2.5.2 圆与圆的位置关系 分层练习（含解析）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.5.2　圆与圆的位置关系
基础过关练
题组一　圆与圆的位置关系
1.(2025吉林大学附属中学月考)已知☉C1:2x2+2y2+4x+16y-16=0,☉C2:2x2+2y2+8x-8y-4=0,则两圆的位置关系为(　　)
A.相切　　B.外离　　C.相交　　D.内含
2.(2025四川成都期中)圆C1:x2+y2-6y+5=0与圆C2:(x-3)2+(y+1)2=9的公切线的条数为(　　)
A.4　　B.3　　C.2　　D.1
3.(2025湖南张家界期中)已知圆C1:x2+(y-1)2=1和圆C2:(x-a)2+(y-1)2=16,其中a>0,则使得两圆相交的一个充分不必要条件可以是(　　)
A.2C.34.(2025广东领航高中联盟期中)已知圆C1:x2+y2=1,圆C2:(x-2)2+y2=1,则C1,C2的公切线方程为　　　　　　.(写出一个即可)
5.(2024安徽名校联盟期中)已知圆C1:x2+y2=4,圆C2:(x-4)2+(y+a)2=64,其中a∈N*.若圆C1,C2仅有2条公切线,则a的值可能是　　　　(给出满足条件的一个值即可).
6.(2023山东四市期中联考)我们把圆心在一条直线上且相邻圆彼此外切的一组圆叫做“串圆”.在如图所示的“串圆”中,圆A的方程为x2+(y-1)2=2,圆C的方程为(x-6)2+(y-7)2=2,则圆B的方程为　　　　　　　　.
题组二　两圆的公共弦问题
7.(2025广东东莞七校联考)已知圆C1:x2+y2-2x-4y-4=0与圆C2:x2+y2+4x-10y+4=0相交于A,B两点,则两圆公共弦所在直线的方程为(　　)
A.3x-3y-4=0　　B.3x-3y+4=0　　
C.x+y-3=0　　D.x+y+3=0
8.(2024山东青岛实验高中期中)圆x2+y2+4x-2y=0和圆x2+y2-2x-3=0交于A,B两点,则相交弦AB的垂直平分线的方程为(　　)
A.6x-2y+3=0　　B.x+3y-1=0　　
C.2x-2y+3=0　　D.x-3y-1=0
9.(2025河南省实验中学月考)圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2+2x-2y+1=0的公共弦的长为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.1
10.(2025山东潍坊部分学校月考)已知圆C的圆心为(-2,1),且圆C　　　　.在下列所给的三个条件中任选一个,补充在横线上,并完成解答.
①与直线3x+4y+17=0相切;
②与圆M:(x-2)2+(y-4)2=4外切;
③过直线3x+y+2=0与x-3y+14=0的交点.
(1)求圆C的方程;
(2)已知圆N:(x-m)2+y2=m2(m>0),是否存在实数m,使得圆N与圆C的公共弦的长度为2 若存在,求出实数m的值;若不存在,请说明理由.
能力提升练
题组　圆与圆的位置关系的应用
1.(2025江苏镇江三校期中联考)在平面直角坐标系Oxy中,若圆C1:x2+(y-1)2=r2(r>0)上存在点P,满足其关于x轴的对称点Q在圆C2:(x-2)2+y2=4上,则r的取值范围是(　　)
A.[-2,+2]　　B.[3,7]　　
C.(-2,+2)　　D.(3,7)
2.(2025浙江金华期中)圆O1:x2+y2=4和圆O2:x2+y2+2x-4y=0的两个交点分别为A,B,则有(　　)
A.公共弦AB所在直线的方程为x-2y+1=0
B.公共弦AB的长为
C.线段AB的中垂线方程为2x-y=0
D.∠AO2B>
3.(2025广东清远期中)已知圆C1:x2+y2-2x-4y-7=0和圆C2:(x+3)2+(y+1)2=12交于两点,点P在圆C1上运动,点Q在圆C2上运动,则下列说法正确的是(　　)
A.圆C1和圆C2关于直线8x+6y-5=0对称
B.圆C1和圆C2的公共弦的长为2
C.|PQ|的取值范围为[0,5+2]
D.若M为直线x-y+8=0上的动点,则|PM|+|MQ|的最小值为-4
4.(多选题)(2025河南百师联盟月考)在平面直角坐标系Oxy中,已知圆O:x2+y2=r2(r>0)与圆C:(x-6)2+(y-8)2=4,过圆O上任意一点P作圆C的两条切线,切点分别为A,B,|+|≥6,则实数r的可能取值为(　　)
A.3　　B.6　　C.11　　D.14
5.(2024河北唐山十县一中联盟期中)已知圆O:x2+y2=1与圆O1:x2+y2+6x-8y-10-a=0,当a=1时,两圆的公切线方程为　　　　　;若两圆相交于A,B两点,且|AB|=,则a=　　　　.
6.(2024河北衡水中学月考)已知A,B分别为圆C1:x2+y2-2x+8y+16=0与圆C2:x2+y2-6x+5=0上的两个动点,P为直线l:x-y+2=0上一点,则|PA|+|PB|的最小值为　　　　,|PA|-|PB|的最大值为　　　　.
7.(2025河北保定模拟)已知P为圆C1:(x-5)2+y2=4位于第一象限的一点,过点P作圆C2:x2+y2-2ax+a2-a+2=0(28.(2025浙江新高考研究联盟期中联考)在平面直角坐标系Oxy中,已知圆O:x2+y2=1和圆C:(x-4)2+(y-2)2=4.
(1)求圆O与圆C的外公切线的长;
(2)过圆C上的任意一点P作圆O的两条切线,切点分别是A,B,设D.
①求的值;
②求圆心C到直线AB的距离的取值范围.
答案
基础过关练
1.C　☉C1:2x2+2y2+4x+16y-16=0,整理得(x+1)2+(y+4)2=25,该圆的圆心为(-1,-4),半径为5;
☉C2:2x2+2y2+8x-8y-4=0,整理得(x+2)2+(y-2)2=10,该圆的圆心为(-2,2),半径为.
因此两圆的圆心距为=,
由于5-<<5+,故两圆相交.
2.B　圆C1:x2+y2-6y+5=0可化为x2+(y-3)2=4,可知其半径r1=2,圆心为C1(0,3);
圆C2:(x-3)2+(y+1)2=9的半径r2=3,圆心为C2(3,-1).
则两圆圆心距|C1C2|==5=2+3=r1+r2,所以圆C1与圆C2外切,故两圆有3条公切线.
3.B　由题意知圆C1的圆心为C1(0,1),半径R1=1,圆C2的圆心为C2(a,1),半径R2=4,所以|C1C2|=a,要使两圆相交,只需R2-R1<|C1C2|4.答案　y=1(或y=-1或x=1)
解析　由题知圆C1,C2的半径均为1,圆心分别为C1(0,0),C2(2,0),则|C1C2|=2,则C1,C2外切,如图,
结合图象可知,C1,C2的公切线方程为y=1,y=-1,x=1.
5.答案　5(答案不唯一)
解析　圆C1:x2+y2=4的圆心为C1(0,0),半径r1=2,圆C2:(x-4)2+(y+a)2=64的圆心为C2(4,-a),半径r2=8,所以|C1C2|=,因为圆C1,C2仅有2条公切线,所以圆C1,C2相交,所以6<<10,即206.答案　(x-3)2+(y-4)2=8
解析　依题意可得,A(0,1),C(6,7),且B为线段AC的中点,所以B(3,4).又|AC|=6,圆A,圆C的半径都是,所以圆B的半径r=2.故圆B的方程为(x-3)2+(y-4)2=8.
7.B　联立由①-②得3x-3y+4=0.
因此两圆公共弦所在直线的方程为3x-3y+4=0.
8.B　圆x2+y2+4x-2y=0即(x+2)2+(y-1)2=5,其圆心坐标为(-2,1),圆x2+y2-2x-3=0即(x-1)2+y2=4,其圆心坐标为(1,0).易知过两圆圆心的直线为弦AB的垂直平分线,则弦AB的垂直平分线的方程是=,即x+3y-1=0.
9.B　联立整理得x-y+1=0,
所以公共弦所在直线的方程为x-y+1=0,
又圆心C1(0,0)到公共弦所在直线的距离为=,故公共弦的长为2=.
10.解析　(1)设圆C的半径为r.
若选条件①与直线3x+4y+17=0相切,
可知圆心C(-2,1)到直线3x+4y+17=0的距离等于圆C的半径,即r==3,
因此圆C的方程为(x+2)2+(y-1)2=9.
若选条件②与圆M:(x-2)2+(y-4)2=4外切,
易知圆M的圆心为(2,4),半径为2,
所以r+2==5,所以r=3,
因此圆C的方程为(x+2)2+(y-1)2=9.
若选条件③过直线3x+y+2=0与x-3y+14=0的交点,
由得所以r=4-1=3,
因此圆C的方程为(x+2)2+(y-1)2=9.
(2)易知圆N:(x-m)2+y2=m2(m>0)的圆心为N(m,0),半径为m,由两圆有公共弦,得|m-3|<|CN|即|m-3|<.
将方程(x+2)2+(y-1)2=9与(x-m)2+y2=m2作差,得两圆公共弦所在直线的方程为(m+2)x-y-2=0,
又两圆的公共弦的长度为2,
故圆心C(-2,1)到公共弦所在直线的距离d====2,
解得m=或m=,
又m>,所以m=,经检验符合题意,
故存在实数m=,使得圆N与圆C的公共弦的长度为2.
能力提升练
1.A　若圆C1上存在点P,其关于x轴的对称点Q在圆C2上,
则只需圆C1关于x轴的对称圆(记为C)与圆C2有交点即可.
易得对称圆C的方程为x2+(y+1)2=r2(r>0),圆C和圆C2的圆心分别为(0,-1),(2,0),半径分别为r和2,
所以两圆圆心距为|CC2|==,
因为两圆有交点,所以有|r-2|≤|CC2|≤r+2,
即|r-2|≤≤r+2,又因为r>0,所以-2≤r≤+2.
2.D　由方程x2+y2-4=0与x2+y2+2x-4y=0作差,可得2x-4y+4=0,即x-2y+2=0,即公共弦AB所在直线的方程为x-2y+2=0,故A错误;圆心O1(0,0)到直线x-2y+2=0的距离d=,圆O1的半径r=2,所以|AB|=2=,故B错误;易知O1O2垂直平分AB,因为圆O1的圆心为O1(0,0),圆O2的圆心为O2(-1,2),所以线段AB的中垂线方程为2x+y=0,故C错误;对于D,圆心O2(-1,2)到直线x-2y+2=0的距离d'==,又|AB|=,d'<|AB|,所以∠AO2B>,故D正确.
3.D　对于A,两圆方程相减,得两圆公共弦所在直线的方程为8x+6y+5=0,
又因为圆C1:x2+y2-2x-4y-7=0可化为(x-1)2+(y-2)2=12,其半径与圆C2相等,
所以圆C1和圆C2关于公共弦所在直线8x+6y+5=0对称,因此A错误;
对于B,易得圆C1的圆心为C1(1,2),半径R=2,圆C2的圆心为C2(-3,-1),半径r=2,
圆心C1到直线8x+6y+5=0的距离d==,
所以两圆公共弦的长为2=,因此B错误;
对于C,由上述分析得圆C1和圆C2的圆心距为|C1C2|==5,
由两圆相交知当点P和点Q重合时,|PQ|的值最小,为0,
当P,Q,C1,C2四点共线且P,Q分别在两端时,|PQ|的值最大,为|C1C2|+R+r=5+4,所以|PQ|的取值范围为[0,5+4],因此C错误;
对于D,如图,
设C1关于直线x-y+8=0的对称点为A(m,n),
则
解得即A(-6,9),
连接AC2交直线x-y+8=0于点M,连接MC1,则当Q,P分别为MC2与圆C2,MC1与圆C1的交点时,|PM|+|MQ|最小,
则|PM|+|MQ|≥|MC1|+|MC2|-2-2=|C2A|-4=-4=-4,
即|PM|+|MQ|的最小值为-4,因此D正确.
4.ABD　圆O的圆心为O(0,0),半径为r,圆C的圆心为C(6,8),半径r'=2,所以|OC|==10.
因为PA,PB与☉C分别相切于点A,B,所以∠PAC=∠PBC=90°,
因为|PA|=|PB|,|PC|=|PC|,所以Rt△PAC≌Rt△PBC,
设PC与AB交于点H,则H为AB的中点,
所以+=2,所以|+|=2||,
设||=a,所以||=,设∠CPA=∠CPB=θ,
所以|+|=2||=2||cos θ=2·=2,其中a>2,
依题意知2≥6,即a2-3a-4=(a-4)(a+1)≥0,
所以a≥4,
因为对任意点P成立,所以只需|PC|min≥4,
因为当点P在☉O上运动时,过P点恒可以作☉C的两条切线,所以☉O与☉C必不相交,所以|PC|min=||OC|-r|=|10-r|≥4,
所以r∈(0,6]∪[14,+∞).
5.答案　3x-4y-5=0;-8或-10
解析　当a=1时,圆O1:x2+y2+6x-8y-11=0,即(x+3)2+(y-4)2=36.因为两圆圆心距为=5,恰为两圆半径之差,所以两圆内切,即两圆有唯一公切线,
将圆x2+y2=1与圆x2+y2+6x-8y-11=0的方程作差,可得两圆的公切线方程为3x-4y-5=0.
若两圆相交于A,B两点,则由两圆方程相减可得两圆公共弦所在直线的方程为6x-8y-9-a=0.因为|AB|=,圆O的半径r=1,所以点O到直线AB的距离d==,则由点到直线的距离公式,可得=,即|-9-a|=1,解得a=-8或a=-10.
6.答案　3-3;2+3
解析　由C1:x2+y2-2x+8y+16=0,得(x-1)2+(y+4)2=1,∴其圆心为C1(1,-4),半径r1=1,由C2:x2+y2-6x+5=0,得(x-3)2+y2=4,∴其圆心为C2(3,0),半径r2=2.设点C2关于直线l:x-y+2=0的对称点为C(a,b),
∴解得a=-2,b=5,即C(-2,5),
则|PA|+|PB|≥|PC1|-r1+|PC2|-r2=|PC1|-r1+|PC|-r2≥|CC1|-r1-r2,
而|CC1|==3,∴|PA|+|PB|≥3-3.
由三角形的相关性质可知|PA|-|PB|≤|AB|,当|AB|取到最大值时,|PA|-|PB|取到最大值,设直线C1C2分别交圆C1,C2于点M,S和T,N,如图,
由图可知,|AB|max=|MN|=|C1C2|+r1+r2=2+3,
∴|PA|-|PB|的最大值为2+3.
7.答案　2;
解析　将圆C2的方程化成标准方程,为(x-a)2+y2=a-2,其圆心为C2(a,0).
设P(x0,y0),x0>0,y0>0,则+=4,
所以===2.
由题意知PC2平分∠APB,所以==2,即|AC2|=2|BC2|,又2所以点N与点B(4,0)重合,
此时|C2M|=1,|AC2|=2|BC2|=2|MC2|,则∠MAC2=30°,可得M,所以|MN|==.
8.解析　(1)易知圆C:(x-4)2+(y-2)2=4的圆心为C(4,2),半径R=2,圆O:x2+y2=1的圆心为O(0,0),半径r=1,因此|OC|==2,
所以两圆外公切线的长为==.
(2)①设点P(a,b),则(a-4)2+(b-2)2=4,得a2+b2=8a+4b-16,
所以|PD|2=+=a2+b2-a-b+=a2+b2-(8a+4b-16)=(a2+b2),
又|PO|2=a2+b2,故|PO|2=5|PD|2,所以=.
②设点P(a,b),依题意知P,O,A,B四点在以OP为直径的圆上,且此圆的方程为+=,即x2+y2-ax-by=0,
将此圆的方程与圆O的方程作差,可得两圆的公共弦AB所在的直线方程为ax+by=1,
则圆心C(4,2)到直线AB的距离d=,
又因为点P在圆C上,所以(a-4)2+(b-2)2=4,即4a+2b=(a2+b2)+8,
所以d==,
设t=,则t∈[|OC|-R,|OC|+R],即t∈[2-2,2+2],
由对勾函数f(t)=t+在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,且∈[2-2,2+2],
得d的最小值为=,
又f(2-2)=2-2+=2-2+=,
f(2+2)=2+2+=2+2+=,
所以d的最大值为×=,
所以d的取值范围为.