第四节 势能
【素养目标】 1.知道重力做功与运动路径无关。 2.理解重力势能的概念，掌握重力做功和重力势能变化的关系。
3．知道重力势能的相对性，知道重力势能是物体和地球组成的系统所共有的。 4.定性了解弹性势能。
知识点一 重力做功与重力势能
【情境导入】 质量为m的物体，从高度为h1的位置A分别按下列三种方式运动到高度为h2的位置B，思考以下问题：
(1)图甲中物体竖直下落，求出重力做的功；
(2)图乙中物体沿斜面下滑至与B等高的B′，求出重力做的功；
(3)图丙中物体沿曲面下滑至与B等高的B″，试用微元法将其割成无数个直线运动，然后累计求解重力做的功；
(4)比较上述三种情况中重力做的功，重力做功与路径有关吗？
提示：(1)题图甲中WG＝mgΔh＝mgh1－mgh2。
(2)题图乙中WAB′＝mgl cos θ＝mgΔh＝mgh1－mgh2。
(3)题图丙中把整个路径AB″分成许多很短的间隔AA1、A1A2、…，由于每一段都很小，每一小段都可以近似地看成一段倾斜的直线，设每段小斜线的高度差分别为Δh1、Δh2、…，则物体通过每段小斜线时重力做的功分别为mgΔh1、mgΔh2、…，所以重力做的功WAB″＝mgΔh1＋mgΔh2＋…＝mg(Δh1＋Δh2＋…)＝mgΔh＝mgh1－mgh2。
(4)无关。
【教材梳理】 (阅读教材P95—P96完成下列填空)
1．重力做功的特点：重力做功只与运动物体的起点和终点的位置有关，而与运动物体所经过的路径无关。
2．重力势能
(1)定义：物体由于位于高处而具有的能量。
(2)大小：物体的重力势能等于它所受重力的大小与所处高度的乘积，表达式为Ep＝mgh。
(3)单位：焦耳。
3．重力做功与重力势能变化的关系：重力做正功时，重力势能减少；重力做负功时，重力势能增加。关系式：WG＝Ep1－Ep2。
【师生互动】 重力势能Ep＝mgh中的“h”与重力做功W＝mgΔh中的“Δh”相同吗？若不同，有何区别？
提示：不相同。重力势能Ep＝mgh中的“h”是物体相对于参考平面的高度；而重力做功W＝mgΔh中的“Δh”是物体初、末位置的高度差，与参考平面无关。
(多选)一质量为m的人站在观光电梯内，第一阶段电梯以0.2g的加速度匀加速上升h高度，第二阶段电梯匀速上升h高度，第三阶段电梯以0.2g的加速度匀减速上升h高度，则( )
A．第一阶段人克服重力做功最多
B．三个阶段人克服重力做功一样多
C．第三阶段人的重力势能增加最少
D．三个阶段人的重力势能均增加mgh
答案：BD
解析：电梯上升h高度，则重力对人的做功为－mgh，即人克服重力做功mgh，可以知道重力势能增加了mgh，三个阶段人克服重力做功及人增加的重力势能均相同，故选B、D。
1．重力做功与重力势能变化的关系：WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp，即重力势能变化多少是由重力做功的多少度量的，与物体除重力外是否还受其他力作用以及除重力做功外是否还有其他力做功等因素均无关。
2．两种情况
拓展变式．如图所示，质量为m的小球，用一长为l的细线悬于O点，将悬线拉直成水平状态，并给小球一个向下的速度让小球向下运动，O点正下方D处有一钉子，小球运动到B处时会以D为圆心做圆周运动，并经过C点。重力加速度为g。若已知OD＝l，则小球由A点运动到C点的过程中：
(1)重力做功为多少？
(2)重力势能减少了多少？
答案：(1)mgl (2)mgl
解析：(1)由几何关系可知，从A点运动到C点，小球下降高度h＝l，故重力做功WG＝mgh＝mgl。
(2)重力势能的减少量ΔEp＝WG＝mgl。
知识点二 重力势能的相对性
【情境导入】 如图所示，起重机把质量为m的楼板从水平地面上吊到高度为h的楼顶上。(重力加速度为g)
(1)分别以地面、楼顶为参考平面，楼板在楼顶的重力势能等于多少？楼板从地面吊到楼顶的过程中，重力势能的变化是多少？
(2)从结果可以看出重力势能、重力势能的变化与参考平面有关吗？
提示：(1)楼板的重力势能分别为mgh、0；重力势能的变化均为mgh。
(2)重力势能与参考平面有关，重力势能的变化与参考平面无关。
【教材梳理】 (阅读教材P97完成下列填空)
1．参考平面：物体具有的重力势能总是相对某个水平面来说的，这个水平面叫作参考平面。处在参考平面上的物体的重力势能规定为零。
2．重力势能的相对性
(1)选择不同的参考平面，同一物体在空间同一位置的重力势能的数值是不同的。
(2)对选定的参考平面，上方物体的重力势能为正值，下方物体的重力势能为负值。
(3)重力势能为负值表示物体在这个位置具有的重力势能比在参考平面上具有的重力势能小。
【师生互动】 在零高度面上方的位置高度为正值，下方的位置高度为负值，高度的正、负代表大小，那么与之对应的重力势能的正、负代表方向吗？重力势能的正、负代表什么？重力势能是矢量吗？
提示：不代表方向；代表大小；重力势能不是矢量，是标量。
如图所示，桌面距地面的高度为0.8 m，一物体(可看成质点)质量为2 kg，放在桌面上方0.4 m的支架上，则：(g取9.8 m/s2)
(1)以桌面为参考平面，计算物体具有的重力势能，并计算物体由支架下落到地面过程中重力势能的减少量；
(2)以地面为参考平面，计算物体具有的重力势能，并计算物体由支架下落到地面过程中重力势能的减少量；
(3)比较以上计算结果，说明什么问题？
答案：(1)7.84 J 23.52 J (2)23.52 J 23.52 J (3)见解析
解析：(1)以桌面为参考平面，物体和地面距参考平面的高度分别为h1＝0.4 m，h2＝－0.8 m，因而物体具有的重力势能为
Ep1＝mgh1＝2×9.8×0.4 J＝7.84 J
物体落至地面时，物体的重力势能为
Ep2＝mgh2＝2×9.8×(－0.8) J＝－15.68 J
因此物体在此过程中的重力势能减少量为
ΔEp＝Ep1－Ep2＝7.84 J－(－15.68) J＝23.52 J。
(2)以地面为参考平面，物体距参考平面的高度为
h1′＝(0.4＋0.8) m＝1.2 m
因而物体具有的重力势能为
Ep1′＝mgh1′＝2×9.8×1.2 J＝23.52 J
物体落至地面时，物体的重力势能为Ep2′＝0
在此过程中，物体的重力势能减少量为
ΔEp′＝Ep1′－Ep2′＝23.52 J－0＝23.52 J。
(3)通过上面的计算，说明重力势能是相对的，它的大小与参考平面的选择有关；而重力势能的变化量是绝对的，它与参考平面的选择无关。
在水平地面上平铺n块砖，每块砖的质量均为m，厚度均为h，如图所示，若将砖一块一块地竖直叠放起来，在此过程中，重力做了多少功？重力势能如何变化，变化了多少？(重力加速度为g)
答案：－mgh 重力势能增加，增加了mgh
解析：砖由平放在地面上到把它们一块块地竖直叠放起来，克服重力所做的功等于砖增加的重力势能。取n块砖整体为研究对象，原来整体重心距地面高度为，叠放起来后整体重心距地面高度为nh，WG＝nmgΔh＝nmg＝－mgh，重力做负功，重力势能增加，即增加了mgh。
针对练．关于重力势能，下列说法中正确的是( )
A．放在地面上的物体重力势能一定为零
B．物体与参考平面的距离越大，它的重力势能也越大
C．重力势能的变化量与参考平面的选取无关
D．一个物体的重力势能从－10 J变化到4 J，重力势能减少了
答案：C
解析：重力势能的变化量只跟物体所处初、末位置的高度差有关，与路径无关，与参考平面的选取无关，C正确；物体的重力势能与参考平面的选取有关，故放在地面上的物体重力势能不一定为零，A错误；若物体在参考平面下方，物体与参考平面距离越大，重力势能越小，B错误；重力势能是标量，－10 J<4 J，故从－10 J变化到4 J，重力势能增加了，D错误。
知识点三 弹性势能
【情境导入】 (1)比较图甲和图乙，谁具有对外做功的能力？
(2)比较图丙和图丁，哪幅图中的弓对外做功能力更强，为什么？
提示：(1)图甲 (2)图丁中的弓对外做功能力更强，该弓更“硬”，形变量更大。
【教材梳理】(阅读教材P98—P99完成下列填空)
1．弹性势能：物体因发生弹性形变而具有的能量。
2．弹簧的弹性势能
在弹性限度内，同一物体发生的弹性形变越大，弹性势能越大。此外，弹性势能还与物体自身的材料有关，对于形变相同的弹簧而言，劲度系数越大，弹性势能越大。
3．势能：与相互作用物体的相对位置有关的能量。
4．势能的系统性
(1)重力势能是地球与受重力作用的物体组成的系统所共有的。
(2)弹性势能也是发生弹性形变的物体与此时受弹力作用的物体组成的系统所共有的。
【师生互动】 如图所示，物体与水平轻质弹簧相连，物体在O点时弹簧处于原长，把物体向右拉到A处由静止释放，物体会由A向A′运动，A、A′关于O点对称，弹簧始终在弹性限度内，则：
(1)物体由A向O运动的过程中，弹力做什么功？弹性势能如何变化？
(2)物体由O向A′运动的过程中，弹力做什么功？弹性势能如何变化？
(3)在A、A′处弹性势能有什么关系？
提示：(1)正功 减少 (2)负功 增加 (3)相等
(多选)如图所示，一轻弹簧一端固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬点O在同一水平面且使弹簧保持原长的A点无初速度释放，让它自由摆下，不计空气阻力，在重物由A点摆向最低点B的过程中( )
A．重力做正功，弹力不做功
B．重力做正功，弹力做负功，弹性势能增加
C．若用与弹簧原长相等的不可伸长的细绳代替弹簧后，重力做正功，弹力不做功
D．若用与弹簧原长相等的不可伸长的细绳代替弹簧后，重力做功不变，弹力不做功
答案：BC
解析：若用不可伸长的细绳代替弹簧拴住重物向下摆动，重力做正功，弹力不做功，C正确；用弹簧拴住重物向下摆动时，弹簧要伸长，重物轨迹不是圆弧，弹力做负功，弹性势能增加，重力做正功，且做功比用细绳代替弹簧后做功多，A、D错误，B正确。
(多选)如图甲所示，一滑块沿光滑的水平面向左运动，与轻弹簧接触后将弹簧压缩到最短，图乙为测得的弹簧的弹力与弹簧压缩量之间的关系图像，则弹簧的压缩量由4 cm变为8 cm的过程中( )
A．弹力对滑块做了正功
B．弹力对滑块做了负功
C．弹性势能增加了1.8 J
D．弹性势能增加了3.6 J
答案：BC
解析：压缩弹簧过程中，弹力与滑块位移方向相反，弹力对滑块做了负功，A错误，B正确；F-x图线与x轴围成的面积表示弹力做的功，W＝－×(8－4)×10-2×(60＋30) J＝－1.8 J，根据ΔEp＝－W＝1.8 J知，弹性势能增加了1.8 J，C正确，D错误。
针对练．(多选)关于弹性势能，下列说法中正确的是( )
A．任何发生弹性形变的物体，都具有弹性势能
B．任何具有弹性势能的物体，一定发生了弹性形变
C．物体只要发生形变，就一定具有弹性势能
D．弹簧的弹性势能只跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关
答案：AB
解析：发生弹性形变的物体的各部分之间，由于弹力作用而具有的势能，叫作弹性势能，所以任何发生弹性形变的物体都具有弹性势能，任何具有弹性势能的物体一定发生了弹性形变。物体发生了形变，若是非弹性形变，无弹力作用，则物体就不具有弹性势能。弹簧的弹性势能除了跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关外，还跟弹簧的劲度系数有关。故选A、B。
1.如图所示，质量为m的小球从高为h处的斜面上的A点滚下，经过水平面BC后，再滚上另一斜面，当它到达的D点时，速度为零，在这个过程中，重力做功为(重力加速度为g)( )
A． B．
C．mgh D．0
答案：B
解析：全过程小球的高度差为h1－h2＝h，故WG＝mgh，B正确。
2．(教材P99T3改编)一根粗细均匀的长直铁棒重600 N，平放在水平地面上。现将一端从地面抬高0.50 m，而另一端仍在地面上，则( )
A．铁棒的重力势能增加了150 J
B．铁棒的重力势能增加了300 J
C．铁棒的重力不做功
D．上述说法均错误
答案：A
解析：铁棒的重心升高的高度h＝0.25 m，铁棒增加的重力势能与参考平面无关，有ΔEp＝Gh＝600×0.25 J＝150 J，根据WG＝－ΔEp，可知重力对铁棒做功为－150 J。故选A。
3.(多选)如图所示，静止的小球沿不同的轨道由同一位置滑到水平桌面上，轨道高度为h，桌面距地面高为H，小球质量为m，则以下说法正确的是( )
A．小球沿竖直轨道下滑到桌面上的过程，重力做功最少
B．小球沿不同的轨道由同一位置滑到水平桌面，重力做功一样多
C．小球的重力势能的减少量为mgh
D．以地面为参考平面，小球的重力势能的减少量为mg(H＋h)
答案：BC
解析：小球沿不同的轨道由同一位置滑到水平桌面，下降的竖直高度都相同，所以重力做功一样多，A错误，B正确；重力势能的变化量与参考平面的选取无关，重力做的正功就等于重力势能的减少量，重力做功为mgh，则重力势能的减少量为mgh，C正确，D错误。故选BC。
4．(2024·广州市高一统考期末)如图所示，蹦床运动员从蹦床最低点弹起至蹦床平衡位置的过程中，蹦床的弹力一直做正功，这个过程中( )
A．蹦床的弹性势能减少
B．蹦床的弹性势能增加
C．蹦床的弹性势能先增加后减少
D．运动员的重力势能减少
答案：A
解析：蹦床对运动员的弹力一直做正功，运动员向上弹起，蹦床的形变量减小，弹性势能减少，故A正确，B、C错误；运动员向上运动，位置升高，重力势能增大，故D错误。故选A。
课时测评25 势能
(时间：30分钟 满分：60分)
(选择题1－10题，每题3分，共30分)
1.如图所示，质量关系为m1>m2>m3的三个小球分别沿三条不同的轨道1、2、3由离地高h的A点滑到同一水平面上，轨道1、3是光滑的，轨道2是粗糙的，重力对小球做的功分别为W1、W2、W3，则下列判断正确的是( )
A．W1>W2＝W3 B．W1＝W3>W2
C．W1＝W2＝W3 D．W1>W2>W3
答案：D
解析：重力做功W＝mgh，h相等，由于m1>m2>m3，所以W1>W2>W3，故D正确。
2．物体在运动过程中，克服重力做功50 J，则( )
A．重力做功为50 J
B．物体的重力势能一定增加50 J
C．物体的重力势能一定减小50 J
D．物体的重力势能一定是50 J
答案：B
解析：克服重力做功50 J，即重力做功为－50 J，物体的重力势能一定增加50 J，故B正确。
3.一个100 g的球从1.8 m的高处落到一个水平地面上又弹回到1.25 m的高度，则整个过程中重力对球所做的功及球的重力势能的变化，下列说法正确的是(g取10 m/s2)( )
A．重力做功为1.8 J
B．重力做了0.55 J的负功
C．物体的重力势能减少了0.55 J
D．物体的重力势能增加了1.25 J
答案：C
解析：在整个过程中，物体下降的高度为h＝1.8 m－1.25 m＝0.55 m，该过程中重力对物体做正功，W＝mgh＝0.1×10×0.55 J＝0.55 J，故A、B错误；重力做多少正功，重力势能就减少多少，小球的重力势能减少了0.55 J，故C正确，D错误。
4.一实心铁球与一实心木球质量相等，将它们放在同一水平地面上，下列结论正确的是( )
A．铁球的重力势能大于木球的重力势能
B．铁球的重力势能等于木球的重力势能
C．铁球的重力势能小于木球的重力势能
D．木球的重力势能不会大于铁球的重力势能
答案：C
解析：因为铁球的密度大于木球的密度，所以质量相等的铁球和木球，木球的体积较大，放在同一水平地面上时，木球的重心高，因此，木球的重力势能大于铁球的重力势能，故选C。
5.如图所示，撑竿跳高运动员自起跳到跨越横杆的过程中，撑竿先发生弯曲再恢复到原状。在此过程中，下列说法正确的是( )
A．重力对运动员做正功
B．撑竿的弹性势能一直减小
C．撑竿的弹性势能一直增加
D．撑竿的弹性势能先增大后减小
答案：D
解析：撑竿先发生弯曲再恢复到原状，运动员向上运动，重力做负功，撑竿的弹性势能先增大后减小。故选D。
6.(多选)如图所示，一个物体以速度v0冲向与竖直墙壁相连的轻质弹簧，墙壁和物体间的弹簧被物体压缩，弹簧始终在弹性限度内。在此过程中，以下说法正确的是( )
A．物体对弹簧做的功与弹簧的压缩量成正比
B．物体向墙壁运动相同的位移，弹力做的功不相等
C．弹簧的弹力做正功，弹性势能增加
D．弹簧的弹力做负功，弹性势能增加
答案：BD
解析：由W＝x＝·x＝kx2可知选项A错误；弹簧开始被压缩时弹力小，弹力做的功也少，弹簧的压缩量变大时，物体移动相同的距离做的功多，故选项B正确；物体压缩弹簧的过程，弹簧的弹力与弹力作用点的位移方向相反，所以弹力做负功，弹性势能增加，故选项C错误，D正确。
7.如图所示，小朋友站在“蹦蹦跳”上随踏板跳跃，从状态1到状态2是着地后杆外的弹簧向上弹起并恢复原长的过程。在此过程中关于小朋友的重力势能Ep重和弹簧的弹性势能Ep弹的变化，下列判断正确的是( )
A．Ep重减小，Ep弹增加 B．Ep重减小，Ep弹减小
C．Ep重增加，Ep弹减小 D．Ep重增加，Ep弹增加
答案：C
解析：弹簧向上弹起并恢复原长的过程，小朋友克服自身重力做功，重力势能增加，弹簧弹力做正功，弹性势能减小，即Ep重增加，Ep弹减小，故C正确。
8.作为高一学生的你参加引体向上体能测试，若你在20 s内完成10次标准动作，每次引体向上的高度约为50 cm，则此过程中你克服重力做功的平均功率最接近于( )
A．0 B．150 W
C．300 W D．450 W
答案：B
解析： 学生的质量约为60 kg，10次引体向上克服重力做功为W＝mgΔh×10＝60×10×0.5×10 J＝3 000 J，此过程中克服重力做功的平均功率为＝＝150 W，故选B。
9.如图所示，一颗人造地球卫星绕地球沿椭圆轨道运动，则( )
A．卫星在A点的势能比在B点的势能大
B．卫星在B点的势能比在A点的势能大
C．卫星在A、B两点的势能相等
D．条件不足，无法比较
答案：B
解析：设A、B两点与地球的距离分别为hA和hB，如图所示，在AB连线上取A′点，使A与A′同处于以地心为圆心的同一圆上，则A与A′处卫星的势能大小相等。另外，若卫星由B运动至A′，则引力做正功，势能减少，故有EpA10.如图所示，物体A的质量为m，A的上端连接一个竖直轻弹簧，弹簧原长为L0，劲度系数为k，整个系统置于水平地面上。现将弹簧上端B缓慢地竖直向上提起，B点上移距离为L，此时物体A也已经离开地面，则下列说法中正确的是(重力加速度为g)( )
A．提弹簧的力对系统做功为mgL
B．物体A的重力势能增加了mgL
C．物体A的重力势能增加了mg(L－L0)
D．物体A的重力势能增加了mg
答案：D
解析：将弹簧上端B缓慢地竖直向上提起，由于开始时有支持力，故拉力先小于mg，物体离地后等于mg，拉力作用点的位移为L，故提弹簧的力对系统做功小于mgL，故A错误；B点上移距离为L，弹簧伸长量为ΔL＝，故A上升的高度为Δh＝L－ΔL，所以物体A的重力势能增加了ΔEp＝mg·Δh＝mg，故B、C错误，D正确。
11.(10分)现有一质量为m＝0.2 kg的小球，将其从离地H＝45 m处静止释放。测得小球经3 s后落地，每1 s时间内下落的距离分别为s1＝5 m、s2＝15 m、s3＝25 m，取地面为参考平面，g＝10 m/s2。求：
(1)第1 s末小球的重力势能；
(2)前2 s内小球重力势能的变化量；
(3)整个下落过程中小球所受重力做功的平均功率。
答案：(1)80 J (2)－40 J (3)30 W
解析：(1)第1 s末小球离地面的高度为h＝s2＋s3＝40 m
第1 s末小球的重力势能Ep＝mgh＝80 J。
(2)前2 s内小球重力势能的变化量
ΔEp＝－mg(s1＋s2)＝－40 J。
(3)整个下落过程中小球所受重力做功的平均功率
P＝＝＝30 W。
12.(10分)(2024·湛江市第二中学高一校考期末)如图所示，小明同学在做值日擦桌面时，不慎将桌面上的橡皮扫出桌面，已知桌面距离地面的高度为h，橡皮落地时的速度方向与竖直方向的夹角为θ，当地的重力加速度为g。若不计空气阻力，取地面处为重力势能参考平面，求：
(1)橡皮落地时的速度大小v；
(2)橡皮被扫出桌面时的动能Ek与它的重力势能Ep之比。
答案：(1) (2)tan2θ
解析：(1)橡皮擦落地的过程竖直方向做自由落体运动，设橡皮擦落地时竖直方向的速度为vy，有＝2gh
可得vy＝
将落地时的速度沿水平和竖直方向进行分解，则有cosθ＝
可得v＝。
(2)根据(1)可知tan θ＝，则
v0＝vy tan θ＝tan θ
橡皮被扫出桌面时的动能为
Ek＝＝mgh tan2θ
重力势能为Ep＝mgh
橡皮被扫出桌面时的动能Ek与它的重力势能Ep之比＝tan2θ。
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第四节 势能
第四章 机械能及其守恒定律
1．知道重力做功与运动路径无关。
2．理解重力势能的概念，掌握重力做功和重力势能变化的关系。
3．知道重力势能的相对性，知道重力势能是物体和地球组成的系统所共有的。
4．定性了解弹性势能。
素养目标
知识点一 重力做功与重力势能
情境导入 质量为m的物体，从高度为h1的位置A分别按下列三种方式运动到高度为h2的位置B，思考以下问题：
自主学习
(1)图甲中物体竖直下落，求出重力做的功；
提示：题图甲中WG＝mgΔh＝mgh1－mgh2。
(2)图乙中物体沿斜面下滑至与B等高的B′，求出重力做的功；
提示：题图乙中WAB′＝mgl cos θ＝mgΔh＝mgh1－mgh2。
(3)图丙中物体沿曲面下滑至与B等高的B″，试用微
元法将其割成无数个直线运动，然后累计求解重力
做的功；
提示：题图丙中把整个路径AB″分成许多很短的间
隔AA1、A1A2、…，由于每一段都很小，每一小段
都可以近似地看成一段倾斜的直线，设每段小斜线的高度差分别为Δh1、Δh2、…，则物体通过每段小斜线时重力做的功分别为mgΔh1、mgΔh2、…，所以重力做的功WAB″＝mgΔh1＋mgΔh2＋…＝mg(Δh1＋Δh2＋…)＝mgΔh＝mgh1－mgh2。
(4)比较上述三种情况中重力做的功，重力做功与路径有关吗？
提示：无关。
教材梳理 (阅读教材P95—P96完成下列填空)
1．重力做功的特点：重力做功只与运动物体的______和______的位置有关，而与运动物体所经过的______无关。
2．重力势能
(1)定义：物体由于位于高处而具有的能量。
(2)大小：物体的重力势能等于它所受重力的大小与所处高度的______，表达式为Ep＝_____。
(3)单位：______。
3．重力做功与重力势能变化的关系：重力做正功时，重力势能______；重力做负功时，重力势能______。关系式：WG＝Ep1－Ep2。
起点
终点
路径
乘积
mgh
焦耳
减少
增加
师生互动 重力势能Ep＝mgh中的“h”与重力做功W＝mgΔh中的“Δh”相同吗？若不同，有何区别？
提示：不相同。重力势能Ep＝mgh中的“h”是物体相对于参考平面的高度；而重力做功W＝mgΔh中的“Δh”是物体初、末位置的高度差，与参考平面无关。
课堂探究
(多选)一质量为m的人站在观光电梯内，第一阶段电梯以0.2g的加速度匀加速上升h高度，第二阶段电梯匀速上升h高度，第三阶段电梯以0.2g的加速度匀减速上升h高度，则
A．第一阶段人克服重力做功最多
B．三个阶段人克服重力做功一样多
C．第三阶段人的重力势能增加最少
D．三个阶段人的重力势能均增加mgh
例1
√
√
电梯上升h高度，则重力对人的做功为－mgh，即人克服重力做功mgh，可以知道重力势能增加了mgh，三个阶段人克服重力做功及人增加的重力势能均相同，故选B、D。
探究归纳
1．重力做功与重力势能变化的关系：WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp，即重力势能变化多少是由重力做功的多少度量的，与物体除重力外是否还受其他力作用以及除重力做功外是否还有其他力做功等因素均无关。
2．两种情况
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知识点二 重力势能的相对性
情境导入 如图所示，起重机把质量为m的楼板从水平
地面上吊到高度为h的楼顶上。(重力加速度为g)
(1)分别以地面、楼顶为参考平面，楼板在楼顶的重力势
能等于多少？楼板从地面吊到楼顶的过程中，重力势能
的变化是多少？
提示：楼板的重力势能分别为mgh、0；重力势能的变化均为mgh。
(2)从结果可以看出重力势能、重力势能的变化与参考平面有关吗？
提示：重力势能与参考平面有关，重力势能的变化与参考平面无关。
自主学习
教材梳理 (阅读教材P97完成下列填空)
1．参考平面：物体具有的重力势能总是相对某个________来说的，这个水平面叫作参考平面。处在参考平面上的物体的重力势能规定为____。
2．重力势能的相对性
(1)选择不同的参考平面，同一物体在空间同一位置的重力势能的数值是______的。
(2)对选定的参考平面，上方物体的重力势能为______，下方物体的重力势能为______。
(3)重力势能为负值表示物体在这个位置具有的重力势能比在参考平面上具有的重力势能____。
水平面
零
不同
正值
负值
小
师生互动 在零高度面上方的位置高度为正值，下方的位置高度为负值，高度的正、负代表大小，那么与之对应的重力势能的正、负代表方向吗？重力势能的正、负代表什么？重力势能是矢量吗？
提示：不代表方向；代表大小；重力势能不是矢量，是标量。
课堂探究
如图所示，桌面距地面的高度为0.8 m，一物体(可看成质点)质量为2 kg，放在桌面上方0.4 m的支架上，则：(g取9.8 m/s2)
(1)以桌面为参考平面，计算物体具有的重力势能，并计算物体由支架下落到地面过程中重力势能的减少量；
答案：7.84 J 23.52 J
例2
以桌面为参考平面，物体和地面距参考平面的高度
分别为h1＝0.4 m，h2＝－0.8 m，因而物体具有的重
力势能为Ep1＝mgh1＝2×9.8×0.4 J＝7.84 J
物体落至地面时，物体的重力势能为
Ep2＝mgh2＝2×9.8×(－0.8) J＝－15.68 J
因此物体在此过程中的重力势能减少量为
ΔEp＝Ep1－Ep2＝7.84 J－(－15.68) J＝23.52 J。
(2)以地面为参考平面，计算物体具有的重力势能，并
计算物体由支架下落到地面过程中重力势能的减少量；
答案：23.52 J 23.52 J
以地面为参考平面，物体距参考平面的高度为h1′＝(0.4＋0.8) m＝1.2 m
因而物体具有的重力势能为Ep1′＝mgh1′＝2×9.8×1.2 J＝23.52 J
物体落至地面时，物体的重力势能为Ep2′＝0
在此过程中，物体的重力势能减少量为
ΔEp′＝Ep1′－Ep2′＝23.52 J－0＝23.52 J。
(3)比较以上计算结果，说明什么问题？
通过上面的计算，说明重力势能是相对的，它的大小与参考平面的选择有关；而重力势能的变化量是绝对的，它与参考平面的选择无关。
例3
针对练．关于重力势能，下列说法中正确的是
A．放在地面上的物体重力势能一定为零
B．物体与参考平面的距离越大，它的重力势能也越大
C．重力势能的变化量与参考平面的选取无关
D．一个物体的重力势能从－10 J变化到4 J，重力势能减少了
√
重力势能的变化量只跟物体所处初、末位置的高度差有关，与路径无关，与参考平面的选取无关，C正确；物体的重力势能与参考平面的选取有关，故放在地面上的物体重力势能不一定为零，A错误；若物体在参考平面下方，物体与参考平面距离越大，重力势能越小，B错误；重力势能是标量，－10 J<4 J，故从－10 J变化到4 J，重力势能增加了，D错误。
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知识点三 弹性势能
情境导入 (1)比较图甲和图乙，谁具有对外做功的能力？
提示：图甲
(2)比较图丙和图丁，哪幅图中的弓对外做功能力更强，为什么？
提示：图丁中的弓对外做功能力更强，该弓更“硬”，形变量更大。
自主学习
教材梳理 (阅读教材P98—P99完成下列填空)
1．弹性势能：物体因发生__________而具有的能量。
2．弹簧的弹性势能
在弹性限度内，同一物体发生的弹性形变______，弹性势能越大。此外，弹性势能还与物体自身的材料有关，对于形变相同的弹簧而言，劲度系数______，弹性势能越大。
3．势能：与相互______物体的相对______有关的能量。
4．势能的系统性
(1)重力势能是______与受重力作用的物体组成的系统所共有的。
(2)弹性势能也是发生__________的物体与此时受弹力作用的物体组成的系统所共有的。
弹性形变
越大
越大
作用
位置
地球
弹性形变
师生互动 如图所示，物体与水平轻质弹簧相连，物体在O点时弹簧处于原长，把物体向右拉到A处由静止释放，物体会由A向A′运动，A、A′关于O点对称，弹簧始终在弹性限度内，则：
任务1.物体由A向O运动的过程中，弹力做什么功？弹性势能如何变化？
提示：正功 减少
任务2.物体由O向A′运动的过程中，弹力做什么功？弹性势能如何变化？
提示：负功 增加
任务3.在A、A′处弹性势能有什么关系？
提示：相等
课堂探究
(多选)如图所示，一轻弹簧一端固定于O点，另一
端系一重物，将重物从与悬点O在同一水平面且使弹簧保
持原长的A点无初速度释放，让它自由摆下，不计空气阻
力，在重物由A点摆向最低点B的过程中
A．重力做正功，弹力不做功
B．重力做正功，弹力做负功，弹性势能增加
C．若用与弹簧原长相等的不可伸长的细绳代替弹簧后，重力做正功，弹力不做功
D．若用与弹簧原长相等的不可伸长的细绳代替弹簧后，重力做功不变，弹力不做功
√
√
例4
若用不可伸长的细绳代替弹簧拴住重物向下摆动，重力
做正功，弹力不做功，C正确；用弹簧拴住重物向下摆
动时，弹簧要伸长，重物轨迹不是圆弧，弹力做负功，
弹性势能增加，重力做正功，且做功比用细绳代替弹簧
后做功多，A、D错误，B正确。
(多选)如图甲所示，一滑块沿光滑的水平面向左运动，与轻弹簧接触后将弹簧压缩到最短，图乙为测得的弹簧的弹力与弹簧压缩量之间的关系图像，则弹簧的压缩量由4 cm变为8 cm的过程中
A．弹力对滑块做了正功
B．弹力对滑块做了负功
C．弹性势能增加了1.8 J
D．弹性势能增加了3.6 J
√
√
例5
针对练．(多选)关于弹性势能，下列说法中正确的是
A．任何发生弹性形变的物体，都具有弹性势能
B．任何具有弹性势能的物体，一定发生了弹性形变
C．物体只要发生形变，就一定具有弹性势能
D．弹簧的弹性势能只跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关
√
√
返回
发生弹性形变的物体的各部分之间，由于弹力作用而具有的势能，叫作弹性势能，所以任何发生弹性形变的物体都具有弹性势能，任何具有弹性势能的物体一定发生了弹性形变。物体发生了形变，若是非弹性形变，无弹力作用，则物体就不具有弹性势能。弹簧的弹性势能除了跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关外，还跟弹簧的劲度系数有关。故选A、B。
随堂演练 对点落实
√
2．(教材P99T3改编)一根粗细均匀的长直铁棒重600 N，平放在水平地面上。现将一端从地面抬高0.50 m，而另一端仍在地面上，则
A．铁棒的重力势能增加了150 J
B．铁棒的重力势能增加了300 J
C．铁棒的重力不做功
D．上述说法均错误
√
铁棒的重心升高的高度h＝0.25 m，铁棒增加的重力势能与参考平面无关，有ΔEp＝Gh＝600×0.25 J＝150 J，根据WG＝－ΔEp，可知重力对铁棒做功为－150 J。故选A。
3.(多选)如图所示，静止的小球沿不同的轨道由同一位
置滑到水平桌面上，轨道高度为h，桌面距地面高为H，
小球质量为m，则以下说法正确的是
A．小球沿竖直轨道下滑到桌面上的过程，重力做功最
少
B．小球沿不同的轨道由同一位置滑到水平桌面，重力做功一样多
C．小球的重力势能的减少量为mgh
D．以地面为参考平面，小球的重力势能的减少量为mg(H＋h)
√
√
小球沿不同的轨道由同一位置滑到水平桌面，下降
的竖直高度都相同，所以重力做功一样多，A错误，
B正确；重力势能的变化量与参考平面的选取无关，
重力做的正功就等于重力势能的减少量，重力做功
为mgh，则重力势能的减少量为mgh，C正确，D错
误。故选BC。
4．(2024·广州市高一统考期末)如图所示，蹦床运动员从蹦床最低点弹起至蹦床平衡位置的过程中，蹦床的弹力一直做正功，这个过程中
A．蹦床的弹性势能减少
B．蹦床的弹性势能增加
C．蹦床的弹性势能先增加后减少
D．运动员的重力势能减少
√
蹦床对运动员的弹力一直做正功，运动员向上弹起，蹦床的形变量减小，弹性势能减少，故A正确，B、C错误；运动员向上运动，位置升高，重力势能增大，故D错误。故选A。
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课时测评
1.如图所示，质量关系为m1>m2>m3的三个小球分别沿三条不同的轨道1、2、3由离地高h的A点滑到同一水平面上，轨道1、3是光滑的，轨道2是粗糙的，重力对小球做的功分别为W1、W2、W3，则下列判断正确的是
A．W1>W2＝W3 B．W1＝W3>W2
C．W1＝W2＝W3 D．W1>W2>W3
√
重力做功W＝mgh，h相等，由于m1>m2>m3，所以W1>W2>W3，故D正确。
2．物体在运动过程中，克服重力做功50 J，则
A．重力做功为50 J
B．物体的重力势能一定增加50 J
C．物体的重力势能一定减小50 J
D．物体的重力势能一定是50 J
√
克服重力做功50 J，即重力做功为－50 J，物体的重力势能一定增加50 J，故B正确。
3.一个100 g的球从1.8 m的高处落到一个水平地面上又弹回到1.25 m的高度，则整个过程中重力对球所做的功及球的重力势能的变化，下列说法正确的是(g取10 m/s2)
A．重力做功为1.8 J
B．重力做了0.55 J的负功
C．物体的重力势能减少了0.55 J
D．物体的重力势能增加了1.25 J
√
在整个过程中，物体下降的高度为h＝1.8 m－1.25 m
＝0.55 m，该过程中重力对物体做正功，W＝mgh＝
0.1×10×0.55 J＝0.55 J，故A、B错误；重力做多少正
功，重力势能就减少多少，小球的重力势能减少了
0.55 J，故C正确，D错误。
4.一实心铁球与一实心木球质量相等，将它们放在同一水平地面上，下列结论正确的是
A．铁球的重力势能大于木球的重力势能
B．铁球的重力势能等于木球的重力势能
C．铁球的重力势能小于木球的重力势能
D．木球的重力势能不会大于铁球的重力势能
√
因为铁球的密度大于木球的密度，所以质量相等的铁球和木球，木球的体积较大，放在同一水平地面上时，木球的重心高，因此，木球的重力势能大于铁球的重力势能，故选C。
5.如图所示，撑竿跳高运动员自起跳到跨越横杆的过程中，撑竿先发生弯曲再恢复到原状。在此过程中，下列说法正确的是
A．重力对运动员做正功
B．撑竿的弹性势能一直减小
C．撑竿的弹性势能一直增加
D．撑竿的弹性势能先增大后减小
√
撑竿先发生弯曲再恢复到原状，运动员向上运动，重力做负功，撑竿的弹性势能先增大后减小。故选D。
6.(多选)如图所示，一个物体以速度v0冲向与竖直墙壁相连的轻质弹簧，墙壁和物体间的弹簧被物体压缩，弹簧始终在弹性限度内。在此过程中，以下说法正确的是
A．物体对弹簧做的功与弹簧的压缩量成正比
B．物体向墙壁运动相同的位移，弹力做的功不相等
C．弹簧的弹力做正功，弹性势能增加
D．弹簧的弹力做负功，弹性势能增加
√
√
7.如图所示，小朋友站在“蹦蹦跳”上随踏板跳跃，从状态1到状态2是着地后杆外的弹簧向上弹起并恢复原长的过程。在此过程中关于小朋友的重力势能Ep重和弹簧的弹性势能Ep弹的变化，下列判断正确的是
A．Ep重减小，Ep弹增加 B．Ep重减小，Ep弹减小
C．Ep重增加，Ep弹减小 D．Ep重增加，Ep弹增加
√
弹簧向上弹起并恢复原长的过程，小朋友克服自身重力做功，重力势能增加，弹簧弹力做正功，弹性势能减小，即Ep重增加，Ep弹减小，故C正确。
8.作为高一学生的你参加引体向上体能测试，若你在20 s内完成10次标准动作，每次引体向上的高度约为50 cm，则此过程中你克服重力做功的平均功率最接近于
A．0 B．150 W
C．300 W D．450 W
√
9.如图所示，一颗人造地球卫星绕地球沿椭圆轨道运动，则
A．卫星在A点的势能比在B点的势能大
B．卫星在B点的势能比在A点的势能大
C．卫星在A、B两点的势能相等
D．条件不足，无法比较
√
设A、B两点与地球的距离分别为hA和hB，如图所示，
在AB连线上取A′点，使A与A′同处于以地心为圆心的
同一圆上，则A与A′处卫星的势能大小相等。另外，若
卫星由B运动至A′，则引力做正功，势能减少，故有EpA√
11.(10分)现有一质量为m＝0.2 kg的小球，将其从离地H＝45 m处静止释放。测得小球经3 s后落地，每1 s时间内下落的距离分别为s1＝5 m、s2＝15 m、s3＝25 m，取地面为参考平面，g＝10 m/s2。求：
(1)第1 s末小球的重力势能；
答案：80 J
第1 s末小球离地面的高度为h＝s2＋s3＝40 m
第1 s末小球的重力势能Ep＝mgh＝80 J。
(2)前2 s内小球重力势能的变化量；
答案：－40 J
(3)整个下落过程中小球所受重力做功的平均功率。
答案：30 W
前2 s内小球重力势能的变化量ΔEp＝－mg(s1＋s2)＝－40 J。
(2)橡皮被扫出桌面时的动能Ek与它的重力势能Ep之比。
答案：tan2θ
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