2.4.2 圆的一般方程 同步练习（含答案）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 2.4.2 圆的一般方程 同步练习（含答案）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 89.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-29 11:36:28 | ||
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文档简介
2.4.2 圆的一般方程
基础过关练
考点一 二元二次方程与圆的关系
已知m是实常数,若方程x2+y2+2x+4y+m=0表示的曲线是圆,则m的取值范围为( )
A.(-∞,20) B.(-∞,5)
C.(5,+∞) D.(20,+∞)
2. 若点(-2,1)在圆x2+y2+x-y+a=0的外部,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-2,+∞) B.(-∞,-2)
C. D.
3. 已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则a= .
考点二 圆的一般方程及其应用
4.方程x2+y2-2mx-4y+2m2-4m-1=0所表示的圆的最大面积为( )
A.4π B.9π C.8π D.16π
5.在圆x2+y2-2x-6y=0内,过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为( )
A.5 B.10 C.15 D.20
6.若圆x2+8x+y2-6y+m=0与x轴,y轴均有公共点,则实数m的取值范围是( )
A.(-∞,9] B.(-∞,16]
C.[9,25) D.[16,25)
7.已知两定点P,Q(m,0),如果动点M与P,Q之间的距离满足=λ(λ>0且λ≠1),那么点M的轨迹是阿波罗尼斯圆,若其方程为x2+y2=4,则λ+m的值为( )
A.-8 B.-4 C.0 D.4
8.已知圆C:x2+y2-2x=0内有点M,则以M为中点的圆C的弦所在的直线方程为 .
9.平面几何中有一定理:已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点E,且AC⊥BD,过点E分别作边AB,BC,CD,DA的垂线,垂足分别为P1,P2,P3,P4,则P1,P2,P3,P4在同一个圆上,记该圆为圆F.若在四边形ABCD中,直线AB,BC,AC的方程分别为x-y=0,x+2y=0,x=2,点P4(3,1),则圆F的方程为 .
10.在平面直角坐标系Oxy中,A和B是圆C:x2-2x+y2=0上两点,且|AB|=,点P的坐标为(2,1),则|2-|的取值范围为 .
11.已知圆C上的任意一点到两个定点A(2,0),B(-2,0)的距离的比值为,则圆C的方程是 ;在直线l:3x+4y+m=0上存在点P满足:过P作圆C的切线,切点分别为M,N,且四边形PMCN的面积为4,则实数m的取值范围是 .
12.如图,已知正方形ABCD的四个顶点分别为A(0,-2),C(4,2),B(4,-2),D(0,2).
(1)求对角线AC所在直线的方程;
(2)求正方形ABCD外接圆的方程;
(3)若动点P为外接圆上一点,点N(-2,0)为定点,则线段PN的中点M的轨迹是什么 请求出轨迹方程.
13. 某地一旅游景点为吸引游客,参照赵州桥的样式在景区内兴建圆拱桥(如图1),该圆拱桥的圆拱跨度为16 m,拱高为4 m,在该圆拱桥的示意图中建立如图2所示的平面直角坐标系.
(1)求这座圆拱桥的拱圆的方程;
(2)若该景区游船宽10 m,水面以上高3 m,试判断该景区游船能否从桥下通过,并说明理由.(附:≈1.732)
考点三 与圆有关的动点的轨迹问题
14.已知圆C:x2+y2+6x-4y+9=0,A是圆C上的动点,点B(3,0),M为线段AB的中点,则点M的轨迹方程为( )
A.x2+(y-1)2=1 B.(x-1)2+y2=1
C.x2+(y-1)2=4 D.(x-1)2+y2=4
15. 已知△ABC的两个顶点为A(0,0),B(4,0),且AC边上的中线BD的长为3,则顶点C的轨迹方程是 .
16. 已知点A(-2,0),B(2,0),C(1,).
(1)求△ABC的外接圆的方程;
(2)在外接圆上任取一点P,过点P作x轴的垂线PD,D为垂足,当点P在圆上运动时,求线段PD的中点M的轨迹方程.
答案
1.B 由方程x2+y2+2x+4y+m=0表示的曲线是圆,可得4+16-4m>0,解得m<5.
2.C 因为点(-2,1)在圆x2+y2+x-y+a=0的外部,
所以解得-2所以实数a的取值范围是.
3.答案 -1
解析 由题意可得a2=a+2,解得a=-1或a=2.
当a=-1时,方程为x2+y2+4x+8y-5=0,可化为(x+2)2+(y+4)2=25,它表示圆;
当a=2时,方程为4x2+4y2+4x+8y+10=0,可化为+(y+1)2=-,它不表示圆.
所以a的值为-1.
4.B 将圆的一般方程整理为标准方程,可得(x-m)2+(y-2)2=-m2+4m+5,则-m2+4m+5>0,解得-1此圆的半径r==,
易知当且仅当m=2时,r取得最大值,为3,此时圆的面积最大,所以圆的最大面积为π×32=9π.
5.B 把圆的方程化为标准方程得(x-1)2+(y-3)2=10,则圆心坐标为(1,3),半径为,设M(1,3),根据题意画出大致图形,如图.
由图及题意可知过点E的最长弦为直径AC,最短弦为过E且与直径AC垂直的弦BD,则|AC|=2,|MB|=,|ME|==,所以|BD|=2|BE|=2=2,所以四边形ABCD的面积S=|AC|·|BD|=×2×2=10.
6.A 圆x2+8x+y2-6y+m=0即(x+4)2+(y-3)2=25-m,则25-m>0,解得m<25.
由于圆与x轴和y轴均有公共点,所以≥3,且≥4,解得m≤9.综上可知实数m的取值范围为(-∞,9].
7.B 设M(x,y),由=λ(λ>0且λ≠1),得=λ,所以x2-2mx+m2+y2=λ2x2+λ2x+λ2+λ2y2,所以x2+y2-x=,又M的轨迹方程为x2+y2=4,所以=0且=4,解得m=-(舍去)或m=-8,所以λ2=-2×(-8)=16,所以λ=4,所以λ+m=-4.
8.答案 x+y-2=0
解析 圆C:x2+y2-2x=0即(x-1)2+y2=1,则圆心为C(1,0),
所以直线MC的斜率为=1,
则以M为中点的圆C的弦所在直线的斜率为-1,
所以所求直线的方程为y-=-1×,即x+y-2=0.
9.答案 (x-2)2+=
解析 由得即A(2,2),
由得即C(2,-1),
由得即B(0,0).
因为AC⊥BD,对角线AC与BD相交于点E,所以E(2,0).
根据题意作出大致图形,如图所示,
因为EP1⊥AB,所以EP1所在直线的方程为y=-x+2,与方程x-y=0联立,解得x=y=1,即P1(1,1),
因为EP2⊥BC,所以EP2所在直线的方程为y=2x-4,与方程x+2y=0联立,解得x=,y=-,即P2,
又P4(3,1),所以线段P1P4的中点为(2,1),线段P1P2的中点为,则线段P1P4的垂直平分线方程为x=2,线段P1P2的垂直平分线方程为y-=,即y=x-,
联立可得所以F,
又|P1F|==,
所以圆F的方程为(x-2)2+=.
10.答案 [-,+]
解析 圆C:x2-2x+y2=0即(x-1)2+y2=1.设2-=,则有=(+),所以A为BE的中点,|AE|=|AB|=.过C作CF⊥AB,垂足为F,因为|AB|=,所以|AF|=|BF|=,|CF|==,|EF|=|AE|+|AF|=+=,所以|CE|===,所以点E的轨迹方程为(x-1)2+y2=5,又|CP|=,所以=-,=+.所以|2-|的取值范围为[-,+].
11.答案 (x+4)2+y2=12;[-8,32]
解析 设(x,y)是圆C上的任意一点,则=,化简得圆C的方程为(x+4)2+y2=12.圆心C的坐标为(-4,0),圆C的半径为2,由题意知PM⊥CM,PN⊥CN,所以|PM|=|PN|=,又S四边形PMCN=2×|PM|×|CM|=×2=4,所以|PC|=4.又点P在直线l:3x+4y+m=0上,所以|PC|不小于C到直线l的距离,即4≥d=,解得-8≤m≤32,
故实数m的取值范围是[-8,32].
12.解析 (1)由直线方程的两点式可知,对角线AC所在直线的方程为=,整理得x-y-2=0.
(2)设G为正方形ABCD外接圆的圆心,则G为AC的中点,∴G(2,0).
设r为正方形ABCD外接圆的半径,则r=|AC|,
又|AC|==4,∴r=2.
∴正方形ABCD外接圆的方程为(x-2)2+y2=8.
(3)设P(x0,y0),M(x,y),
则∴∵P为外接圆上一点,
∴(2x+2-2)2+(2y)2=8,整理,得x2+y2=2.
∴点M的轨迹是以原点为圆心,为半径的圆,轨迹方程为x2+y2=2.
13.解析 (1)设这座圆拱桥的拱圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(0≤y≤4),
因为该拱圆过A(-8,0),B(8,0),C(0,4),
所以解得所以拱圆的方程为x2+y2+12y-64=0,即x2+(y+6)2=100(0≤y≤4).
(2)当x=5时,52+(y+6)2=100,所以y=5-6≈5×1.732-6=2.66<3,
所以该景区游船不能从桥下通过.
14.A 设M(x,y).由M为线段AB的中点,B(3,0),可得A(2x-3,2y),
将(2x-3,2y)代入圆C的方程,得(2x-3)2+(2y)2+6(2x-3)-8y+9=0,化简得x2+(y-1)2=1.
15.答案 (x-8)2+y2=36(y≠0)
解析 设C(x,y)(y≠0),则D.∵B(4,0),且AC边上的中线BD的长为3,∴+=9,即(x-8)2+y2=36(y≠0).
16.解析 (1)设外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,其中D2+E2-4F>0,
因为外接圆经过A(-2,0),B(2,0),C(1,)三点,
所以解得
所以外接圆的方程为x2+y2-4=0.
(2)设M(x,y)(y≠0),P(xP,yP),则D(xP,0),
因为M为线段PD的中点,所以xP=x,yP=2y,
又点P在圆x2+y2=4上,所以x2+(2y)2=4,即+y2=1,
故点M的轨迹方程为+y2=1(y≠0).
基础过关练
考点一 二元二次方程与圆的关系
已知m是实常数,若方程x2+y2+2x+4y+m=0表示的曲线是圆,则m的取值范围为( )
A.(-∞,20) B.(-∞,5)
C.(5,+∞) D.(20,+∞)
2. 若点(-2,1)在圆x2+y2+x-y+a=0的外部,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-2,+∞) B.(-∞,-2)
C. D.
3. 已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则a= .
考点二 圆的一般方程及其应用
4.方程x2+y2-2mx-4y+2m2-4m-1=0所表示的圆的最大面积为( )
A.4π B.9π C.8π D.16π
5.在圆x2+y2-2x-6y=0内,过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为( )
A.5 B.10 C.15 D.20
6.若圆x2+8x+y2-6y+m=0与x轴,y轴均有公共点,则实数m的取值范围是( )
A.(-∞,9] B.(-∞,16]
C.[9,25) D.[16,25)
7.已知两定点P,Q(m,0),如果动点M与P,Q之间的距离满足=λ(λ>0且λ≠1),那么点M的轨迹是阿波罗尼斯圆,若其方程为x2+y2=4,则λ+m的值为( )
A.-8 B.-4 C.0 D.4
8.已知圆C:x2+y2-2x=0内有点M,则以M为中点的圆C的弦所在的直线方程为 .
9.平面几何中有一定理:已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点E,且AC⊥BD,过点E分别作边AB,BC,CD,DA的垂线,垂足分别为P1,P2,P3,P4,则P1,P2,P3,P4在同一个圆上,记该圆为圆F.若在四边形ABCD中,直线AB,BC,AC的方程分别为x-y=0,x+2y=0,x=2,点P4(3,1),则圆F的方程为 .
10.在平面直角坐标系Oxy中,A和B是圆C:x2-2x+y2=0上两点,且|AB|=,点P的坐标为(2,1),则|2-|的取值范围为 .
11.已知圆C上的任意一点到两个定点A(2,0),B(-2,0)的距离的比值为,则圆C的方程是 ;在直线l:3x+4y+m=0上存在点P满足:过P作圆C的切线,切点分别为M,N,且四边形PMCN的面积为4,则实数m的取值范围是 .
12.如图,已知正方形ABCD的四个顶点分别为A(0,-2),C(4,2),B(4,-2),D(0,2).
(1)求对角线AC所在直线的方程;
(2)求正方形ABCD外接圆的方程;
(3)若动点P为外接圆上一点,点N(-2,0)为定点,则线段PN的中点M的轨迹是什么 请求出轨迹方程.
13. 某地一旅游景点为吸引游客,参照赵州桥的样式在景区内兴建圆拱桥(如图1),该圆拱桥的圆拱跨度为16 m,拱高为4 m,在该圆拱桥的示意图中建立如图2所示的平面直角坐标系.
(1)求这座圆拱桥的拱圆的方程;
(2)若该景区游船宽10 m,水面以上高3 m,试判断该景区游船能否从桥下通过,并说明理由.(附:≈1.732)
考点三 与圆有关的动点的轨迹问题
14.已知圆C:x2+y2+6x-4y+9=0,A是圆C上的动点,点B(3,0),M为线段AB的中点,则点M的轨迹方程为( )
A.x2+(y-1)2=1 B.(x-1)2+y2=1
C.x2+(y-1)2=4 D.(x-1)2+y2=4
15. 已知△ABC的两个顶点为A(0,0),B(4,0),且AC边上的中线BD的长为3,则顶点C的轨迹方程是 .
16. 已知点A(-2,0),B(2,0),C(1,).
(1)求△ABC的外接圆的方程;
(2)在外接圆上任取一点P,过点P作x轴的垂线PD,D为垂足,当点P在圆上运动时,求线段PD的中点M的轨迹方程.
答案
1.B 由方程x2+y2+2x+4y+m=0表示的曲线是圆,可得4+16-4m>0,解得m<5.
2.C 因为点(-2,1)在圆x2+y2+x-y+a=0的外部,
所以解得-2
3.答案 -1
解析 由题意可得a2=a+2,解得a=-1或a=2.
当a=-1时,方程为x2+y2+4x+8y-5=0,可化为(x+2)2+(y+4)2=25,它表示圆;
当a=2时,方程为4x2+4y2+4x+8y+10=0,可化为+(y+1)2=-,它不表示圆.
所以a的值为-1.
4.B 将圆的一般方程整理为标准方程,可得(x-m)2+(y-2)2=-m2+4m+5,则-m2+4m+5>0,解得-1
易知当且仅当m=2时,r取得最大值,为3,此时圆的面积最大,所以圆的最大面积为π×32=9π.
5.B 把圆的方程化为标准方程得(x-1)2+(y-3)2=10,则圆心坐标为(1,3),半径为,设M(1,3),根据题意画出大致图形,如图.
由图及题意可知过点E的最长弦为直径AC,最短弦为过E且与直径AC垂直的弦BD,则|AC|=2,|MB|=,|ME|==,所以|BD|=2|BE|=2=2,所以四边形ABCD的面积S=|AC|·|BD|=×2×2=10.
6.A 圆x2+8x+y2-6y+m=0即(x+4)2+(y-3)2=25-m,则25-m>0,解得m<25.
由于圆与x轴和y轴均有公共点,所以≥3,且≥4,解得m≤9.综上可知实数m的取值范围为(-∞,9].
7.B 设M(x,y),由=λ(λ>0且λ≠1),得=λ,所以x2-2mx+m2+y2=λ2x2+λ2x+λ2+λ2y2,所以x2+y2-x=,又M的轨迹方程为x2+y2=4,所以=0且=4,解得m=-(舍去)或m=-8,所以λ2=-2×(-8)=16,所以λ=4,所以λ+m=-4.
8.答案 x+y-2=0
解析 圆C:x2+y2-2x=0即(x-1)2+y2=1,则圆心为C(1,0),
所以直线MC的斜率为=1,
则以M为中点的圆C的弦所在直线的斜率为-1,
所以所求直线的方程为y-=-1×,即x+y-2=0.
9.答案 (x-2)2+=
解析 由得即A(2,2),
由得即C(2,-1),
由得即B(0,0).
因为AC⊥BD,对角线AC与BD相交于点E,所以E(2,0).
根据题意作出大致图形,如图所示,
因为EP1⊥AB,所以EP1所在直线的方程为y=-x+2,与方程x-y=0联立,解得x=y=1,即P1(1,1),
因为EP2⊥BC,所以EP2所在直线的方程为y=2x-4,与方程x+2y=0联立,解得x=,y=-,即P2,
又P4(3,1),所以线段P1P4的中点为(2,1),线段P1P2的中点为,则线段P1P4的垂直平分线方程为x=2,线段P1P2的垂直平分线方程为y-=,即y=x-,
联立可得所以F,
又|P1F|==,
所以圆F的方程为(x-2)2+=.
10.答案 [-,+]
解析 圆C:x2-2x+y2=0即(x-1)2+y2=1.设2-=,则有=(+),所以A为BE的中点,|AE|=|AB|=.过C作CF⊥AB,垂足为F,因为|AB|=,所以|AF|=|BF|=,|CF|==,|EF|=|AE|+|AF|=+=,所以|CE|===,所以点E的轨迹方程为(x-1)2+y2=5,又|CP|=,所以=-,=+.所以|2-|的取值范围为[-,+].
11.答案 (x+4)2+y2=12;[-8,32]
解析 设(x,y)是圆C上的任意一点,则=,化简得圆C的方程为(x+4)2+y2=12.圆心C的坐标为(-4,0),圆C的半径为2,由题意知PM⊥CM,PN⊥CN,所以|PM|=|PN|=,又S四边形PMCN=2×|PM|×|CM|=×2=4,所以|PC|=4.又点P在直线l:3x+4y+m=0上,所以|PC|不小于C到直线l的距离,即4≥d=,解得-8≤m≤32,
故实数m的取值范围是[-8,32].
12.解析 (1)由直线方程的两点式可知,对角线AC所在直线的方程为=,整理得x-y-2=0.
(2)设G为正方形ABCD外接圆的圆心,则G为AC的中点,∴G(2,0).
设r为正方形ABCD外接圆的半径,则r=|AC|,
又|AC|==4,∴r=2.
∴正方形ABCD外接圆的方程为(x-2)2+y2=8.
(3)设P(x0,y0),M(x,y),
则∴∵P为外接圆上一点,
∴(2x+2-2)2+(2y)2=8,整理,得x2+y2=2.
∴点M的轨迹是以原点为圆心,为半径的圆,轨迹方程为x2+y2=2.
13.解析 (1)设这座圆拱桥的拱圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(0≤y≤4),
因为该拱圆过A(-8,0),B(8,0),C(0,4),
所以解得所以拱圆的方程为x2+y2+12y-64=0,即x2+(y+6)2=100(0≤y≤4).
(2)当x=5时,52+(y+6)2=100,所以y=5-6≈5×1.732-6=2.66<3,
所以该景区游船不能从桥下通过.
14.A 设M(x,y).由M为线段AB的中点,B(3,0),可得A(2x-3,2y),
将(2x-3,2y)代入圆C的方程,得(2x-3)2+(2y)2+6(2x-3)-8y+9=0,化简得x2+(y-1)2=1.
15.答案 (x-8)2+y2=36(y≠0)
解析 设C(x,y)(y≠0),则D.∵B(4,0),且AC边上的中线BD的长为3,∴+=9,即(x-8)2+y2=36(y≠0).
16.解析 (1)设外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,其中D2+E2-4F>0,
因为外接圆经过A(-2,0),B(2,0),C(1,)三点,
所以解得
所以外接圆的方程为x2+y2-4=0.
(2)设M(x,y)(y≠0),P(xP,yP),则D(xP,0),
因为M为线段PD的中点,所以xP=x,yP=2y,
又点P在圆x2+y2=4上,所以x2+(2y)2=4,即+y2=1,
故点M的轨迹方程为+y2=1(y≠0).