦力大小为f＝。
[衔接教材] 教材P33物理情境
[衔接分析] 该高考题以杂技“转碟”素材为背景，考查圆周运动的动力学规律，与教材P33物理情境相似。
该题比较基础，考查描述圆周运动的运动参量间的关系，结合牛顿第二定律即可求解需要的向心力。该题拓展性较强，可以综合其他知识，考查较为复杂的圆周运动模型。
针对练1.(多选)如图所示，半径为R的半球形容器固定在水平转台上，转台绕过容器球心O的竖直轴线以角速度ω匀速转动。质量相同的小物块A、B随容器转动且相对器壁静止，A、B和球心O点连线与竖直方向的夹角分别为α和β，α>β，α＝60 ，此时物块A受到的摩擦力恰好为零，重力加速度为g。则( )
A．B受到的摩擦力可能为零
B．转台转动的角速度大小为
C．B受沿容器壁向下的摩擦力
D．若ω改变，A受到的摩擦力可能不变
答案：BC
解析：当B摩擦力恰为零时，受力分析如图所示，根据牛顿第二定律得mg tan β＝mωB2 Rsin β，解得ωB＝，同理可得ωA＝，由于α>β，所以ωA>ωB，即A、B受到的摩擦力不可能同时为零，故A错误；A受的静摩擦力为零，则此时转台的角速度ω＝ωA>ωB，则有mg tan β针对练2.如图所示，有一可绕竖直中心轴转动的水平圆盘，原长为L、劲度系数为k的轻弹簧一端固定于轴O上，另一端连接质量为m的小物块A。当圆盘静止时，把弹簧拉长后将物块放在圆盘上，使物块能保持静止的弹簧的最大长度为，已知最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，转动过程中弹簧伸长始终在弹性限度内，则：
(1)若开始时弹簧处于原长L，当圆盘的角速度为多大时，物块A将开始滑动？
(2)若物块与圆盘一起匀速转动的周期T2＝2π时，物块恰好不受摩擦力作用，此时弹簧的伸长量x2为多大？
(3)若弹簧的长度L3＝时，物块与圆盘能一起匀速转动，试求转动角速度ω的取值范围。
答案：(1) (2) (3) ≤ω≤
解析：(1)开始时物块处于静止状态，根据平衡条件得
μmg＝k
圆盘开始转动时，A所受静摩擦力提供向心力
当最大静摩擦力提供向心力时，物块开始滑动，则有
μmg＝mω02L
联立解得圆盘的角速度为ω0＝ 。
(2)弹簧伸长x2时弹簧弹力提供向心力，则有
kx2＝m
联立解得x2＝。
(3)由(1)知μmg＝kL
当角速度最小时，摩擦力的方向与弹簧的拉力方向相反，则kL－μmg＝mω12
解得ω1＝
当角速度最大时，摩擦力的方向与弹簧的弹力的方向相同，
则kL＋μmg＝mω12
解得ω2＝
所以角速度需要满足 ≤ω≤ 。
(2022·福建高考)清代乾隆的《冰嬉赋》用“躄躠”(可理解为低身斜体)二字揭示了滑冰的动作要领。500 m短道速滑世界纪录由我国运动员武大靖创造并保持。在其创造纪录的比赛中：
(1)武大靖从静止出发，先沿直道加速滑行，前8 m用时2 s。该过程可视为匀加速直线运动，求此过程加速度大小；
(2)武大靖途中某次过弯时的运动可视为半径为10 m的匀速圆周运动，速度大小为14 m/s。已知武大靖的质量为73 kg，求此次过弯时所需的向心力大小；
(3)武大靖通过侧身来调整身体与水平冰面的夹角，使场地对其作用力指向身体重心而实现平稳过弯，如图所示。求武大靖在(2)问中过弯时身体与水平面的夹角θ的大小。(不计空气阻力，重力加速度大小取10 m/s2，tan 22 ＝0.40、tan 27 ＝0.51、tan 32 ＝0.62、tan 37 ＝0.75)
答案：(1)4 m/s2 (2)1 430.8 N (3)27
解析：(1)设武大靖运动过程的加速度大小为a，根据s＝at2
解得a＝4 m/s2。
(2)根据F向＝m
解得过弯时所需的向心力大小为F向＝1 430.8 N。
(3)设场地对武大靖的作用力大小为F，受力如图所示
根据牛顿第二定律可得F向＝
解得tan θ≈0.51
可得θ＝27 。
[衔接教材] 沪科版P59～60案例2
案例：生活中经常遇到运动物体转弯的问题。许多物体在转弯时所做的运动，都可以看成是一种局部的圆周运动。这里需要讨论的问题是，做这种圆周运动的向心力是从哪里获得的呢？下面以自行车为例进行分析研究。
经验告诉我们，骑自行车转弯时，车与人会倾向弯道的内侧，这是什么原因呢？
分析：设自行车转弯时所走弯道(作为圆周的一部分)的半径为R，人和自行车的总质量为m。
自行车在转弯处的受力情况如图甲所示，图中的F是地面对车的作用力(地面对车的弹力和静摩擦力的合力)，mg是重力，这两个力的合力F合指向弯道处的圆心，它提供了自行车做圆周运动的向心力。
请思考并讨论：
1．自行车转弯时倾斜的角度θ与哪些因素有关？
2．观察图乙，分析汽车在水平路面转弯时，是怎样获得向心力的。图中f表示路面对汽车的摩擦力。
3．观察图丙，了解并分析火车转弯时是怎样获得向心力的。
[衔接分析] 该高考题以武大靖短道速滑转弯为素材，创设探究圆周运动受力的物理情境，与沪科版P59～60案例2类似。
该题以运动竞技为背景，与火车转弯情境类似，做圆周运动的物体均需弹力和重力的合力提供向心力，在力的矢量三角形中求解力的大小和方向。
针对练1.飞机起飞时，飞行员处于超重状态，即飞行员对座位的压力大于他所受的重力，这种现象叫过荷，这时会造成飞行员大脑贫血，四肢沉重。过荷过大时，飞行员还会暂时失明，甚至晕厥，飞行员可以通过加强训练来提高自己的抗荷能力。如图是离心实验器的原理图，可以用离心实验器来研究过荷对人体的影响，测试人的抗荷能力。离心实验器转动
时，被测试者做匀速圆周运动，若被测试者所受重力为G，现观察到图中的直线AB(即垂直于座位的直线)与水平杆成30 角。求：
(1)被测试者做匀速圆周运动时所需向心力为多大？
(2)被测试者对座位的压力为多大？
答案：(1)G (2)2G
解析：被测试者做匀速圆周运动所需的向心力由他受的重力和座位对他的支持力的合力提供，对其受力分析如图所示。
(1)做匀速圆周运动需要的向心力为F向＝＝G。
(2)座位对他的支持力为F＝＝2G
由牛顿第三定律可知他对座位的压力大小也为2G。
针对练2.某年场地自行车世界杯男子1公里个人计时赛中，我国运动员以1分00秒754的成绩获得冠军。取重力加速度g＝10 m/s2，在比赛中：
(1)运动员先沿直道由静止开始加速，前24 m用时4 s，此过程可视为匀加速直线运动，求他在4 s末时的速度大小；
(2)若运动员在倾斜赛道上转弯过程可视为半径12 m的水平匀速圆周运动，速度大小为16 m/s，已知他(包括自行车)的质量为90 kg，求此过程他(包括自行车)所需的向心力大小；
(3)在(2)问中，自行车车身垂直赛道，此时自行车不受侧向摩擦力，赛道的支持力通过运动员和自行车的重心，实现匀速平稳转弯，如图，求转弯处赛道与水平面的夹角的正切值(结果保留3位有效数字)。
答案：(1)12 m/s (2)1 920 N (3)2.13
解析：(1)设运动员沿直道由静止开始加速4 s时的速度大小为v，则s＝t
解得v＝12 m/s。
(2)运动员和自行车在转弯过程中所需的向心力F＝m
解得F＝1 920 N。
(3)设赛道与水平面的夹角为θ，则tan θ＝≈2.13。
1.(传动装置)如图为两级皮带传动装置，转动时皮带均不打滑，中间两个轮子是固定在一起的，轮1的半径和轮2的半径相同，轮3的半径和轮4的半径相同，且为轮1和轮2半径的一半，则轮1边缘的a点和轮4边缘的b点相比( )
A．线速度之比为1∶4
B．角速度之比为4∶1
C．向心加速度之比为8∶1
D．向心加速度之比为1∶8
答案：D
解析：由题意知va＝v3，v2＝vb，又轮2与轮3同轴转动，角速度相同，则v2＝2v3，所以va∶vb＝1∶2，A错误；角速度之比为＝∶＝1∶4，B错误；aa＝＝＝＝ab，即aa∶ab＝1∶8，C错误，D正确。故选D。
【易错分析】 本题易错点是错误判断线速度和角速度相等的点。皮带传动的点线速度相等，共轴转动的点角速度相等。
2.(向心力的来源与计算)如图所示，鼓形轮的半径为R，绕固定水平轴O匀速转动，周期为T。在鼓形轮上沿相互垂直的直径方向固定四根直杆，直杆上各固定一个质量为m的小球(视为质点)，各小球到转轴O的距离均为鼓形轮半径的k(k>1)倍。重力加速度大小为g。求：
(1)小球匀速转动的线速度大小v；
(2)转到水平位置A的小球对直杆的弹力大小F。
答案：(1) (2)
解析：(1)鼓形轮转动的角速度大小ω＝
小球和鼓形轮转动的角速度相同，有v＝ωkR
解得v＝。
(2)设小球转到水平位置A时所受直杆的弹力大小为F′，有 ＝mω2kR
根据牛顿第三定律有F＝F′
解得F＝ 。
【易错分析】 本题易错点是把小球转到水平位置A时的向心力当作小球受到杆的作用力。实际是杆对小球的作用力在水平方向的分力充当向心力，竖直方向的分力与重力平衡。
3．(拱形路面)拱形桥的顶部可视为一段圆弧，这段圆弧对应的半径为10 m，当一辆小汽车(视作质点)以一定速度v经过桥顶时(g取10 m/s2)，以下说法正确的是( )
A．当v＝36 km/h时，车对桥面的压力等于重力
B．当v＝54 km/h时，车能贴着桥面，安全通过拱形桥
C．无论速度多大，车对桥面的压力都不可能大于重力
D．当v＝18 km/h时，车对桥面的压力是重力的0.25倍
答案：C
解析：汽车过拱桥最高点时，根据牛顿第二定律得mg－F＝m，解得支持力为F＝mg－m≤mg，故C正确；设车能贴着桥面安全通过桥面的最大速度为vm，此时F＝0，则有mg＝，解得vm＝＝10 m/s＝36 km/h，而54 km/h>36 km/h，故汽车不能贴着桥面，安全通过拱形桥，故A、B错误；当v＝18 km/h＝5 m/s时，根据F＝mg－m，得F＝0.75mg，故D错误。故选C。
【易错分析】 本题易错点是汽车安全通过拱形桥面的最大速度。仅重力提供向心力是汽车离开桥面的临界条件。
4.(竖直面内的圆周运动)(2023·广东广州番禺中学高一校考期中)如图所示，半径R＝0.40 m的光滑半圆环轨道处于竖直平面内，半圆环与粗糙的水平地面相切于圆环的端点A，半圆环最高点B与A是同一直径上的两个端点。一质量m＝0.10 kg的小球，以初速度v0＝7.0 m/s在水平地面上向左做加速度a＝3.0 m/s2的匀减速直线运动，运动4.0 m后，冲上竖直半圆环，若小球到达B点速度为3 m/s，最后小球落在C点，求(取重力加速度g＝10 m/s2)：
(1)小球经过A点时对轨道压力的大小；
(2)A、C间的距离；
(3)若半圆环轨道非光滑，小球到达B点速度小于3 m/s，小球是否一定从B点离开圆环？通过计算说明小球能经B离开圆环的条件。
答案：(1)7.25 N (2)1.2 m (3)不一定，过程见解析
解析：(1)小球向左做匀减速直线运动的过程中，有
＝2as
代入数据解得vA＝5 m/s
小球经过A点时，根据牛顿第二定律，有FN－mg＝m
解得FN＝7.25 N
根据牛顿第三定律可得小球经过A点时对轨道压力的大小为7.25 N。
(2)小球经过B点后做平抛运动，则x＝vBt，2R＝gt2
联立可得x＝1.2 m。
(3)当小球恰好通过B点时，有mg＝m
解得vB＝2 m/s
所以当0故小球到达B点速度小于3 m/s时，小球不一定从B点离开圆环；小球能经B点离开圆环的条件是vB≥2 m/s。
【易错分析】 本题易错点是错将圆轨道模型当作轻杆模型。判断绳、杆模型的关键是最高点的受力情况，绳子在最高点只能对小球具有向下的作用力。
5．(水平面内的临界问题)(2023·江苏南通高一统考期末)如图所示，一质量为m的小球用长度均为L的两轻绳a、b连接，绳a的另一端固定在竖直细杆的P点，绳b的另一端固定在杆上距P点为L的Q点。当杆绕其竖直中心轴匀速转动时，将带动小球在水平面内做匀速圆周运动。不计空气阻力，重力加速度为g。
(1)当绳b刚好拉直(无弹力)时，求小球的线速度大小v；
(2)若两绳能承受的最大拉力均为4mg，求小球绕杆做圆周运动的最小周期T。
答案：(1) (2)π
解析：(1)圆周运动的半径r＝L cos 30
小球的合力提供向心力，则mg tan 60 ＝m
解得v＝。
(2)竖直方向Fa sin 30 ＝Fb sin 30 ＋mg
水平方向Fa cos 30 ＋Fb cos 30 ＝mr
当小球做圆周运动的周期减小时，a绳先达到最大拉力Fa＝4mg，解得最小周期T＝π 。
【易错分析】 本题易错点为小球运动的周期减小时哪条绳子先达到最大拉力。解决本题的关键是列出平衡方程和圆周运动的向心力方程。
单元检测卷(二) 圆周运动
(时间：90分钟 满分：100分)
一、单项选择题(本题共7小题，每小题4分，共28分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.(2024·梅州市高一校考)如图为交通标志中的“环岛”图标。在轿车沿环岛匀速转弯的过程中，下列说法正确的是( )
A．轿车处于平衡状态
B．匀速圆周运动不是变速运动，是匀变速运动
C．轿车速度和加速度都在不断改变
D．轿车加速度的大小和方向都不变
答案：C
解析：由题可知，轿车转弯时做圆周运动，受力不平衡，所以不是平衡状态，故A错误；匀速圆周运动的速度方向一直在改变，加速度的方向也一直在改变，不是匀变速运动，故B错误，C正确；轿车做匀速圆周运动，加速度方向时刻在变，大小不变，故D错误。故选C。
2．如图所示，物体A、B随水平圆盘绕轴匀速转动，物体B在水平方向所受的作用力有( )
A．圆盘对B及A对B的摩擦力，两力都指向圆心
B．圆盘对B的摩擦力指向圆心，A对B的摩擦力背离圆心
C．圆盘对B及A对B的摩擦力和向心力
D．圆盘对B的摩擦力和向心力
答案：B
解析：以A、B整体为研究对象，受重力、圆盘的支持力及圆盘对B的摩擦力，重力与支持力平衡，摩擦力提供向心力，即摩擦力指向圆心；以A为研究对象，受重力、B的支持力及B对A的摩擦力，重力与支持力平衡，B对A的摩擦力提供A做圆周运动的向心力，方向指向圆心，由牛顿第三定律，A对B的摩擦力背离圆心，所以物体B在水平方向受圆盘对B指向圆心的摩擦力和A对B背离圆心的摩擦力。故选B。
3.如图为皮带传动装置，主动轴O1上有两个半径分别为R和r的轮，O2上的轮半径为r′，已知R＝2r，R＝r′，设皮带不打滑，则( )
A．ωA∶ωB＝1∶2 B．ωB∶ωC＝3∶2
C．vA∶vB＝1∶2 D．vB∶vC＝3∶2
答案：C
解析：由于A和B两点是共轴转动，故两点角速度相等，故有ωA∶ωB＝1∶1，又由v＝ωr可得vA∶vB＝r∶R＝1∶2，故A错误，C正确；由于B点和D点所在的轮是由皮带传动，皮带传动的特点是两轮与皮带接触点的线速度的大小与皮带的线速度大小相等，故有vB∶vC＝1∶1，由v＝ωr可得ωB∶ωC＝r′∶R＝2∶3，故B、D错误。故选C。
4.(2024·潮州市高一校考期中)在下列情况中，汽车对拱形桥顶部的压力最大的是( )
A．以较小的速度驶过半径较大的桥
B．以较小的速度驶过半径较小的桥
C．以较大的速度驶过半径较大的桥
D．以较大的速度驶过半径较小的桥
答案：A
解析：汽车经过拱形桥顶部时，由于沿半径方向的合力提供向心力，则有mg－FN1＝m，根据牛顿第三定律，汽车对凸形桥顶部的压力FN2＝FN1，解得FN2＝mg－m，可知，以较小的速度驶过半径较大的桥时，汽车对拱形桥顶部的压力最大。故选A。
5.(2024·广州市高一校考)有关圆周运动的基本模型如图所示，下列说法正确的是( )
A．如图甲，“水流星”在竖直面内做匀速圆周运动的过程中，在最高点处水对碗底压力大于其在最低处水对碗底的压力
B．如图乙，小球通过竖直光滑圆形管道(半径为R)最高点的最小速度为(g为重力加速度)
C．如图丙，两个圆锥摆摆线与竖直方向夹角θ不同，但圆锥高相同，则两圆锥摆的角速度相同
D．如图丁，链球由于受到离心力的作用而飞出去
答案：C
解析：题图甲，“水流星”匀速转动过程中，在最高点处水对碗底压力F1＝m－mg，在最低处水对碗底的压力F2＝m＋mg，则在最高点处水对碗底压力小于其在最低处水对碗底的压力，故A错误；题图乙，小球在竖直光滑圆形管道里做圆周运动，在最高点速度可以等于0，故B错误；题图丙，对小球进行受力分析，由牛顿第二定律有mg tan θ＝mω2h tan θ，解得ω＝，可见只要圆锥高相同，则两圆锥摆的角速度相同，故C正确；题图丁，链球飞出去是因为链球所需要的向心力大于它所受到的合力，做离心运动，并不存在“离心力”这种力，故D错误。故选C。
6.如图所示，一质量为2.0×103 kg的汽车在水平公路上行驶，路面对轮胎的径向最大静摩擦力为1.4×104 N。当汽车经过半径为80 m的弯道时，下列判断正确的是( )
A．汽车转弯时受到重力、弹力、摩擦力和向心力
B．汽车安全转弯的向心加速度大小可能为8 m/s2
C．汽车转弯速度为20 m/s时汽车不会发生侧滑
D．汽车转弯速度为20 m/s时所需的向心力为1.2×104 N
答案：C
解析：向心力是效果力，不是物体实际受力，故A错误；当径向最大静摩擦力提供向心力时，加速度最大为a＝＝7 m/s2，故B错误；由fmax＝m，解得汽车转弯的最大速度为vm≈23.7 m/s>20 m/s，所以汽车转弯速度为20 m/s时汽车不会侧滑，故C正确；汽车转弯速度为20 m/s时，所需的向心力F＝m＝1×104 N，故D错误。故选C。
7.如图所示，竖直薄壁圆筒内壁光滑，其半径为R，上部侧面A处开有小口，在小口A的正下方h处开有与A大小相同的小口B，小球从小口A沿切线方向水平射入筒内，使小球紧贴筒内壁运动。重力加速度为g。要使小球从B口处飞出，小球进入上面小口的最小速率v0为( )
A．πR B．πR
C．πR D．2πR
答案：B
解析：小球在竖直方向上只受重力作用，做自由落体运动，故小球从A到B的时间为t＝ ，设小球从A运动到B的过程中，沿水平方向转了n圈，则有v0t＝n·2πR(n＝1，2，3，…)，当n＝1时，小球进入上面小口的速率v0最小，解得v0＝πR，B正确。
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
8.(2024·云浮市高一统考期末)生活中的很多现象往往都可以从物理的角度进行解释。在下面的四幅图中，甲图展示的是汽车通过拱桥的最高点，乙图展示的是火车正在水平面内转弯，丙图展示的是儿童正在荡秋千，丁图展示的是摩托车骑手正在球形铁笼的竖直面内沿内壁进行“飞车走壁”表演。下列对四幅图中有关现象的说法正确的是( )
A．甲图中汽车通过拱桥的最高点时处于失重状态
B．乙图中外轨高于内轨，但是火车的轮缘可能对外轨产生侧向挤压
C．丙图中秋千摆至最低点时，儿童处于失重状态
D．丁图中在竖直面内做圆周运动的摩托车，在最高点时的速度可以为零
答案：AB
解析：汽车通过拱桥的最高点时，受竖直向下的重力和向上的支持力，因为做圆周运动，合力向下，加速度向下，因此汽车处于失重状态，A正确；火车水平面内转弯，需要水平方向的向心力，因此需要轨道外高内低，让支持力在水平方向产生指向圆心的分力从而提供向心力，若火车速度超过规定速度，火车有做离心运动的趋势，此时火车的轮缘可能对外轨产生侧向挤压，B正确；秋千摆至最低点时，加速度向上，儿童一定处于超重状态，C错误；在竖直面内做圆周运动的摩托车，在最高点时的最小速度满足mg＝，即v＝，所以在最高点速度不可以为零，D错误。故选AB。
9.如图所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力均为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是( )
A．b一定比a先开始滑动
B．a、b所受的摩擦力始终相等
C．ω＝是b开始滑动的临界角速度
D．当ω＝时，a所受摩擦力的大小为kmg
答案：AC
解析：小木块a、b做圆周运动时，由静摩擦力提供向心力，即f＝mω2R。当角速度增大时，静摩擦力增大，当增大到最大静摩擦力时，发生相对滑动，对木块a有kmg＝mωa2l，可得ωa＝；对木块b有kmg＝mωb2·2l，可得ωb＝<ωa，所以b先达到最大静摩擦力，即b先开始滑动，A、C正确；两木块滑动前转动的角速度相同，则fa＝mω2l，fb＝mω2·2l，fa10.如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球(大小不计)，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其图像如图乙所示。则( )
A．小球的质量为
B．当地的重力加速度大小为
C．v2＝c时，小球对杆的弹力方向向上
D．v2＝2b时，小球受到的弹力与重力大小相等
答案：ACD
解析：当小球受到的弹力F方向向下时，有F＋mg＝，解得F＝v2－mg；当弹力F方向向上时，有mg－F＝m，解得F＝mg－m。对比F-v2图像和F的两个表达式可知，a＝mg；当v2＝b时，F＝0，可得b＝gR，则g＝，m＝，A正确，B错误；对比F-v2图像和F的两个表达式可知，0＜v2＜b时，F方向向上；v2＞b时，F方向向下。则 v2＝c时，小球受到的弹力方向向下，则小球对杆的弹力方向向上，C正确；v2＝2b＞b，则F向下，结合F＝v2－mg，可知小球受到的弹力与重力大小相等，D正确。
三、非选择题(本题共6小题，共54分。按题目要求作答。计算题要有必要的文字说明和解题步骤，有数值计算的要注明单位)
11.(8分)(2024·湛江市高一校考)为了探究物体做匀速圆周运动时，向心力与哪些因素有关，某同学进行了如下实验：
如图甲所示，绳子的一端拴一个小沙袋，绳上离小沙袋L处打一个绳结A，2L处打另一个绳结B。请一位同学帮助用秒表计时。如图乙所示，做了四次体验性操作。
操作1：手握绳结A，使沙袋在水平面内做匀速圆周运动，每秒运动1周。体验此时绳子拉力的大小。
操作2：手握绳结B，使沙袋在水平面内做匀速圆周运动，每秒运动1周。体验此时绳子拉力的大小。
操作3：手握绳结A，使沙袋在水平面内做匀速圆周运动，每秒运动2周。体验此时绳子拉力的大小。
操作4：手握绳结A，增大沙袋的质量到原来的2倍，使沙袋在水平面内做匀速圆周运动，每秒运动1周。体验此时绳子拉力的大小。
(1)操作2与操作1中，体验到绳子拉力较大的是________。
(2)操作3与操作1中，体验到绳子拉力较大的是________。
(3)操作4与操作1中，体验到绳子拉力较大的是________。
(4)总结以上四次体验性操作，可知物体做匀速圆周运动时，向心力大小与________有关。
A．半径 B．质量
C．周期 D．线速度的方向
(5)实验中，人体验到的绳子的拉力________(选填“是”或“不是”)沙袋做圆周运动的向心力。
答案：(1)操作2 (2)操作3 (3)操作4 (4)ABC (5)不是
解析：(1)根据F＝mr可知，操作2与操作1相比，操作2的半径大，沙袋质量和周期相等，可知拉力较大的是操作2。
(2)根据F＝mr可知，操作3与操作1相比，操作3沙袋的周期较小，半径不变，沙袋的质量不变，可知操作3的拉力较大。
(3)操作4和操作1比较，半径和周期不变，沙袋质量变大，根据F＝mr可知，操作4的拉力较大。
(4)由以上四次操作，可知向心力的大小与质量、半径和周期有关，故选ABC。
(5)沙袋做圆周运动的向心力是绳子对沙袋的拉力的分力，作用在沙袋上，而人体验到的绳子的拉力作用在人上，不是同一个力。
12.(8分)(2024·梅州市高一期中)某兴趣小组用如图甲所示的装置与传感器结合，探究向心力大小的影响因素。实验时用手拨动旋臂使它做圆周运动，力传感器和光电门固定在实验器材上，测量向心力和角速度。
(1)电脑通过光电门测量挡光杆通过光电门的时间，并由挡光杆的宽度d、挡光杆通过光电门的时间Δt，可得挡光杆转动的线速度v＝______；若挡光杆做圆周运动的半径为r，可得砝码做圆周运动的角速度ω＝________。
(2)图乙中①、②两条曲线为相同半径、不同质量下向心力与角速度的关系图线，由图可知，曲线①对应的砝码质量______(选填“大于”或“小于”)曲线②对应的砝码质量。
答案：(1) (2)小于
解析：(1)挡光杆转动的线速度为v＝，由v＝ωr，因砝码与挡光杆的角速度相同，故砝码做圆周运动的角速度为ω＝＝。
(2)由牛顿第二定律可得F＝mω2r，若保持角速度和转动半径相同，可知质量大的物体需要的向心力大，所以曲线①对应的砝码质量小于曲线②对应的砝码质量。
13.(10分)如图所示，半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，其正上方h处沿OB方向水平抛出一小球，不计空气阻力，重力加速度为g，要使球与盘只碰一次，且落点为B，求小球的初速度v的大小及圆盘转动的角速度ω。
答案：R 2nπ (n＝1，2，3，…)
解析：设球在空中运动时间为t，此圆盘转过θ角，则R＝vt，h＝gt2
解得初速度大小v＝R
设在时间t内圆盘转动的圈数为n，则周期T＝(n＝1，2，3，…)
则圆盘的角速度ω＝＝2nπ(n＝1，2，3，…)。
14.(14分)(2024·深圳市高一统考期末)如图为某战斗机的训练过程示意图，战斗机需要完成俯冲和拉起的动作，可视为竖直平面内的匀速圆周运动，在最高点飞机呈倒置状态。已知飞行员的质量为m，圆周运动的半径为R，重力加速度为g。
(1)若战斗机匀速圆周运动的线速度为 ，则战斗机在最高点和最低点时，对飞行员的弹力大小分别为多少？
(2)若飞行员能承受的最大弹力为自身重力的10倍，则在此训练中战斗机匀速圆周运动的线速度最大值为多少？
答案：(1)mg 3mg (2)3
解析：(1)设飞行员在最高点所受战斗机的弹力为F1，则有
mg＋F1＝
解得F1＝mg；
设飞行员在最低点所受战斗机的弹力为F2，则有
F2－mg＝
解得F2＝3mg。
(2)当飞行员在最低点时承受的弹力最大时，有
10mg－mg＝
解得vm＝3。
15.(14分)(2024·韶关市高一校考期中)如图为滑雪比赛的部分雪道，AB是倾角为θ＝37 的斜坡，BCD是半径为R＝50 m的圆弧，斜坡与圆弧在B点相切。一位质量为m＝50 kg的滑雪者(含滑板)从高处平台的A点以一定初速度水平滑出，经过t＝3 s时间，滑雪者刚好落在B点，滑到圆弧最低点C时，滑雪者的速度是在A点滑出时速度的2倍。重力加速度为g＝10 m/s2，sin 37 ＝0.6，cos 37 ＝0.8，滑板与雪道的动摩擦因数为μ＝0.2，不计空气阻力，求：
(1)斜坡AB的长s；
(2)滑雪者在A点滑出时的速度大小vA；
(3)滑雪者运动到C点时，滑板受到的摩擦力大小f。
答案：(1)75 m (2)20 m/s (3)420 N
解析：(1)滑雪者从A点滑出后做平抛运动，其做平抛运动的竖直位移为h＝gt2＝45 m
根据几何关系，斜坡AB的长为s＝＝ m＝75 m。
(2)滑雪者做平抛运动的水平位移为x＝＝ m＝60 m
因为平抛运动在水平方向为匀速直线运动，则滑雪者在A点抛出的初速度大小为vA＝＝ m/s＝20 m/s。
(3)由题意可知vC＝2vA＝2×20 m/s＝40 m/s
设滑雪者运动到C点时，雪道对他(含滑板)的支持力为FN，则有FN－mg＝m
解得FN＝2 100 N
则由牛顿第三定律可知，滑雪者在C点时，滑板对雪道的压力为FN′＝FN＝2 100 N
则滑板受到雪道的摩擦力为f＝μFN′＝420 N。
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