四川省泸州市2016年高考数学二诊试卷（文科）（解析版）

2016年四川省泸州市高考数学二诊试卷（文科）
　
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.
1．已知集合M={x|﹣3＜x＜1，x∈R}，N={﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，则M∩N=（　　）
A．{﹣2，﹣1，0，1}
B．{﹣3，﹣2，﹣1，0}
C．{﹣2，﹣1，0}
D．{﹣3，﹣2，﹣1}
2．命题“ x∈R，x2≠x”的否定是（　　）
A． x0∈R，x=x0
B． x∈R，x2=x
C． x0 R，x≠x0
D． x R，x2≠x
3．某市2015年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如图，则这组数据中的中位数是（　　）
A．20
B．21.5
C．21
D．20.5
4．在△ABC中，若=（+），则下列关系式正确的是（　　）
A．BD=2CD
B．BD=CD
C．BD=3CD
D．CD=2BD
5．执行如图所示的程序框图，当输出值为4时，输入x的值为（　　）
A．2
B．±2
C．﹣2或﹣3
D．2或﹣3
6．已知函数f（x）=sinωx+co
( http: / / www.21cnjy.com )sωx（ω＞0）的最小正周期为π，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个长度单位，得到函数g（x）的解析式为（　　）
A．g（x）=2sin（2x+）
B．g（x）=2sin（2x﹣）
C．g（x）=2sin2x
D．g（x）=2cos2x
7．如图是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（　　）
A．12+24
B．24+24
C．12+12
D．24+12
8．设实数x，y满足，则的取值范围是（　　）
A．[，8]
B．[，3]
C．[3，8]
D．[，+∞）
9．某地政府决定用同规格大理石建一堵七层的
( http: / / www.21cnjy.com )护墙，各层用该种大理石块数是：第一层用全部大理石的一半多一块，第二层用剩下的一半多一块，第三层…以此类推，到第七层恰好将大理石用完，则共需该种大理石（　　）
A．128块
B．126块
C．64块
D．62块
10．若函数f（x）=x2+ex﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（　　）
A．（﹣）
B．（）
C．（）
D．（）
　
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11．（i为虚数单位）的值是　　　　　　．
12．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中
( http: / / www.21cnjy.com )，C1C⊥平面ABC，∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是　　　　　　．
13．已知定义域为R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，且f（）=0，则不等式f（x﹣2）＞0的解集是　　　　　　．
14．已知函数f（x）=l
( http: / / www.21cnjy.com )oga（x+3）﹣1的图象经过定点A，且点A在直线mx+ny=1（m＜0，n＜0）上，则+的最大值为　　　　　　．
15．设函数f（x）=，其中R为实数集，Q为理数集，关于函数f（x）有如下四个命题：
①f（f（x））=0；
②函数f（x）是偶函数；
③任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对任意的x恒成立；
④函数f（x）图象上至少存在三个点A、B、C，使得△ABC为等边三角形．
其中是真命题的序号是　　　　　　（写出所有真命题的序号）
　
三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤
16．已知数列{an}满足：an+1=2an，且a1，a2+1，a3成等差数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=log2an（n∈N
），求使b1+b2+…+bn＞45成立的最小整数n．
17．已知圆C与y轴相切，圆心在直线x﹣2y=0上，且被x轴的正半轴截得的弦长为2．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若点（x，y）在圆C上，求x+2y的最大值．
18．口袋中有质地、大小完全相同的5个
( http: / / www.21cnjy.com )球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏，甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．
（Ⅰ）求编号和为6的事件发生的概率；
（Ⅱ）这种游戏规则公平吗？试说明理由；
（Ⅲ）如果甲摸出球后不放回，则游戏对谁有利？
19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acosC+asinC=b+2c．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若向量在向量方向上的投影为，且sinC=，求b的值．
20．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F，H分别是BC，PC，PD的中点．
（Ⅰ）证明：AE⊥PD；
（Ⅱ）设平面PAB∩平面PCD=l，求证：FH∥l；
（Ⅲ）若AB=1，且AF=，求多面体AEFH的体积．
21．已知函数f（x）=lnx+x2﹣x．
（Ⅰ）求函数f（x）在[，2]上的值域；
（Ⅱ）设x1，x2（x1＜x2）是
( http: / / www.21cnjy.com )函数g（x）=f（x）﹣（b﹣）x的两个极值点，若b≥，且g（x1）﹣g（x2）≥k恒成立，求实数k的取值范围．
　
2016年四川省泸州市高考数学二诊试卷（文科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.
1．已知集合M={x|﹣3＜x＜1，x∈R}，N={﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，则M∩N=（　　）
A．{﹣2，﹣1，0，1}
B．{﹣3，﹣2，﹣1，0}
C．{﹣2，﹣1，0}
D．{﹣3，﹣2，﹣1}
【考点】交集及其运算．
【分析】找出集合M与N的公共元素，即可求出两集合的交集．
【解答】解：∵集合M={x|﹣3＜x＜1，x∈R}，N={﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，
∴M∩N={﹣2，﹣1，0}．
故选C
　
2．命题“ x∈R，x2≠x”的否定是（　　）
A． x0∈R，x=x0
B． x∈R，x2=x
C． x0 R，x≠x0
D． x R，x2≠x
【考点】命题的否定．
【分析】利用全称命题的否定是特称命题推出结果即可．
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“ x∈R，x2≠x”的否定是 x0∈R，x=x0
故选：A．
　
3．某市2015年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如图，则这组数据中的中位数是（　　）
A．20
B．21.5
C．21
D．20.5
【考点】茎叶图．
【分析】根据中位数的定义进行求解即可．
【解答】解：根据茎叶图中的数据有12个，位于中间的两个数为20，21，
则中位数为=20.5．
故选：D．
　
4．在△ABC中，若=（+），则下列关系式正确的是（　　）
A．BD=2CD
B．BD=CD
C．BD=3CD
D．CD=2BD
【考点】向量加减混合运算及其几何意义．
【分析】根据向量的加法的意义得到D是BC的中点，从而得到答案．
【解答】解：在△ABC中，若=（+），
则D是BC的中点，
故选：B．
　
5．执行如图所示的程序框图，当输出值为4时，输入x的值为（　　）
A．2
B．±2
C．﹣2或﹣3
D．2或﹣3
【考点】程序框图．
【分析】根据程序框图，得到x的可能取值，逐个判断是否满足条件即可得到答案．
【解答】解：当输出值为4时，由程序框图知x的取值为﹣3或2或﹣2，
x=﹣3，x≥1不成立，执行y=1﹣x=4，正确．
x=2，x≥1成立，执行y=x2=4，正确．
x=﹣2，x≥1不成立，执行y=1﹣x=3，不正确．
故选：D．
　
6．已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的最小正周期为π，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个长度单位，得到函数g（x）的解析式为（　　）
A．g（x）=2sin（2x+）
B．g（x）=2sin（2x﹣）
C．g（x）=2sin2x
D．g（x）=2cos2x
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；两角和与差的正弦函数．
【分析】由条件利用两角和差的正弦公式，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：∵函数f（x）=sinωx+cosωx=2sin（ωx+）的最小正周期为π，
∴=π，∴ω=2，f（x）=2sin（2x+）．
把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个长度单位，
得到函数g（x）=2sin[2（x+）+]=2sin（2x+）=2cos2x的解析式，
故选：D．
　
7．如图是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（　　）
A．12+24
B．24+24
C．12+12
D．24+12
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，计算出各个面的面积，可得答案．
【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，
底面面积为：
=9，
前侧面面积为：
=15，
左右两个侧面的面积均为：
=6，
故该四面体的表面积为：24+12，
故选：D．
　
8．设实数x，y满足，则的取值范围是（　　）
A．[，8]
B．[，3]
C．[3，8]
D．[，+∞）
【考点】简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域，数形结合求得的取值范围．
【解答】解：由约束条件，作出可行域如，
由，求得A（，），由，解得B（2，1），利用斜率公式得结合图形可知的取值范围是[，8]．
故选：A．
　
9．某地政府决定用同规格大理石建一堵七层的护
( http: / / www.21cnjy.com )墙，各层用该种大理石块数是：第一层用全部大理石的一半多一块，第二层用剩下的一半多一块，第三层…以此类推，到第七层恰好将大理石用完，则共需该种大理石（　　）
A．128块
B．126块
C．64块
D．62块
【考点】数列递推式；归纳推理．
【分析】每一层都用去了上次
( http: / / www.21cnjy.com )剩下砖块的一半多一块，由题设知到第7层恰好砖用光，且每一层都用去了前一层剩下的一半多一块，从而得出第7层用了2块，第6层用4块，第5层用了8块，…，以此类推，能求出此次砌墙一共用了多少块砖．
【解答】解：由已知中每一层都用去了上次剩下砖块的一半多一块，
且第7层恰好砖用光，
故第7层用了2块，
第6层用4块，
第5层用了8块，
…，
第1层用了26块，
故共需该种大理石2+4+8+…+26=27﹣2=126块，
故选：B
　
10．若函数f（x）=x2+ex﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（　　）
A．（﹣）
B．（）
C．（）
D．（）
【考点】函数的图象．
【分析】由题意可得ex0﹣﹣ln（﹣x0+a）=0有负根，函数h（x）=ex﹣﹣ln（﹣x+a）为增函数，由此能求出a的取值范围．
【解答】解：由题意可得：
存在x0∈（﹣∞，0），满足x02+ex0﹣=（﹣x0）2+ln（﹣x0+a），
即ex0﹣﹣ln（﹣x0+a）=0有负根，
∵当x趋近于负无穷大时，ex0﹣﹣ln（﹣x0+a）也趋近于负无穷大，
且函数h（x）=ex﹣﹣ln（﹣x+a）为增函数，
∴h（0）=e0﹣﹣lna＞0，
∴lna＜ln，
∴a＜，
∴a的取值范围是（﹣∞，），
故选：A
　
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11．（i为虚数单位）的值是　1+2i　．
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】先将分母实数化，根据平方差公式化简即可．
【解答】解：
==1+2i，
故答案为：1+2i．
　
12．如图，在三棱柱AB
( http: / / www.21cnjy.com )C﹣A1B1C1中，C1C⊥平面ABC，∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是　　．
【考点】异面直线及其所成的角．
【分析】以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1B与AC所成角的余弦值．
【解答】解：以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AA1=2，AC=BC=1，
∴A1（1，0，2），B（0，1，0），A（1，0，0），C（0，0，0），
=（﹣1，1，﹣2），=（﹣1，0，0），
设异面直线A1B与AC所成角为α，
则cosα===．
∴异面直线A1B与AC所成角的余弦值为．
故答案为：．
　
13．已知定义域为R上的偶函数f（x）
( http: / / www.21cnjy.com )在[0，+∞）上单调递增，且f（）=0，则不等式f（x﹣2）＞0的解集是　{x|x＞或x＜}　．
【考点】奇偶函数图象的对称性．
【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化，即可得到不等式的解集．
【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，f（）=0，
∴不等式f（x﹣2）＞0等价为f（|x﹣2|）＞f（），
即|x﹣2|＞，
即x﹣2＞或x﹣2＜﹣，
即x＞或x＜，
∴不等式f（x﹣2）＞0的解集为{x|x＞或x＜}．
故答案为：{x|x＞或x＜}．
　
14．已知函数f（x）=loga（x+
( http: / / www.21cnjy.com )3）﹣1的图象经过定点A，且点A在直线mx+ny=1（m＜0，n＜0）上，则+的最大值为　﹣3﹣2　．
【考点】对数函数的图象与性质；基本不等式．
【分析】令对数的真数等于1，求得x
( http: / / www.21cnjy.com )、y的值，可得函数的图象经过定点A的坐标，把点A的坐标代入直线mx+ny=1，利用基本不等式求得+的最大值．
【解答】解：∵令x+3=1，求得x=﹣2，y=﹣1，可得
函数f（x）=loga（x+3）﹣1的图象经过定点A（﹣2，﹣1），
根据点A在直线mx+ny=1（m＜0，n＜0）上，可得﹣2m﹣n=1，
则+=+=﹣3﹣﹣=﹣3﹣（+）≤﹣3﹣2，当且仅当=时，取等号，
故+
的最大值为﹣3﹣2，
故答案为：﹣3﹣2．
　
15．设函数f（x）=，其中R为实数集，Q为理数集，关于函数f（x）有如下四个命题：
①f（f（x））=0；
②函数f（x）是偶函数；
③任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对任意的x恒成立；
④函数f（x）图象上至少存在三个点A、B、C，使得△ABC为等边三角形．
其中是真命题的序号是　②③④　（写出所有真命题的序号）
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】根据已知中函数f（x）=，逐一分析四个结论的真假，可得答案．
【解答】解：∵函数f（x）=，
∴f（f（x））=，
故①错误；
函数f（﹣x）==f（x）恒成立，故②正确；
③任取一个不为零的有理数T，f（x+T）==f（x）对任意的x恒成立，故③正确；
④对于任意x∈Q，A（x，1），B（x﹣，0），C（x+，0），是边长为的等边三角形，故④正确；　
故答案为：②③④
　
三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤
16．已知数列{an}满足：an+1=2an，且a1，a2+1，a3成等差数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=log2an（n∈N
），求使b1+b2+…+bn＞45成立的最小整数n．
【考点】数列与不等式的综合；等差数列的通项公式；数列递推式．
【分析】（I）由数列{an}满足：an+
( http: / / www.21cnjy.com )1=2an，数列{an}的公比q=2，a1，a2+1，a3成等差数列，可得2（a2+1）=a1+a3．解得a1．利用等比数列的通项公式即可得出an．
（Ⅱ）由（I）可知bn=log2an
( http: / / www.21cnjy.com )=n，数列{bn}为等差数列，根据等差数列前n项和公式，将b1+b2+…+bn＞45转化成＞45，解得n的取值范围，求得不等式成立的最小正整数n．
【解答】解：（Ⅰ）因为an+1=2an，
所以数列{an}为公比为2的等比数列，
由已知：a1，a2+1，a3成等差数列，即2（a2+1）=a1+a3，
2（2a1+1）=a1+4a1，
所以a1=2，
∴数列{an}的通项公式an=2n；
（Ⅱ）bn=log2an=n，
所以bn﹣bn﹣1=1，
数列{bn}为等差数列，
b1+b2+…+bn=，
∴＞45，即：n2+n﹣90＞0
解得：n＞9，
求使b1+b2+…+bn＞45成立的最小整数n=10．
　
17．已知圆C与y轴相切，圆心在直线x﹣2y=0上，且被x轴的正半轴截得的弦长为2．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若点（x，y）在圆C上，求x+2y的最大值．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】（Ⅰ）设圆心（2m，m），半径为r（m＞0，r＞0），由已知条件列出方程组，求出m=1，r=2，由此能求出圆C的方程．
（Ⅱ）设x+2y=t，由题意得直线x+
( http: / / www.21cnjy.com )2y=t与圆C相交或相切，当t=x+2y取最大值时，直线x+2y﹣t=0与圆相切，由此能求出x+2y的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）设圆心（2m，m），半径为r（m＞0，r＞0），
由题意得，解得m=1，r=2，
∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．
（Ⅱ）设x+2y=t，
由题意得直线x+2y=t与圆C相交或相切，
当t=x+2y取最大值时，直线x+2y﹣t=0与圆相切，
∴圆心（2，1）到直线x+2y=t的距离d满足：
d==2，
解得t=4﹣2或t=4+2．
∴x+2y的最大值为4+2．
　
18．口袋中有质地、大小完全相
( http: / / www.21cnjy.com )同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏，甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．
（Ⅰ）求编号和为6的事件发生的概率；
（Ⅱ）这种游戏规则公平吗？试说明理由；
（Ⅲ）如果甲摸出球后不放回，则游戏对谁有利？
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】（Ⅰ）设“两数之和为6”为事件A，利用列举法能求出编号和为6的概率．
（Ⅱ）这种游戏规则不公平．设甲胜为事件
( http: / / www.21cnjy.com )B，乙胜为事件C，利用列举法求出甲胜的概率，从而得到乙胜的概率，由P（B）≠P（C），得这种游戏规则不公平．
（Ⅲ）设甲胜为事件D，乙胜为事件E，利用列举法能求出P（D），P（E），由P（D）＜P（E），得到对乙有利．
【解答】解：（Ⅰ）设“两数之和为6”为事件A，事件A包含的基本事件有：
（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），共5个，
又甲、乙二人取出的数字共有5×5=25种等可能结果，
∴P（A）=，
编号和为6的概率为．
（Ⅱ）这种游戏规则不公平．
设甲胜为事件B，乙胜为事件C，则甲胜即两数之和为偶数包含的基本事件个数为13个：
（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（3，1），（3，3），
（3，5），（4，2），（4，4），（5，1），（5，3），（5，5），
∴甲胜的概率P（B）=，
从而乙胜的概率P（C）=1﹣=，
∵P（B）≠P（C），∴这种游戏规则不公平．
（Ⅲ）设甲胜为事件D，乙胜为事件E，则甲胜即两数字之和为偶数所包含的基本事件数为8个：
（1，3），（1，5），（2，4），（3，1），（3，5），（4，2），（5，1），（5，3），
又甲、乙二人取出的数字共有5×4=20种等可能的结果，
∴P（D）==，P（E）=，P（D）＜P（E），对乙有利．
　
19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acosC+asinC=b+2c．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若向量在向量方向上的投影为，且sinC=，求b的值．
【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算；余弦定理．
【分析】（Ⅰ）由正弦定理及两角和的正弦公式
( http: / / www.21cnjy.com )可得sinAcosC+sinAsinC=sinB+2sinC=sin（A+C）+2sinC=sinAcosC+sinCcosA+2sinC，整理可求A．
（Ⅱ）由题意可求cosC，sinB，cosB，tanB，由tanB=，解得AD，由sinC=，可解得b的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵acosC+asinC=b+2c，
∴sinAcosC+sinAsinC=sinB+2sinC，
∴sinAcosC+sinAsinC=sinB+2sinC=sin（A+C）+2sinC=sinAcosC+sinCcosA+2sinC，
∵sinC≠0，
∴sinA﹣cosA=2，
∴sin（A﹣30°）=1，
∴A﹣30°=90°，
∴A=120°．
（Ⅱ）如图，AD⊥BC，∵A=120°，sinC=，可得：cosC=，
∴sinB=sin（A+C）=﹣=，cosB=，tanB=，
∴tanB==，解得：AD=，
∴由sinC==，可得：b==5．
　
20．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F，H分别是BC，PC，PD的中点．
（Ⅰ）证明：AE⊥PD；
（Ⅱ）设平面PAB∩平面PCD=l，求证：FH∥l；
（Ⅲ）若AB=1，且AF=，求多面体AEFH的体积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】（I）由PA⊥平面ABCD得PA⊥AE，由△ABC是等边三角形，AD∥BC得AE⊥AD，故AE⊥平面PAD，于是AE⊥PD；
（II）由中位线定理得FH∥BC∥AB，故FH∥平面PAB，由线面平行的性质可得FH∥l；
（III）连结AC，则PA⊥AC，根据
( http: / / www.21cnjy.com )直角三角形的性质求出PC，PA，取AD中点G，则HG=，FH=，由HG⊥平面ABCD可得HG⊥CD，从而HG⊥FH，过A作AM⊥EG，则AM⊥平面EFHG，
AM为等边三角形ACD的高的一半，代入体积公式即可求出棱锥的体积．
【解答】证明：（I）∵PA⊥平面ABCD，AE 平面ABCD，
∴PA⊥AE，
连结AC，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵E是BC的中点，
∴AE⊥BC，即AE⊥AD．
又PA 平面PAD，AD 平面PAD，PA∩AD=A，
∴AE⊥平面PAD，∵PD 平面PAD，
∴AE⊥PD．
（2）∵F，H是PC，PD的中点，
∴FH∥CD，
又∵AB∥CD，
∴FH∥AB，∵FH 平面PAB，AB∥平面PAB，
∴FH∥平面PAB，
又FH 平面PCD，平面PAB∩平面PCD=l，
∴FH∥l．
（3）∵AB=1，∴AC=AD=BC=CD=1，∴AE=．
∵PA⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
∴PA⊥AC，
∵F是PC的中点，∴PC=2AF=，∴PA=．
取AD中点G，连结HG，EG，
则FH∥EG，FH==，HG∥PA，HG==．
∵PA⊥平面ABCD，
∴HG⊥平面ABCD，∴HG⊥EG，∴HG⊥FH，
∴S△EFH===．
过点A作AM⊥EG，垂足为M，则AM==．
又AM⊥HG，∴AM⊥平面EFHG，
∴VA﹣EFH===．
　
21．已知函数f（x）=lnx+x2﹣x．
（Ⅰ）求函数f（x）在[，2]上的值域；
（Ⅱ）设x1，x2（x1＜x2）是函数
( http: / / www.21cnjy.com )g（x）=f（x）﹣（b﹣）x的两个极值点，若b≥，且g（x1）﹣g（x2）≥k恒成立，求实数k的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的极值；函数的值域．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的值域即可；
（Ⅱ）求函数的导数，表示出x1
的范围，构造函数F（x）=2lnx﹣（x2﹣）（0＜x≤），根据函数的单调性求出k的范围即可．
【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=，x∈[，2]，
令f′（x）＞0，解得：≤x＜，令f′（x）＜0，解得：＜x≤2，
∴f（x）在[，）递增，在（，2]递减，
∴x=时，f（x）最大值=f（）=﹣ln2﹣，
而f（）﹣f（2）=﹣ln8+＜0，
故f（x）的值域是[﹣ln4﹣，﹣ln2﹣]；
（Ⅱ）∵g（x）=lnx+x2﹣（b+1）x，
∴g′（x）=+x﹣（b+1）=，
由g′（x）=0得x2﹣（b+1）x+1=0
∴x1+x2=b+1，x1x2=1，
∴x2=，
∵b≥，∴，解得：0＜x1≤，
∴g（x1）﹣g（x2）=ln
+（x12﹣x22）﹣（b+1）（x1﹣x2）=2lnx1﹣（x12﹣），
设F（x）=2lnx﹣（x2﹣）（0＜x≤），
则F′（x）=﹣x﹣=＜0
∴F（x）在（0，]上单调递减；
∴当x1=时，F（x）min=F（）=﹣2ln2，
∴k≤﹣2ln2．
　
2016年7月25日