必修一第一章集合与常用逻辑用语单元测试卷（培优卷）（含解析）

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必修一第一章集合与常用逻辑用语
单元测试卷（培优卷）
一、选择题(共8题；共40分)
1．下列集合的表示方法中，不同于其他三个的是（　　）
A． B．
C． D．
2．命题“”的否定是（　　）
A． B．
C． D．
3．集合的非空真子集共有（　　）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
4．已知全集U，集合，那么下列等式错误的是（　　）
A． B．
C． D．
5．以下选项中，p是q的充要条件的是（　　）
A．p：，q：
B．p：，q：
C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形
D．p：，q：关于x的方程有唯一解
6．集合，用列举法可以表示为（　　）
A．
B．
C．
D．
7．某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有63人，参加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有47人，三种课外活动都参加的有24人，只选择两种课外活动参加的有22人，不参加其中任何一种课外活动的有15人，则接受调查的小学生共有多少人？（　　）
A．120 B．144 C．177 D．192
8．已知集合 ， .若 ，则 的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
二、多项选择题(共3题；共18分)
9．下列各组集合不表示同一集合的是（　　）
A．
B．
C．
D．
10．下列结论正确的是（　　）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．“”是“”的必要不充分条件
C．“，有”的否定是“，使”
D．“是方程的实数根”的充要条件是“”
11．对于集合，定义，且，下列命题正确的有（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，，或，则
D．若，，则，或
三、填空题(共3题；共15分)
12．已知且，则由的值构成的集合是　 　.
13．已知集合，．若，则实数的取值范围是　 　．
14．用集合的交和并表示图中阴影部分为　 　．
四、解答题(共5题；共77分)
15．已知集合，，，全集为实数集R．
（1）求，；
（2）若，求a的取值范围．
16．已知集合，，.
（1）命题：“，都有”，若命题为真命题，求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围.
17．已知集合，.
（1）若“命题：，”是真命题，求的取值范围.
（2）“命题：，”是假命题，求的取值范围.
18．已知集合是集合的子集，对于，定义．任取的两个不同子集，，对任意．
（1）判断是否正确？并说明理由；
（2）证明：．
19．已知集合，规定：集合中元素的个数为，且．若，则称集合是集合的衍生和集．
（1）当，时，分别写出集合，的衍生和集；
（2）当时，求集合的衍生和集的元素个数的最大值和最小值．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：A，B，D对应的集合中只有一个元素2018，故它们是相同的集合，而 C中虽只有一个元素，但该元素是用等式作为元素，而不是实数 2018，故选项 C与其他三个选项不同.
故答案为：C
【分析】集合元素不同则集合不同，注意集合元素的不同表达形式.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：由题意可得：命题“”的否定是"".
故答案为：C.
【分析】根据全称命题的否定分析判断.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：方法一：集合的非空真子集由：
，一共6个；
方法二：集合有3个元素，
所以有23=8个子集，所以有6个非空真子集，
故答案为：B
【分析】可以将集合的所以非空真子集列举出来，进而得个数；也可以利用以下结论：若一个集合有n个元素，则它有2n个子集。
4．【答案】C
【解析】【解答】解：对A：等价于，故A正确；
对B：等价于，故B正确；
对C：等价于，等价于，故C错误；
对D：等价于，故D正确；
故答案为：C.
【分析】根据集合间的关系结合集合间的运算逐项分析判断.
5．【答案】D
【解析】【解答】解：A、由3x+2＞5得：x＞1，由-2x-3＞-5得：x＜1，所以p是q的既不充分也不必要条件，故不选A；
B、由a＞2，b＜2可得：a＞b，充分性成立；由令a=1，b=0，满足a＞b，但不满足a＞2，b＜2，必要性不成立，所以p是q的充分不必要条件，故不选B；
C、四边形的两条对角线互相垂直平分，这样的四边形不一定是正方形，充分性不成立；
正方形的两条对角线互相垂直平分，必要性成立；所以p是q的必要不充分条件，故不选C；
D、a≠0，则关于x的方程ax=1有唯一解：，充分性成立；关于x的方程ax=1有唯一解，则a≠0，必要性成立，所以p是q的充要条件，故选D；
故答案为：D.
【分析】利用充分条件、必要条件的定义即可证明四个选项.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：因为 ，则，
可得，
又因为，可得
所以.
故答案为：B.
【分析】根据题意可得且，运算求解即可.
7．【答案】B
【解析】【解答】解：如图所示，用韦恩图表示集合之间的关系，用A、B、C表示舞蹈、唱歌、体育，
设总人数为m，三块区域的人数为x，y，z，
即
，
故答案为：B.
【分析】用韦恩图表示题设中的集合关系，结合三个集合容斥原理，可得关于n的方程，解出答案.
8．【答案】C
【解析】【解答】
，
当 时， ；
当 时， ， ，
综上： 。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件得出 ，再利用分类讨论的方法结合数轴求出满足要求的a的取值范围。
9．【答案】A,B,D
【解析】【解答】解：A、因为（3，2）≠（2，3）所以M≠N；
B、M是点集，N是数集，M≠N；
C、M=N；
D、M是数集，N是点集，M≠N，
故答案为：ABD
【分析】利用集合相等的定义求解。
10．【答案】A,C,D
【解析】【解答】解：A、若x>1，则；若，则x>1或x<-1，所以“x>1”是“”的充分不必要条件，A正确；
B、若，则；若，则或且；所以“”是“”的充分不必要条件，B错误；
C、“，有”的否定是“，使”，C正确；
D、若是方程的实数根，则，若，则是方程的实数根，
所以“是方程的实数根”的充要条件是“”，D正确；
故答案为：ACD.
【分析】利用充分条件和必要条件来判断AB选项，利用命题的否定判断C选项，利用充要条件的证明方法来判断D选项。
11．【答案】A,B,C
【解析】【解答】解：A、若，则，选项正确；
B、若，则，选项正确；
C、若，，或，则，选项正确；
D、若，，则，或，选项错误；
故答案为：ABC.
【分析】根据交集、补集的性质，逐项判断即可.
12．【答案】
【解析】【解答】解：因为，则有：
若，解得，此时，不合题意；
若，解得或（舍去），
当时，则，符合题意；
综上所述： 由的值构成的集合是.
故答案为：.
【分析】根据题意结合集合的互异性列式求解得答案即可.
13．【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴，
当B不是空集时
∴，，
∴，
当B为空集时，
，
解得
故答案为：.
【分析】根据集合之间的关系求解即可.
14．【答案】(A∩B)∪C
【解析】【解答】由 图可知，阴影部分的元素有两部分构成：
一部分为 ，另外一部分是 ，
所以阴影部分可表示为 ，
故答案为 .
【分析】利用维恩图法结合交集和并集的运算法则，用集合的交和并表示图中阴影部分。
15．【答案】（1）解：因为，
或，又，
，或；
（2）解：因为，，且
所以.
【解析】【分析】（1）根据并集、补集、交集的定义可求；
（2）由交集的性质，说明集合A与C必有公共元素，可求a的取值范围.
16．【答案】（1）解：，
因为命题：“，都有”是真命题，所以，
因为，
所以当时，，则，即；
当时，，显然是的真子集.
综上，或.
（2）解：由可得，
当时，，即；
当时，，无解；
当时，，无解；
当时，，解得；
综上，的取值范围或.
【解析】【分析】(1)根据题意可知，分和两种情况，列式求解可得结果；
(2)由题意可得得，分、、和四种情况讨论，求解即可.
17．【答案】（1）解：因为命题是真命题，所以，
当时，，解得，
当时，则，解得，
综上m的取值范围为；
（2）解：因为“命题：，”是假命题，所以，
当时，，解得，
当时，则或，解得，
综上的取值范围为.
【解析】【分析】（1） 根据题意转化为，分和两种情况，结合集合的包含关系，列出不等式组，即可求解；
（2） 根据题意转化为，分和两种情况，结合集合交集的概念与运算，列出不等式组，即可求解.
18．【答案】（1）解：不正确.
例如：.
当时，因为，所以.
因为，所以.
因为，所以.
而此时，
所以对任意不正确.
（2）证明：①若，则.
此时有，且，或且，或且三种情况
当且时，，此时.
当且时，，此时.
当且时，，此时.
因此成立.
②若，则.
此时，且，则.
此时.
因此成立.
综合①②可知，成立.
【解析】【分析】（1）利用集合是集合的子集，对于，定义．任取的两个不同子集，，对任意，再结合并集的运算法则和元素与集合的关系，进而判断出对任意不正确。
（2）利用集合是集合的子集，对于，定义．任取的两个不同子集，，对任意，再结合分类讨论的方法，从而利用交集的运算法则和元素与集合的关系，进而证出 成立。
19．【答案】（1）解：由衍生和集的定义知：集合的衍生和集；集合的衍生和集.
（2）解：当时，设集合，且；
，
集合的衍生和集的元素个数的最小值为；
若集合中任意两个元素的和不相等，则衍生和集的元素个数取得最大值，最大值为；
最大值为，最小值为.
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合衍生和集的定义，进而分别写出集合，的衍生和集。
（2）利用已知条件结合衍生和集的定义，再结合数列的单调性，从而得出集合的衍生和集的元素个数的最大值和最小值。
试题分析部分
1、试卷总体分布分析
总分：150分
分值分布 客观题（占比） 58.0(38.7%)
主观题（占比） 92.0(61.3%)
题量分布 客观题（占比） 11(57.9%)
主观题（占比） 8(42.1%)
2、试卷题量分布分析
大题题型 题目量（占比） 分值（占比）
选择题 8(42.1%) 40.0(26.7%)
填空题 3(15.8%) 15.0(10.0%)
解答题 5(26.3%) 77.0(51.3%)
多项选择题 3(15.8%) 18.0(12.0%)
3、试卷难度结构分析
序号 难易度 占比
1 普通 (36.8%)
2 容易 (42.1%)
3 困难 (21.1%)
4、试卷知识点分析
序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号
1 补集及其运算 6.0(4.0%) 11
2 命题的否定 11.0(7.3%) 2,10
3 交、并、补集的混合运算 18.0(12.0%) 4,15
4 集合的表示方法 16.0(10.7%) 1,6,9
5 空集 5.0(3.3%) 3
6 集合的含义 22.0(14.7%) 1,19
7 集合关系中的参数取值问题 48.0(32.0%) 8,15,16,17
8 必要条件、充分条件与充要条件的判断 11.0(7.3%) 5,10
9 集合相等 6.0(4.0%) 9
10 子集与真子集 37.0(24.7%) 3,16,18
11 集合中元素的确定性、互异性、无序性 5.0(3.3%) 12
12 并集及其运算 28.0(18.7%) 11,13,18
13 子集与交集、并集运算的转换 20.0(13.3%) 4,16
14 全称量词命题 35.0(23.3%) 2,16,17
15 存在量词命题 15.0(10.0%) 17
16 交集及其运算 43.0(28.7%) 8,11,16,18
17 Venn图表达集合的关系及运算 10.0(6.7%) 7,14
18 集合间关系的判断 20.0(13.3%) 4,17
19 元素与集合的关系 22.0(14.7%) 12,19
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