2.1《数列的概念与简单表示法》(下)

课件14张PPT。第二章 数 列2.1 数列的概念与简单表示法(下)
高中数学老师欧阳文丰制作问题：如果一个数列{an}的首项a1=1，从第二项起每一项等于它的前一项的2倍再加1，
即 an = 2 an-1 + 1（n∈N，n>1），（※）你能写出这个数列的前三项吗？像上述问题中给出数列的方法叫做递推法，其中an=2an-1+1(n>1)称为递推公式。递推公式也是数列的一种表示方法。递推公式：递推公式也是数列的一种表示方法。例3 设数列 满足 写出这个数列的前五项。练习：P31 2 例4：已知下列数列的递推公式，写出此数列的前 4 项，
并推测数列的通项公式．
(1)数列{an}满足 an＋1＝2an＋1，n∈N*，且 a1＝－1；(2)在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋
1
n(n－1)(n≥2)．补充典型例题 数列的递推公式是由递推关系式( 递推)和首
项或前几项(基础)两个因素所确定的，即便递推关系完全一样，
而首项不同就可得到两个不同的数列，适当配凑是本题进行归
纳的前提． 例5：已知在数列{an}中，a1＝5，an＝an－1＋3(n≥2)，求数
列{an}的通项公式．
思维突破：先对an＝an－1＋3 从2 到n 进行取值，得到
n－1 个式子，再把这n－1 个式子相加，消去中间项．
自主解答：由递推关系 an＝an－1＋3(n≥2)，得
a2＝a1＋3，
a3＝a2＋3，
… 若数列有形如an＋1＝an＋f(n)的递推公式，且可
求 f(1)＋f(2)＋…＋f(n)，可用累加法求通项公式．an－1＝an－2＋3，
an＝an－1＋3.
将以上(n－1)个式子左右两边同时相加，得
a2＋a3＋…＋an－1＋an
＝a1＋3＋a2＋3＋a3＋3＋…＋an－1＋3，
消去a2＋a3＋…＋an－1，并整理，得an＝a1＋3(n－1)．
∵a1＝5，∴an＝3n＋2. 例6：已知a1＝2，an＋1＝2an，求an.
思维突破：对an＋1＝2an从 1 到n－1 进行取值，得到n－1
个式子，再把这 n－1 个式子相乘，消去中间项． 例7：根据图 2－1－1 中的框图，建立所打印数列的递推
公式，试写出这个数列的前 4 项，并归纳出递推公式．图 2－1－1 易错点评：没有准确把握相邻两项
(即an＋1 与an)之间的联系和区别．1．数列的递推公式是数列的另一种给出方法，注意它与通项公式的区别及其用法． 2．递推数列的题型多样，求递推数列的通项公式的方法也
非常灵活，解题时要仔细辨析递推关系式的特征，准确选择恰
当的方法，通过适当的策略将问题进行化归，是迅速求出通项
公式的关键．【变式与拓展】
1．在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项an是关于项数 n
的一次函数．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)判断 88 是否为数列{an}的项． 2：已知数列{an}的通项公式为 an＝－n2＋6n.
(1)数列中有多少项是正数？
(2)当 n 为何值时，an 有最大值？最大值是多少？
数列的通项an 是n 的函数，利用函数求最值的方
法，可求an 的最值．自主解答：(1)∵an＝－n(n－6)，n∈N*，
∴当n＝1,2,3,4,5时，an>0.
∴数列中有5项是正数．
(2)∵an＝－n2＋6n＝－(n－3)2＋9，
∴当n＝3时，an最大且an＝9.【变式与拓展】


(1)写出它的一个通项公式；
(2)判断它的增减性．