2.5.1 直线与圆的位置关系 学案(含解析)-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修一

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名称 2.5.1 直线与圆的位置关系 学案(含解析)-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修一
格式 docx
文件大小 776.4KB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-08-29 11:42:44

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文档简介

2.5.1 直线与圆的位置关系
一、学习目标
1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系;
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
二、重难点
重点:判断直线与圆的位置关系;
难点:直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题
三、自主预习
1.直线与圆的位置关系:
(1)直线与圆相交,有 个公共点;
(2)直线与圆相切,只有一个公共点 ;
(3)直线与圆相离,没有公共点 .
2.直线与圆的位置关系的判断:要判断直线与圆的位置关系,可以联立它们的方程,通过判定方程组的 ,得出直线与圆的公共点的个数,进而判断直线与圆的位置关系.若相交,可以由方程组解得两交点坐标,利用两点间的距离公式求得 .
四、应用举例
例1 已知直线:和圆心为的圆,判断直线与圆的位置关系;如果相交,求直线被圆所截得的弦长。
解:直线与圆相交,弦长.(详见课本)
例2 过点A(4,-3)作圆C:(x-3)2+(y-1)2=1的切线,求此切线的方程.
解:因为(4-3)2+(-3-1)2=17>1,所以点A在圆外.
(1)若所求切线的斜率存在,设切线斜率为k,
则切线方程为y+3=k(x-4).
因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径,半径为1,
所以=1,即|k+4|=,
所以k2+8k+16=k2+1.解得k=-.所以切线方程为y+3=-(x-4),
即15x+8y-36=0.
(2)若直线斜率不存在,
圆心C(3,1)到直线x=4的距离也为1,
这时直线与圆也相切,所以另一条切线方程是x=4.
综上,所求切线方程为15x+8y-36=0或x=4.
五、课堂练习
(一)课本练习部分
1.判断下列各组直线l与圆C的位置关系:
(1),圆;
(2),圆C:;
(3),圆.
2.已知直线与圆心在原点的圆C相切,求圆C的方程.
3.判断直线与圆的位置关系;如果相交,求直线被圆截得的弦长.
4.赵州桥的跨度是,圆拱高约为.求这座圆拱桥的拱圆的方程.
5.某圆拱桥的水面跨度,拱高.现有一船,宽,水面以上高,这条船能否从桥下通过?
6.在一个平面上,机器人从与点的距离为9的地方绕点C顺时针而行,在行进过程中保持与点C的距离不变.它在行进过程中到过点与的直线的最近距离和最远距离分别是多少?
(二)课本习题部分
1.判断直线与圆的位置关系.如果有公共点,求出公共点的坐标.
2.求直线被圆截得的弦AB的长.
3.求圆心在直线上,与x轴相切,且被直线截得的弦长为的圆的方程.
4.求与圆关于直线对称的圆的方程.
5.正方形ABCD的边长为a,在边BC上取线段,在边DC的延长线上取.试证明:直线AE与BF的交点M位于正方形ABCD的外接圆上.
6.已知三点,点P在圆上运动,求的最大值和最小值.
7.已知圆,直线.b为何值时,圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1
六、课后练习
1.已知直线,圆,则直线l与圆C的位置关系是( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
2.过直线上一点P作圆的两条切线,,切点分别为A,B,当直线,关于直线对称时,线段PA的长为( )
A.4 B. C. D.2
3.若圆C的半径为1,圆心在第三象限,且与直线和y轴都相切,则该圆的标准方程是( )
A. B.
C. D.
4.已知圆,直线与圆C相交于A,B两点,则的最小值为( )
A. B.2 C.4 D.
5.如果实数x,y满足,那么的最大值是( )
A. B. C. D.
6.当曲线与直线有两个不同的交点时,实数k的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7.(多选)已知圆,点,则下列说法正确的有( )
A.若点P在圆O上,则圆O在点P处的切线方程为
B.若点P在圆O外,则直线与圆O相交
C.若点P在圆O内,则直线与圆O相交
D.若点P在圆O外,则直线与圆O位置关系不确定
8.直线与直线是圆C的两条切线,则圆C的面积是___________.
9.在平面直角坐标系xOy中,以点为圆心且与直线相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为__________.
10.直线被圆所截得的弦中,最短弦所在直线的一般式方程是__________.
11.如图,这是某圆弧形山体隧道的示意图,其中底面AB的长为16米,最大高度CD的长为4米,以C为坐标原点,AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系.
(1)求该圆弧所在圆的方程.
(2)若某种汽车的宽约为2.5米,高约为1.6米,车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全,同时车顶不能与隧道有剐蹭,则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车?(将汽车看作长方体)
12.已知圆.
(1)若过点的直线l被圆C截得的弦长为,求直线l的方程;
(2)已知点为圆上的点,求的取值范围.
答案及解析
三、自主预习
1.两
2.解的个数 弦长
五、课堂练习
(一)课本练习
1.答案:(1)相交
(2)相切
(3)相离
解析:(1)圆,圆心坐标为,半径;
圆心到直线的距离,故直线与圆相交;
(2)圆,即圆,圆心,半径,
圆心到直线的距离,故直线与圆相切;
(3)圆,即圆,圆心,半径,
圆心到直线的距离,故直线与圆相离.
2.答案:
解析:圆心在原点即圆心为,因为直线与圆C相切,
故圆心到直线的距离等于半径,则,
所以圆的方程为.
3.答案:相交;弦长为
解析:由圆的方程得圆心为,半径为,
所以圆心到直线的距离为:,
所以与圆相交,
所以直线被圆截得的弦长为.
4.答案:
解析:根据题意,以拱高所在直线为y,如图建立平面直角坐标系,
根据题意得:,,
此时圆心在y轴上,圆心为D,半径为r,则,
所以在中,,即,
解得:,所以,
设所求圆的方程为,
即拱圆的方程为:.
5.答案:该船可以从桥下通过
解析:建立如图所示的坐标系.依题意,有,,,,.
设所求圆的方程是,
于是有
解此方程组,得,,,
所以这座圆拱桥的拱圆的方程是.
把点D的横坐标代入上式,得.
由于船在水面以上高,,所以该船可以从桥下通过.
6.答案:最近距离和最远距离分别是,
解析:机器人到与点距离为9的地方绕C点顺时针而行,在行进过程中保持与点C的距离不变,
机器人的运行轨迹为,
与,
直线AB的方程为,即为,
则圆心C到直线AB的距离为,
最近距离和最远距离分别是,.
(二)课本习题
1.答案: (方法一)因为圆心到直线的距离为,
圆的半径长是10,所以直线与圆相切.
圆心与切点连线所在直线的方程为.
解方程组得
因此,切点坐标是.
(方法二)联立方程组消去y,得,解得.
所以直线与圆有且只有一个公共点,
所以直线与圆相切.
2.答案:
解析:(方法一)设直线l与圆C相交于点.
联立方程组消去y,得.
根据一元二次方程根与系数的关系,有.
直线l被圆C截得的弦AB的长为.
(方法二)将圆C的方程化成标准形式,得.
圆心坐标是,半径长.
圆心C到直线l的距离为.
弦AB的长.
3.答案:或
解析:设所求圆的方程为.
圆心到直线的距离为.
依题意,有
解方程组,得;或.
所以所求的圆的方程有两个,它们分别是或.
4.答案:
解析:把圆C的方程化成标准形式,得.
圆心坐标是.
设与圆心关于直线l对称的点的坐标是,则有
解此方程组,得
所以与圆C关于直线对称的圆的方程是.
5.答案:以正方形ABCD的中心为坐标原点,建立如答图所示的平面直角坐标系,则由题意知.
所以,
所以直线AE的方程为,即.
直线BF的方程为,即.
由解得
即点M的坐标为.
(方法一)因为正方形ABCD外接圆的圆心为原点,半径为,且,
所以点M在正方形ABCD的外接圆上.
(方法二)因为正方形ABCD的外接圆的方程为,且,即点M的坐标满足圆的方程.
所以点M在正方形ABCD的外接圆上.
(方法三)易知点D的坐标为,
所以,
所以,所以.
所以点M在以BD为直径的圆上,即点M在正方形ABCD的外接圆上.
答案:最大值是88,最小值是72
解析:如答图,设点P的坐标是,则.
因为,所以.
由可得.
所以最大值是88,最小值是72.
7.答案:见解析
解析:如答图,由已知得圆的半径长是2,圆心O到直线l的距离为.
令,则.
当时,与直线平行且距离等于1的直线是和.
直线与圆相切,切点到直线的距离是1;
直线与圆相交,两个交点与直线的距离是1.
因此当时,圆上有三个点到直线l的距离都是1.
同理,当时,圆上也有三个点到直线l的距离都是1.
综上,当时,圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1.
六、课后练习
1.答案:A
解析:已知直线,变形整理得,
由得即直线l恒过定点,代入圆C的方程的左端有,即点在圆内,所以直线l与圆C相交.故选A.
2.答案:C
解析:如图所示,圆心,连接CP,CA,因为直线,关于直线对称,所以CP垂直于直线,故,而,则.故选C.
3.答案:A
解析:设圆心(,),圆,
依题意有,圆心到直线的距离为,解得或(舍去).
所以圆C的标准方程为.
故选A.
4.答案:A
解析:由圆C的方程可得圆心,半径,直线l的方程可整理为,
令解得所以直线l恒过定点.
由题意知,当AB与CD垂直时,弦长最小,又,,所以此时,直线,
点C到直线l的距离,所以.故选A.
5.答案:D
解析:将圆的一般方程化为标准方程,得,则该圆的圆心为点,半径为.的几何意义是圆上一点与点连线的斜率,如图.结合图像易知,当过原点的直线斜率为正,且与圆相切时,斜率最大,即最大.设此时直线的倾斜角为,则,所以的最大值为.故选D.
6.答案:C
解析:由题意知,曲线表示半圆,直线过定点.由图知,k的取值范围在直线与半圆左侧相切时的斜率(不含)和直线过点时的斜率之间.当直线与半圆的左侧相切时,圆心到直线的距离等于半径,即,解得.当直线过点时,.综上可知,要使直线与半圆有两个不同的交点,k的取值范围是.故选C.
7.答案:AB
解析:对于A,点P在圆O上,则,因为点P的坐标满足,故直线过点P.又点到直线的距离,故直线与圆O相切.综上所述,若点P在圆O上,则圆O在点P处的切线方程为,A正确.
对于B,D,点P在圆O外,则,又点O到直线的距离,故直线与圆O相交,所以B正确,D错误.
对于C,点P在圆O内,则,又点O到直线的距离,故直线与圆O相离,C错误.
故选AB.
8.答案:
解析:易知直线与直线平行,若两条平行直线是圆C的两条切线,则两直线之间的距离为圆的直径.直线,即,与直线间的距离,则圆C的半径,圆C的面积.
9.答案:
解析:由直线,得,故直线过点.当切线与过,两点的直线垂直时,圆的半径最大,此时有,故所求圆的标准方程为.
10.答案:
解析:直线l的方程为,即.令解得即直线l过定点.圆的圆心坐标为,半径为3.过点和点的直线的斜率为,所以最短弦所在直线的斜率为,所以最短弦所在直线的方程为,即,所以最短弦所在直线的一般式方程是.
11.答案:(1)
(2)4辆
解析:(1)由圆的对称性可知,该圆弧所在圆的圆心在y轴上,设圆心为.
设该圆的半径为r米,则,解得,
因此,
故该圆弧所在圆的方程为.
(2)设与该种汽车等高且能通过该隧道的最大宽度为d米,
则,解得.
若并排通过5辆该种汽车,则安全通行的宽度应为,
故该隧道不能并排通过5辆该种汽车.
若并排通过4辆该种汽车,则安全通行的宽度应为,
则隧道能并排通过4辆该种汽车.
综上所述,该隧道最多可以并排通过4辆该种汽车.
12.答案:(1)或
(2)
解析:由已知条件得圆C的标准方程为,
圆C的圆心为,半径.
(1)当直线l的斜率不存在,即时,直线l与圆C的交点坐标为,
截得的弦长为,满足题意.
当直线l的斜率存在时,设,即,
圆心C到直线l的距离.,解得,
直线l的方程为.
综上所述,直线l的方程为或.
(2)z的几何意义为圆上的点到的距离d的平方.
圆心C到点的距离为,
,,
,,
的取值范围为.