重庆市广益中学2024-2025学年九年级上学期入学测试数学试卷(含答案)

重庆市广益中学2024-2025学年九年级上学期入学测试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．以下图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列式子是分式的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
4．一个多边形的内角和比四边形的内角和多540°，它的边数是（ ）
A．8 B．7 C．5 D．6
5．在平面直角坐标系中，将点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点B，则点B的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．若m＞n，则下列不等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，四边形的对角线交于点，已知，添加下列其中一个条件，能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在正方形中，E为边上的点，连接，将绕点C顺时针方向旋转得到，连接，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
9．如图，在中，，点在边上，交于点，垂足为，则的长为（ ）
A．8 B． C．7 D．6
10．已知整式，其中n，，，，，…，均为自然数．则下列说法正确的个数为（ ）
①若，则；
②若，且时，则满足条件的整式M有且只有10个；
③若，，，，…，为互不相同的自然数，当时，M的值为2025，则n的最大值为64．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
二、填空题
11．因式分解： ．
12．如图，中，、的平分线相交于，过点且与平行．的周长为，的周长为，则的长为 ．
13．如图，函数与的图象相交于点，则关于x的不等式的解集是 ．
14．横山小米色泽金黄、营养丰富，富含粗蛋白和多种微量元素，被誉为“小人参”．某超市以35元/袋的进价购进一批横山小米，出售时标价为60元/袋，超市现准备打折销售，但要保证利润率不低于，则至多可打 折．
15．如图，已知，，F是的中点，连接，若，，则的长为 ．
16．如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是 ．

17．已知是正整数，关于的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有正整数的和为 ．
18．若一个四位自然数各数位上的数字互不相等且均不为0，满足百位数字的平方恰好等于千位数字、十位数字与个位数字的和，则称这个四位数M为“何方神数”，例如四位数2459，因为，所以2459是“何方神数”．若，A是“何方神数”，则A的最大值为 ．若是“何方神数”，将M的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到新数N，规定，，若为整数，且除以7余数是2，则满足条件的M的最小值为 ．
三、解答题
19．计算
(1)因式分解：
(2)计算：
20．（1）解不等式；
（2）解不等式组，并把解集表示在数轴上．
21．在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上，点的坐标是．
(1)将沿轴正方向平移5个单位，再沿轴正方向平移2个单位得到，画出，并写出点、、坐标；
(2)将关于原点对称得到，请画出，并求出的面积．
22．三星堆遗址最新出土的“黄金大面具”来自5号坑，由四川省文物考古研究院与四川大学考古文博学院联合发掘为保护文物，特别设计了A、B两种型号的运土车．已知2辆A型运土车与3辆B型运土车一次共运输土方31立方米，5辆A型运土车与6辆B型运土车一次共运输土方70立方米．
（1）一辆A型运土车和一辆B型运土车一次各运输土方多少？
（2）考古专家组决定派出A、B两种型号运土车共20辆参与运输土方，若每次运输土方总量不小于148立方米，且B型运土车至少派出2辆，则有哪几种派车方案？
23．如图，矩形中，点是中点，连接、．
(1)尺规作图：过点作直线的垂线交于点，在射线上截取线段（点在的下方），使得，连接和（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)完成下列证明过程：
四边形是矩形，
， ①
点是的中点
②
在和中
， ③
，，，，
四边形是 ④ ．
24．如图，在等腰中，，，动点从点出发，沿折线方向以每秒2个单位速度向点运动，同时，动点从点出发，沿折线以每秒1个单位速度向点运动，当两者相遇时停止运动，设运动时间为秒，．
(1)请直接写出关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围；
(2)在平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)若直线的图象与的函数图象有两个交点，请直接写出的取值范围．
25．如图，已知一次函数图像分别与轴交于点，两点，正比例函数图象与交于点，已知点的横坐标是1．
(1)求该一次函数的解析式；
(2)轴上有一动点，连接，，当取最小值时，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，将正比例函数的图象沿轴向下平移1个单位长度，点对应点为，点对应点为，点是直线图象上一点，当时，请直接写出点的坐标．
26．已知：在菱形中，，点E为直线上的一点，连接．
(1)如图1，，若，求的长；
(2)如图2，与对角线交于点F，，求证：；
(3)如图3，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接，，当取最小值时，直接写出的值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B C B A B B D B B
1．B
【详解】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项合题意；
C．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
2．B
【详解】解：A：，分母为常数2，不含字母，属于整式，不是分式，故本选项不符合题意；
B：，分母为字母，符合分式定义，故本选项符合题意；
C：，分母为常数，不含字母，属于整式，故本选项不符合题意；
D：，分母为常数3，不含字母，属于整式，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．C
【详解】解：A．，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B．，右边不是整式积的形式，故此选项不符合题意；
C．，是因式分解，故此选项符合题意；
D．，故此选项不符合题意．
故选：C．
4．B
【详解】根据多边形内角和公式，建立方程求解．
解：四边形的内角和为，
设所求多边形的边数为，即：，
解得，
故选：B．
5．A
【详解】向左平移2个单位：横坐标减少2，
原横坐标为3，平移后横坐标为：；
向上平移4个单位：纵坐标增加4，
原纵坐标为，平移后纵坐标为：；
则平移后点B的坐标为，
故选：A．
6．B
【详解】解：A、由，两边同时减去2，得，故A不符合题意；
B、由，两边同时乘以，不等号方向改变，得，两边再加1，得，故B符合题意；
C、由，两边同时乘以，不等号方向改变，得，故C不符合题意；
D、由，移项得，故D不符合题意；
故选：B
7．B
【详解】解：添加，能判定四边形是平行四边形的是，理由如下：
，
又，
四边形是平行四边形，
只有B选项符合题意，其他选项不能判定四边形是平行四边形，
故选：B．
8．D
【详解】解：由旋转的性质得，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
故选：D．
9．B
【详解】解：，，
是的垂直平分线，是的角平分线，
，
是的角平分线，，
，
在中，由勾股定理得：
，
，
，
，
，
故选：B．
10．B
【详解】解：根据题意，得，其中n，，，，，…，均为自然数．
①：由，得，，故，正确；
②：当且时，当或或或或
或或或或或共有10种组合，对应10个不同的整式，正确；
③：若为互不相同的自然数，且时，根据题意，最小自然数序列的和为，当时，和为；当时，最小和为，
故的最大值为63，③错误；
综上，正确的说法为①和②，共2个，
故选：B．
11．
【详解】解：．
故答案为：．
12．
【详解】解：平分，
，
又，
，
，
，
同理可得，
，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
13．
【详解】解：函数过点，
，
解得：，
，
不等式的解集为
故答案为：．
14．7
【详解】解：设打x折，根据题意得：
则
解得：，
则至多可打7折．
故答案为：7
15．
【详解】解：过F作于H，
，
，
是的中点，
，
是的中位线，
，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：
16．/
【详解】解：∵为高上的动点．
∴
∵将绕点顺时针旋转得到．是边长为的等边三角形，
∴
∴
∴，
∴点在射线上运动，
如图所示，

作点关于的对称点，连接，设交于点，则
在中，，则，
则当三点共线时，取得最小值，即
∵，，
∴
∴
在中，,
∴周长的最小值为，
故答案为：．
17．
【详解】解：，
，
，
，
，
分式方程有非负整数解，
且，
且，
是正整数，
或3，
满足条件的所有正整数的和为：，
故答案为：8．
18．
【详解】解：是“何方神数”，则，
一个四位自然数各数位上的数字互不相等且均不为0，
当或1时，符合题意，
又A要最大，
要取最大值，
当时，（负值舍去），
故这个数最大为；
是“何方神数”，
，
，
为整数，，
结合题意，，
将的千位与十位数字对调，百位与个位数字对调得到新数，
，
，
∴
，
∴
除以7余数是2，
∴为7的倍数，
∵，
∴或
∴或
∵要求M的最小值
∴
∵
∴当时，
∵各数位上的数字互不相等且均不为0
∴当时，，此时，
∴，不符合题意，应舍去；
当时，，此时，
∴，符合题意
综上，的最小值为，
故答案为：；．
19．(1)
(2)
【详解】（1）解：
（2）解：
20．（1）；（2），把不等式组的解集表示在数轴上，见解答．
【详解】(1)
去分母得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为得；
（2）
解不等式得，
解不等式得
不等式组的解集为．
把不等式组的解集表示在数轴上，如图所示：
．
21．(1)见解析，，，
(2)见解析，13
【详解】（1）解：如图，即为所求，
由图知，，，；
（2）解：如图，即为所求．
．
22．（1）一辆A型运土车一次运输8立方米，一辆B型运土车一次运输5立方米；（2）有三种派车方案，第一种方案：A型运土车18辆，B型运土车2辆；第二种方案：A型运土车17辆，B型运土车3辆；第三种方案：A型运土车16辆，B型运土车4辆．
【详解】解：（1）设一辆A型运土车一次运输x立方米，一辆B型运土车一次运输y立方米，
由题意得：
解得，
答：一辆A型运土车一次运输8立方米，一辆B型运土车一次运输5立方米；
（2）设考古专家组决定派出A、B两种型号运土车分别为a辆、（20-a）辆，
由题意可得：
解得：16≤a≤18，
故有三种派车方案：
第一种方案：A型运土车18辆，B型运土车2辆；
第二种方案：A型运土车17辆，B型运土车3辆；
第三种方案：A型运土车16辆，B型运土车4辆．
答：有三种派车方案，第一种方案：A型运土车18辆，B型运土车2辆；第二种方案：A型运土车17辆，B型运土车3辆；第三种方案：A型运土车16辆，B型运土车4辆．
23．(1)见解析
(2)；；；菱形
【详解】（1）解：如图，直线，点，和即为所求；
（2）证明：四边形是矩形，
，，
点是的中点，
，
在和中
，
，
，，
，，
，
四边形是菱形．
故答案为：；；；菱形
24．(1)
(2)见解析；当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大
(3)
【详解】（1）解：秒，
∴运动时间为5秒；
当时，点P在上运动，点Q在上运动，
∴，
∴，
∴；
当时，点P和点Q都在上运动，
∴，
∴；
综上所述，；
（2）解：如图所示，即为所求；
由函数图象可得，当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大；
（3）解：由函数图象可得，当时，直线的图象与的函数图象有两个交点．
25．(1)
(2)
(3)或
【详解】（1）解：∵点的横坐标为1，当时，，
∴，
设直线的解析式为，
把，代入，得：，解得：，
∴；
（2）作关于轴的对称点，
则：，
∴当在线段上时，取的最小值，
∵，，
同（1）法可得，直线的解析式为：，
∴当时，，
∴；
（3）当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
将正比例函数的图象沿轴向下平移1个单位长度，得到，点对应点为，
∴，当时，，
设，过点作，且，连接，则：，
当点在直线下方时，过点作轴于点，作，交的延长线于点，
则：，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
同法可得，直线的解析式为：，
∵，
∴点为直线与直线的交点，
联立，解得：，
∴；
当点在直线上方时，同法可得：，直线的解析式为：，
联立，解得：，
∴；
综上：或．
26．(1)
(2)见解析
(3)
【详解】（1）解：∵菱形中，，
∴ ，
∵
在中，，
∴ ，则，根据勾股定理得：
∵
∴
在中，
∴
∴
（2）∵菱形中，
∴ ，，
∵，
∴
∴
如图；延长，在上取点，作
∵ ，
∴ ，
∵ 是菱形的对角线，
∴
在与中
∴
∴，
在与
∴
∴
∵
∴
（3）如图；∵点E为直线上的一点，线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接，，当时取最小值；
∴
∵
∴
∴ ，即：
∴
∴
∴
∵
∴
∴
作交于点，
∵ ，
∴ ，即
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴