2.4.1 圆的标准方程 同步练习（含答案）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 2.4.1 圆的标准方程 同步练习（含答案）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 60.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-29 11:31:07 | ||
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文档简介
2.4.1 圆的标准方程
同步练习
考点一 圆的标准方程
已知圆C的圆心坐标为(1,1),且过坐标原点O,则圆C的方程为( )
A.(x-1)2+(y-1)2= B.(x-1)2+(y-1)2=2
C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.x2+y2=2
2. 若圆(x-a)2+(y+1)2=3关于直线5x+4y-a=0对称,则a=( )
A.-1 B.1
C.3 D.-3
3. 已知半径为3的圆C的圆心与点P(-2,1)关于直线x-y+1=0对称,则圆C的标准方程为( )
A.(x+1)2+(y-1)2=9 B.(x-1)2+(y-1)2=81
C.x2+y2=9 D.x2+(y+1)2=9
4. 已知圆C:(x-1)2+y2=1,则以圆心C和P(3,2)为直径两端点的圆的标准方程是 .
5. 过点A(4,1)的圆C与直线x-y=1相切于点B(2,1),则圆C的方程为 .
6. 已知圆M经过P(1,1),Q(2,-2)两点,且圆心M在直线l:x-y+1=0上,则圆M的标准方程是 .
7. 过A(-1,-1),B(0,-2),C(3,1)三点的圆的标准方程为 .
8. 已知圆C过点O(0,0),且与直线x+y+4=0相切,则满足要求的面积最小的圆C的标准方程为 .
9. 已知直线l:4x-3y-4=0,请写出一个同时满足以下条件的圆M的方程: .
①圆M与x轴相切;
②圆M与直线l相切;
③圆M的半径为2.
分别求满足下列条件的圆的标准方程:
(1)经过点A(3,2),B(2,3),圆心在x轴上;
(2)经过直线x+2y+3=0与x-2y+3=0的交点,圆心为点C(-2,1).
考点二 点与圆的位置关系
若点(1,1)在圆+y2=a+的外部,则实数a的取值范围为( )
A. B. C.(-∞,1) D.(1,+∞)
12. 已知a,b是方程x2-x-=0的两个不等的实数根,则点P(a,b)与圆C:x2+y2=8的位置关系是( )
A.点P在圆C内 B.点P在圆C外
C.点P在圆C上 D.无法确定
13. 已知点P(0,-1)关于直线x-y+1=0的对称点Q在圆C:+y2=-4上,则m= .
考点三 圆的标准方程及其应用
已知圆C:(x-4)2+(y-2)2=4,若圆C刚好被直线l:ax+by=1(a>0,b>0)平分,则+的最小值为( )
A.8 B.10 C.16 D.8+4
已知Rt△ABC的斜边的两端点A,B的坐标分别为(-3,0)和(7,0),则直角顶点C的轨迹方程为 ( )
A.x2+y2=25(y≠0)
B.x2+y2=25
C.(x-2)2+y2=25(y≠0)
D.(x-2)2+y2=25
16. 已知点A(-1,0),B(0,3),P是圆(x-3)2+y2=1上任意一点,则△PAB面积的最小值为( )
A.6 B. C. D.6-
17.“曼哈顿距离”是人脸识别中一种重要的测距方式,其定义如下:设A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点间的曼哈顿距离d(A,B)=|x1-x2|+|y1-y2|.已知M(4,6),点N在圆C:(x+3)2+(y+2)2=13上运动,若点P满足d(M,P)=2,则|PN|的最大值为 .
18.在平面直角坐标系Oxy中,以AB为直径的圆C与直线l交于A,D两点,且A,D的坐标分别为(3,6),(1,t),E为劣弧上一点,满足=,若点B在y轴的右侧,直线CE的斜率为2,△ABD的面积为15,则圆C的标准方程为 .
19.对非原点O的点M,若点M'在射线OM上,且|OM|·|OM'|=r2,则称M'为M的“r-圆称点”,图形G上的所有点的“r-圆称点”组成的图形G'称为G的“r-圆称形”.则A(1,0)的“3-圆称点”为 ,圆(x-1)2+(y-2)2=5(不包含原点)的“3-圆称形”的方程为 .
20.已知直线x+2y-3=0和2x-y+4=0的交点为P.
(1)若直线l过点P,且在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程;
(2)若圆C过点P及Q(3,-4),那么圆C的面积存在最小值吗 如果存在,求出面积的最小值和此时圆C的方程;若不存在,请说明理由.
答案
1.B 由题知圆C的圆心坐标为(1,1),且过坐标原点O,则半径r=|OC|=,因此圆C的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.
2.B 由圆的方程可知圆心坐标为(a,-1),
由题意可得圆心(a,-1)在直线5x+4y-a=0上,因此5a-4-a=0,解得a=1.
3.D 设圆心为C(a,b),由圆心C与点P关于直线y=x+1对称,得直线CP与直线y=x+1垂直,∵直线y=x+1的斜率为1,∴直线CP的斜率为-1,∴=-1,化简得a+b+1=0①,∵线段CP的中点在直线y=x+1上,∴=+1,化简得a-b-1=0②,联立①②,可解得a=0,b=-1,∴圆心C的坐标为(0,-1),∴圆C的标准方程为x2+(y+1)2=9.
4.答案 (x-2)2+(y-1)2=2
解析 由题得C(1,0),所以以C和P(3,2)为直径两端点的圆的圆心为(2,1),半径为|CP|==,
所以以圆心C和P(3,2)为直径两端点的圆的标准方程是(x-2)2+(y-1)2=2.
5.答案 (x-3)2+y2=2
解析 设圆心为C(a,b),因为直线x-y=1与圆C相切于点B(2,1),所以kBC==-1,即a+b-3=0,易知线段AB的中垂线方程为x=3,圆心C在直线x=3上,故a=3,b=0,所以半径r==,所以圆C的方程为(x-3)2+y2=2.
6.答案 (x+3)2+(y+2)2=25
解析 设圆心M的坐标为(a,b),
因为圆心M在直线l:x-y+1=0上,所以a-b+1=0①,
因为P,Q是圆M上两点,所以|MP|=|MQ|,
根据两点间的距离公式,有=,即a-3b-3=0②,
由①②可得a=-3,b=-2.
所以圆心M的坐标是(-3,-2),圆的半径r=|MP|==5,
因此圆M的标准方程是(x+3)2+(y+2)2=25.
7.答案 (x-1)2+y2=5
解析 设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,
因为所求圆过A(-1,-1),B(0,-2),C(3,1)三点,
所以(-1-a)2+(-1-b)2=r2①,(-a)2+(-2-b)2=r2②,(3-a)2+(1-b)2=r2③,
由①-②得a-b-1=0④,由②-③得a+b-1=0⑤,
由④⑤解得a=1,b=0,代入①,得r2=5,
所以所求圆的标准方程为(x-1)2+y2=5.
8.答案 (x+1)2+(y+1)2=2
解析 过O作直线x+y+4=0的垂线,垂足为A,如图.当OA为直径时,圆C的面积最小.又O到直线x+y+4=0的距离d==2,所以半径r=,设圆心为C(a,b),因为圆C与直线x+y+4=0相切,所以·(-1)=-1,即a=b,又a2+b2=2,所以a=-1,b=-1,故满足要求的面积最小的圆C的标准方程为(x+1)2+(y+1)2=2.
9.答案 x2+(y-2)2=4或(x-5)2+(y-2)2=4或(x-2)2+(y+2)2=4或(x+3)2+(y+2)2=4(写出其中的一个即可)
解析 由①③知圆心的纵坐标为2或-2,设其横坐标为a.当圆心为M(a,2)时,因为圆M与直线l相切,所以=2,解得a=0或a=5.当圆心为M(a,-2)时,因为圆M与直线l相切,所以=2,解得a=2或a=-3.所以圆M的方程为x2+(y-2)2=4或(x-5)2+(y-2)2=4或(x-2)2+(y+2)2=4或(x+3)2+(y+2)2=4.
10.解析 (1)设所求圆的标准方程为(x-a)2+y2=r2,
由题意得解得
所以所求圆的标准方程为x2+y2=13.
(2)联立解得所以交点为(-3,0),
则所求圆的半径为=,
所以所求圆的标准方程为(x+2)2+(y-1)2=2.
11.A 由题知a+>0,得a>-.
因为点(1,1)在圆的外部,
所以+12>a+,解得a<1.
综上所述,实数a的取值范围为.
12.A 由题意得a+b=1,ab=-,∴a2+b2=(a+b)2-2ab=1+2<8,∴点P在圆C内.
13.答案
解析 设Q(a,b),由题意可得解得即Q(-2,1),
又点Q在圆C上,故+12=-4,解得m=.
14.C ∵圆C:(x-4)2+(y-2)2=4,∴圆心为C(4,2).
∵圆C刚好被直线l:ax+by=1(a>0,b>0)平分,
∴直线l必过圆心C(4,2),将(4,2)代入直线方程,得4a+2b=1,
又a>0,b>0,∴+=(4a+2b)=4+4++≥8+2=8+2×4=16,
当且仅当=,即a=,b=时取等号,因此+的最小值为16.
15.C 解法一:设C(x,y),则|CA|2+|CB|2=|AB|2,
∴(x+3)2+y2+(x-7)2+y2=100,∴(x-2)2+y2=25.
∵A,B,C三点构成三角形,∴y≠0.
∴直角顶点C的轨迹方程是(x-2)2+y2=25(y≠0).
解法二:依题意得,直角顶点C在以AB为直径的圆上运动,且点C与点A,B不重合.易知线段AB的中点坐标为(2,0),|AB|=10,所以直角顶点C的轨迹方程为(x-2)2+y2=25(y≠0).
易错警示
若A,B,C三点能构成三角形,则三点不共线,在设点的坐标以及求出方程后要注意排除不满足题目要求的取值.
16.D 由A(-1,0),B(0,3),得|AB|==,
易得直线AB的方程为y=3x+3,圆(x-3)2+y2=1的圆心为(3,0),半径r=1,
则点(3,0)到直线AB:3x-y+3=0的距离d==,
因此点P到直线AB的距离的最小值为d-r=-1,
所以△PAB面积的最小值是××=6-.
17.答案 +
解析 由题意得,圆C的圆心为C(-3,-2),半径r=.
设点P(x0,y0),由d(M,P)=2,M(4,6)得|x0-4|+|y0-6|=2,∴点P的轨迹为如图所示的正方形,其中A(4,8),B(6,6),在同一坐标系中作出圆C.
因此问题转化为求正方形上一点到圆上一点的距离的最大值,易得|AC|==,|BC|==<|AC|,
∴|PN|≤|AC|+r=+,即|PN|的最大值为+.
18.答案 (x-5)2+=
解析 根据题意画出大致图形如图,
因为E为劣弧上一点,满足=,所以CE⊥BD,因为AB为圆C的直径,所以∠ADB=90°,即AD⊥BD,所以CE∥AD.因为kCE=2,所以kAD=2,又A(3,6),所以直线AD:y=2x,又D(1,t),所以t=2,所以D(1,2),设B的坐标为(m,n)(m>0),因为AD⊥BD,kAD=2,所以kBD=-,即=-,所以m+2n=5①.
因为△ABD的面积为15,|AD|==2,所以|AD|·|BD|=×2×=15,即|2m-n|=15②,联立①②解得或(舍去),即B(7,-1).
所以C,圆C的半径为|AC|==,
所以圆C的标准方程为(x-5)2+=.
19.答案 (9,0);2x+4y-9=0
解析 设A的“3-圆称点”为A'.∵A(1,0),∴射线OA所在直线的方程为y=0,∵A'在射线OA上,∴设A'(a,0),a≥0,由|OA|·|OA'|=r2=9,可得1×a=9,∴a=9,∴A(1,0)的“3-圆称点”为(9,0).设M(x0,y0)为圆(x-1)2+(y-2)2=5(不包含原点)上任意一点,M'(x,y)为其“3-圆称形”上一点,∵点M'在射线OM上,∴O,M,M'三点共线,所以存在实数k(k>0),使=k,则(x,y)=k(x0,y0),即x=kx0,y=ky0,由|OM|·|OM'|=r2=9,可得·=·=9,可得k(+)=9,∵M(x0,y0)在圆(x-1)2+(y-2)2=5(不包含原点)上,∴+-2x0-4y0=0,故k(+)-2kx0-4ky0=0,即9-2x-4y=0,整理得2x+4y-9=0,∴圆(x-1)2+(y-2)2=5(不包含原点)的“3-圆称形”的方程为2x+4y-9=0.
20.解析 (1)联立方程组解得即P(-1,2).
当直线l过原点时,直线l在两坐标轴上的截距均为0,满足题意,此时它的方程为y=-2x;
当直线l不过原点时,根据题意可设直线l的方程为+=1,a≠0,
将(-1,2)代入得+=1,解得a=1,所以直线l的方程为x+y=1.
综上,直线l的方程为2x+y=0或x+y-1=0.
(2)易知PQ为直径时,过P(-1,2)及Q(3,-4)的圆的面积最小,此时r=|PQ|==,圆心为(1,-1),所以圆的面积的最小值为13π,此时圆C的方程为(x-1)2+(y+1)2=13.
同步练习
考点一 圆的标准方程
已知圆C的圆心坐标为(1,1),且过坐标原点O,则圆C的方程为( )
A.(x-1)2+(y-1)2= B.(x-1)2+(y-1)2=2
C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.x2+y2=2
2. 若圆(x-a)2+(y+1)2=3关于直线5x+4y-a=0对称,则a=( )
A.-1 B.1
C.3 D.-3
3. 已知半径为3的圆C的圆心与点P(-2,1)关于直线x-y+1=0对称,则圆C的标准方程为( )
A.(x+1)2+(y-1)2=9 B.(x-1)2+(y-1)2=81
C.x2+y2=9 D.x2+(y+1)2=9
4. 已知圆C:(x-1)2+y2=1,则以圆心C和P(3,2)为直径两端点的圆的标准方程是 .
5. 过点A(4,1)的圆C与直线x-y=1相切于点B(2,1),则圆C的方程为 .
6. 已知圆M经过P(1,1),Q(2,-2)两点,且圆心M在直线l:x-y+1=0上,则圆M的标准方程是 .
7. 过A(-1,-1),B(0,-2),C(3,1)三点的圆的标准方程为 .
8. 已知圆C过点O(0,0),且与直线x+y+4=0相切,则满足要求的面积最小的圆C的标准方程为 .
9. 已知直线l:4x-3y-4=0,请写出一个同时满足以下条件的圆M的方程: .
①圆M与x轴相切;
②圆M与直线l相切;
③圆M的半径为2.
分别求满足下列条件的圆的标准方程:
(1)经过点A(3,2),B(2,3),圆心在x轴上;
(2)经过直线x+2y+3=0与x-2y+3=0的交点,圆心为点C(-2,1).
考点二 点与圆的位置关系
若点(1,1)在圆+y2=a+的外部,则实数a的取值范围为( )
A. B. C.(-∞,1) D.(1,+∞)
12. 已知a,b是方程x2-x-=0的两个不等的实数根,则点P(a,b)与圆C:x2+y2=8的位置关系是( )
A.点P在圆C内 B.点P在圆C外
C.点P在圆C上 D.无法确定
13. 已知点P(0,-1)关于直线x-y+1=0的对称点Q在圆C:+y2=-4上,则m= .
考点三 圆的标准方程及其应用
已知圆C:(x-4)2+(y-2)2=4,若圆C刚好被直线l:ax+by=1(a>0,b>0)平分,则+的最小值为( )
A.8 B.10 C.16 D.8+4
已知Rt△ABC的斜边的两端点A,B的坐标分别为(-3,0)和(7,0),则直角顶点C的轨迹方程为 ( )
A.x2+y2=25(y≠0)
B.x2+y2=25
C.(x-2)2+y2=25(y≠0)
D.(x-2)2+y2=25
16. 已知点A(-1,0),B(0,3),P是圆(x-3)2+y2=1上任意一点,则△PAB面积的最小值为( )
A.6 B. C. D.6-
17.“曼哈顿距离”是人脸识别中一种重要的测距方式,其定义如下:设A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点间的曼哈顿距离d(A,B)=|x1-x2|+|y1-y2|.已知M(4,6),点N在圆C:(x+3)2+(y+2)2=13上运动,若点P满足d(M,P)=2,则|PN|的最大值为 .
18.在平面直角坐标系Oxy中,以AB为直径的圆C与直线l交于A,D两点,且A,D的坐标分别为(3,6),(1,t),E为劣弧上一点,满足=,若点B在y轴的右侧,直线CE的斜率为2,△ABD的面积为15,则圆C的标准方程为 .
19.对非原点O的点M,若点M'在射线OM上,且|OM|·|OM'|=r2,则称M'为M的“r-圆称点”,图形G上的所有点的“r-圆称点”组成的图形G'称为G的“r-圆称形”.则A(1,0)的“3-圆称点”为 ,圆(x-1)2+(y-2)2=5(不包含原点)的“3-圆称形”的方程为 .
20.已知直线x+2y-3=0和2x-y+4=0的交点为P.
(1)若直线l过点P,且在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程;
(2)若圆C过点P及Q(3,-4),那么圆C的面积存在最小值吗 如果存在,求出面积的最小值和此时圆C的方程;若不存在,请说明理由.
答案
1.B 由题知圆C的圆心坐标为(1,1),且过坐标原点O,则半径r=|OC|=,因此圆C的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.
2.B 由圆的方程可知圆心坐标为(a,-1),
由题意可得圆心(a,-1)在直线5x+4y-a=0上,因此5a-4-a=0,解得a=1.
3.D 设圆心为C(a,b),由圆心C与点P关于直线y=x+1对称,得直线CP与直线y=x+1垂直,∵直线y=x+1的斜率为1,∴直线CP的斜率为-1,∴=-1,化简得a+b+1=0①,∵线段CP的中点在直线y=x+1上,∴=+1,化简得a-b-1=0②,联立①②,可解得a=0,b=-1,∴圆心C的坐标为(0,-1),∴圆C的标准方程为x2+(y+1)2=9.
4.答案 (x-2)2+(y-1)2=2
解析 由题得C(1,0),所以以C和P(3,2)为直径两端点的圆的圆心为(2,1),半径为|CP|==,
所以以圆心C和P(3,2)为直径两端点的圆的标准方程是(x-2)2+(y-1)2=2.
5.答案 (x-3)2+y2=2
解析 设圆心为C(a,b),因为直线x-y=1与圆C相切于点B(2,1),所以kBC==-1,即a+b-3=0,易知线段AB的中垂线方程为x=3,圆心C在直线x=3上,故a=3,b=0,所以半径r==,所以圆C的方程为(x-3)2+y2=2.
6.答案 (x+3)2+(y+2)2=25
解析 设圆心M的坐标为(a,b),
因为圆心M在直线l:x-y+1=0上,所以a-b+1=0①,
因为P,Q是圆M上两点,所以|MP|=|MQ|,
根据两点间的距离公式,有=,即a-3b-3=0②,
由①②可得a=-3,b=-2.
所以圆心M的坐标是(-3,-2),圆的半径r=|MP|==5,
因此圆M的标准方程是(x+3)2+(y+2)2=25.
7.答案 (x-1)2+y2=5
解析 设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,
因为所求圆过A(-1,-1),B(0,-2),C(3,1)三点,
所以(-1-a)2+(-1-b)2=r2①,(-a)2+(-2-b)2=r2②,(3-a)2+(1-b)2=r2③,
由①-②得a-b-1=0④,由②-③得a+b-1=0⑤,
由④⑤解得a=1,b=0,代入①,得r2=5,
所以所求圆的标准方程为(x-1)2+y2=5.
8.答案 (x+1)2+(y+1)2=2
解析 过O作直线x+y+4=0的垂线,垂足为A,如图.当OA为直径时,圆C的面积最小.又O到直线x+y+4=0的距离d==2,所以半径r=,设圆心为C(a,b),因为圆C与直线x+y+4=0相切,所以·(-1)=-1,即a=b,又a2+b2=2,所以a=-1,b=-1,故满足要求的面积最小的圆C的标准方程为(x+1)2+(y+1)2=2.
9.答案 x2+(y-2)2=4或(x-5)2+(y-2)2=4或(x-2)2+(y+2)2=4或(x+3)2+(y+2)2=4(写出其中的一个即可)
解析 由①③知圆心的纵坐标为2或-2,设其横坐标为a.当圆心为M(a,2)时,因为圆M与直线l相切,所以=2,解得a=0或a=5.当圆心为M(a,-2)时,因为圆M与直线l相切,所以=2,解得a=2或a=-3.所以圆M的方程为x2+(y-2)2=4或(x-5)2+(y-2)2=4或(x-2)2+(y+2)2=4或(x+3)2+(y+2)2=4.
10.解析 (1)设所求圆的标准方程为(x-a)2+y2=r2,
由题意得解得
所以所求圆的标准方程为x2+y2=13.
(2)联立解得所以交点为(-3,0),
则所求圆的半径为=,
所以所求圆的标准方程为(x+2)2+(y-1)2=2.
11.A 由题知a+>0,得a>-.
因为点(1,1)在圆的外部,
所以+12>a+,解得a<1.
综上所述,实数a的取值范围为.
12.A 由题意得a+b=1,ab=-,∴a2+b2=(a+b)2-2ab=1+2<8,∴点P在圆C内.
13.答案
解析 设Q(a,b),由题意可得解得即Q(-2,1),
又点Q在圆C上,故+12=-4,解得m=.
14.C ∵圆C:(x-4)2+(y-2)2=4,∴圆心为C(4,2).
∵圆C刚好被直线l:ax+by=1(a>0,b>0)平分,
∴直线l必过圆心C(4,2),将(4,2)代入直线方程,得4a+2b=1,
又a>0,b>0,∴+=(4a+2b)=4+4++≥8+2=8+2×4=16,
当且仅当=,即a=,b=时取等号,因此+的最小值为16.
15.C 解法一:设C(x,y),则|CA|2+|CB|2=|AB|2,
∴(x+3)2+y2+(x-7)2+y2=100,∴(x-2)2+y2=25.
∵A,B,C三点构成三角形,∴y≠0.
∴直角顶点C的轨迹方程是(x-2)2+y2=25(y≠0).
解法二:依题意得,直角顶点C在以AB为直径的圆上运动,且点C与点A,B不重合.易知线段AB的中点坐标为(2,0),|AB|=10,所以直角顶点C的轨迹方程为(x-2)2+y2=25(y≠0).
易错警示
若A,B,C三点能构成三角形,则三点不共线,在设点的坐标以及求出方程后要注意排除不满足题目要求的取值.
16.D 由A(-1,0),B(0,3),得|AB|==,
易得直线AB的方程为y=3x+3,圆(x-3)2+y2=1的圆心为(3,0),半径r=1,
则点(3,0)到直线AB:3x-y+3=0的距离d==,
因此点P到直线AB的距离的最小值为d-r=-1,
所以△PAB面积的最小值是××=6-.
17.答案 +
解析 由题意得,圆C的圆心为C(-3,-2),半径r=.
设点P(x0,y0),由d(M,P)=2,M(4,6)得|x0-4|+|y0-6|=2,∴点P的轨迹为如图所示的正方形,其中A(4,8),B(6,6),在同一坐标系中作出圆C.
因此问题转化为求正方形上一点到圆上一点的距离的最大值,易得|AC|==,|BC|==<|AC|,
∴|PN|≤|AC|+r=+,即|PN|的最大值为+.
18.答案 (x-5)2+=
解析 根据题意画出大致图形如图,
因为E为劣弧上一点,满足=,所以CE⊥BD,因为AB为圆C的直径,所以∠ADB=90°,即AD⊥BD,所以CE∥AD.因为kCE=2,所以kAD=2,又A(3,6),所以直线AD:y=2x,又D(1,t),所以t=2,所以D(1,2),设B的坐标为(m,n)(m>0),因为AD⊥BD,kAD=2,所以kBD=-,即=-,所以m+2n=5①.
因为△ABD的面积为15,|AD|==2,所以|AD|·|BD|=×2×=15,即|2m-n|=15②,联立①②解得或(舍去),即B(7,-1).
所以C,圆C的半径为|AC|==,
所以圆C的标准方程为(x-5)2+=.
19.答案 (9,0);2x+4y-9=0
解析 设A的“3-圆称点”为A'.∵A(1,0),∴射线OA所在直线的方程为y=0,∵A'在射线OA上,∴设A'(a,0),a≥0,由|OA|·|OA'|=r2=9,可得1×a=9,∴a=9,∴A(1,0)的“3-圆称点”为(9,0).设M(x0,y0)为圆(x-1)2+(y-2)2=5(不包含原点)上任意一点,M'(x,y)为其“3-圆称形”上一点,∵点M'在射线OM上,∴O,M,M'三点共线,所以存在实数k(k>0),使=k,则(x,y)=k(x0,y0),即x=kx0,y=ky0,由|OM|·|OM'|=r2=9,可得·=·=9,可得k(+)=9,∵M(x0,y0)在圆(x-1)2+(y-2)2=5(不包含原点)上,∴+-2x0-4y0=0,故k(+)-2kx0-4ky0=0,即9-2x-4y=0,整理得2x+4y-9=0,∴圆(x-1)2+(y-2)2=5(不包含原点)的“3-圆称形”的方程为2x+4y-9=0.
20.解析 (1)联立方程组解得即P(-1,2).
当直线l过原点时,直线l在两坐标轴上的截距均为0,满足题意,此时它的方程为y=-2x;
当直线l不过原点时,根据题意可设直线l的方程为+=1,a≠0,
将(-1,2)代入得+=1,解得a=1,所以直线l的方程为x+y=1.
综上,直线l的方程为2x+y=0或x+y-1=0.
(2)易知PQ为直径时,过P(-1,2)及Q(3,-4)的圆的面积最小,此时r=|PQ|==,圆心为(1,-1),所以圆的面积的最小值为13π,此时圆C的方程为(x-1)2+(y+1)2=13.